高中數(shù)學(xué)人教A版3第一章計數(shù)原理排列與組合

1．排列(二)[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1．進一步加深對排列概念的理解．2．掌握幾種有限制條件的排列，能應(yīng)用排列數(shù)公式解決簡單的實際問題．[知識鏈接]有限制條件的排列問題的解題思路有哪些？答所謂有限制條件的排列問題是指某些元素或位置有特殊要求．解決此類問題常從特殊元素或特殊位置入手進行解決，常用的方法有直接法和間接法，直接法又有分步法和分類法兩種．(1)直接法①分步法按特殊元素或特殊位置優(yōu)先安排，再安排一般元素(位置)依次分步解決，特別地：(ⅰ)當(dāng)某些特殊元素要求必須相鄰時可以先將這些元素看作一個整體，與其他元素排列后，再考慮相鄰元素的內(nèi)部排序，這種分步法稱為“捆綁法”，即“相鄰元素捆綁法”．(ⅱ)當(dāng)某些特殊元素要求不相鄰時，可以先安排其他元素，再將這些不相鄰元素插入空檔，這種方法稱為“插空法”，即“不相鄰元素插空法”．②分類法直接按特殊元素當(dāng)選情況或特殊位置安排進行分類解決，即直接分類法．特別地當(dāng)某些元素按一定順序排列時可用“等機率法”，即n個不同元素參加排列，其中m個元素的順序是確定的，這類問題的解法采用分類法：n個不同元素的全排列有Aeq\o\al(n,n)種排法，m個元素的排列有Aeq\o\al(m,m)種排法，因此Aeq\o\al(n,n)種排法中關(guān)于m個元素的不同分法有Aeq\o\al(m,m)類，而且每一分類的排法數(shù)是一樣的，當(dāng)這m個元素順序確定時，共有eq\f(Aeq\o\al(n,n),Aeq\o\al(m,m))種排法．(2)間接法符合條件數(shù)等于無限制條件數(shù)與不符合條件數(shù)的差．故求符合條件的種數(shù)時，可先求與其對應(yīng)的不符合條件的種數(shù)，進而求解，即“間接法”．[預(yù)習(xí)導(dǎo)引]1．排列數(shù)公式Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(n，m∈N*，m≤n)＝eq\f(n！,（n－m）！)．Aeq\o\al(n,n)＝n(n－1)(n－2)…2·1＝n！(叫做n的階乘)．另外，我們規(guī)定0?。?．2．應(yīng)用排列與排列數(shù)公式求解實際問題中的計數(shù)問題的基本步驟：要點一數(shù)字排列的問題例1用0，1，2，3，4，5這六個數(shù)字(1)可以組成多少個數(shù)字不重復(fù)的三位數(shù)？(2)可以組成多少個數(shù)字允許重復(fù)的三位數(shù)？(3)可以組成多少個數(shù)字不允許重復(fù)的三位奇數(shù)？(4)可以組成多少個數(shù)字不重復(fù)的小于1000的自然數(shù)？(5)可以組成多少個大于3000，小于5421的不重復(fù)的四位數(shù)？解(1)分三步：①先選百位數(shù)字，由于0不能作百位數(shù)字，因此有5種選法；②十位數(shù)字有5種選法；③個位數(shù)字有4種選法．由分步乘法計數(shù)原理知所求三位數(shù)共有5×5×4＝100(個)．(2)分三步：①百位數(shù)字有5種選法；②十位數(shù)字有6種選法；③個位數(shù)字有6種選法．故所求三位數(shù)共有5×6×6＝180(個)．(3)分三步：①先選個位數(shù)字，有3種選法；②再選百位數(shù)字，有4種選法；③選十位數(shù)字也有4種選法，所以所求三位奇數(shù)共有3×4×4＝48(個)．(4)分三類：①一位數(shù)共有6個；②兩位數(shù)共有5×5＝25(個)；③三位數(shù)共有5×5×4＝100(個)．因此，比1000小的自然數(shù)共有6＋25＋100＝131(個)．(5)分四類：①千位數(shù)字為3，4之一時，共有2×5×4×3＝120(個)；②千位數(shù)字為5，百位數(shù)字為0，1，2，3之一時，共有4×4×3＝48(個)；③千位數(shù)字為5，百位數(shù)字為4，十位數(shù)字為0，1之一時，共有2×3＝6(個)；④還有5420也是滿足條件的1個．故所求四位數(shù)共120＋48＋6＋1＝175(個)．規(guī)律方法排列問題的本質(zhì)是“元素”占“位子”問題，有限制條件的排列問題的限制條件主要表現(xiàn)在某元素不排在某個位子上，或某個位子上不排某個元素．解決此類問題的方法主要按“優(yōu)先”原則，即優(yōu)先排特殊元素或優(yōu)先考慮特殊位子，若一個位子安排的元素影響另一個位子的元素個數(shù)時，應(yīng)分類討論．跟蹤演練1用0，1，2，…，9十個數(shù)字可組成多少個滿足以下條件的且沒有重復(fù)數(shù)字的數(shù)：(1)五位奇數(shù)；(2)大于30000的五位偶數(shù)．解(1)要得到五位奇數(shù)，末位應(yīng)從1，3，5，7，9五個數(shù)字中取，有5種取法；取定末位數(shù)字后，首位就有除這個數(shù)字和0之外的8種不同取法；首末兩位取定后，十個數(shù)字還有八個數(shù)字可供中間的十位、百位與千位三個數(shù)位選取，共有Aeq\o\al(3,8)種不同的排列方法．因此由分步乘法計數(shù)原理共有5×8×Aeq\o\al(3,8)＝13440個沒有重復(fù)數(shù)字的五位奇數(shù)．(2)要得偶數(shù)，末位應(yīng)從0，2，4，6，8中選取，而要得比30000大的五位偶數(shù)，可分兩類：①末位數(shù)字從0，2中選取，則首位可取3，4，5，6，7，8，9中任一個，共有7種選取方法，其余三個數(shù)位可從除首末兩個數(shù)位上的數(shù)字之外的八個數(shù)字中選取，共Aeq\o\al(3,8)種取法．所以共有2×7×Aeq\o\al(3,8)種不同情況．②末位數(shù)字從4，6，8中選取，則首位應(yīng)從3，4，5，6，7，8，9中除去末位數(shù)字的六個數(shù)字中選取，其余三個數(shù)位仍有Aeq\o\al(3,8)種選法，所以共有3×6×Aeq\o\al(3,8)種不同情況．由分類加法計數(shù)原理，比30000大的無重復(fù)數(shù)字的五位偶數(shù)共有2×7×Aeq\o\al(3,8)＋3×6×Aeq\o\al(3,8)＝10752(個)．要點二排隊問題例23名男生，4名女生，按照不同的要求排隊，求不同的排隊方案的方法種數(shù)：(1)選5名同學(xué)排成一行；(2)全體站成一排，其中甲只能在中間或兩端；(3)全體站成一排，其中甲、乙必須在兩端；(4)全體站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端；(5)全體站成一排，男、女各站在一起；(6)全體站成一排，男生必須排在一起；(7)全體站成一排，男生不能排在一起；(8)全體站成一排，男、女生各不相鄰；(9)全體站成一排，甲、乙中間必須有2人；(10)全體站成一排，甲必須在乙的右邊；(11)全體站成一排，甲、乙、丙三人自左向右順序不變；(12)排成前后兩排，前排3人，后排4人．解(1)無限制條件的排列問題，只要從7名同學(xué)中任選5名排列，即可得共有N＝Aeq\o\al(5,7)＝7×6×5×4×3＝2520(種)．(2)(直接分步法)先考慮甲有Aeq\o\al(1,3)種方案，再考慮其余6人全排Aeq\o\al(6,6)，故N＝Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(6,6)＝2160(種)．(3)(直接分步法)先安排甲、乙有Aeq\o\al(2,2)種方案，再安排其余5人全排Aeq\o\al(5,5)，故N＝Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(5,5)＝240(種)．(4)法一(直接分類法)按甲是否在最右端分兩類：第一類：甲在最右端有N1＝Aeq\o\al(6,6)(種)；第二類：甲不在最右端時，甲有Aeq\o\al(1,5)個位置可選，而乙也有Aeq\o\al(1,5)個位置，而其余全排Aeq\o\al(5,5)，N2＝Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(5,5).故N＝N1＋N2＝Aeq\o\al(6,6)＋Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(5,5)＝3720(種)．法二(間接法)無限制條件的排列數(shù)共有Aeq\o\al(7,7)，而甲或乙在左端(右端)的排法有Aeq\o\al(6,6)，且甲在左端且乙在右端的排法有Aeq\o\al(5,5)，故N＝Aeq\o\al(7,7)－2Aeq\o\al(6,6)＋Aeq\o\al(5,5)＝3720(種)．法三(直接分步法)按最左端優(yōu)先安排分步對于左端除甲外有Aeq\o\al(1,6)種排法，余下六個位置全排有Aeq\o\al(6,6)，但減去乙在最右端的排法Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(5,5)種，故N＝Aeq\o\al(1,6)Aeq\o\al(6,6)－Aeq\o\al(1,5)Aeq\o\al(5,5)＝3720(種)．(5)相鄰問題(捆綁法)男生必須站在一起，是男生的全排列，有Aeq\o\al(3,3)種排法，女生必須站在一起，是女生的全排列，有Aeq\o\al(4,4)種排法，全體男生、女生各視為一個元素，有Aeq\o\al(2,2)種排法，由分步乘法計數(shù)原理知，共有Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(2,2)＝288(種)．(6)(捆綁法)即把所有男生視為一個元素，與4名女生組成5個元素全排，故N＝Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(5,5)＝720(種)．(7)即不相鄰問題(插空法)：先排女生共Aeq\o\al(4,4)種排法，男生在4個女生隔成的5個空中安排有Aeq\o\al(3,5)種排法，故N＝Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(3,5)＝1440(種)．(8)對比(7)讓女生插空：N＝Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(4,4)＝144(種)．(9)(捆綁法)任取2人與甲、乙組成一個整體，與余下3個元素全排，故N＝(Aeq\o\al(2,5)·Aeq\o\al(2,2))·Aeq\o\al(4,4)＝960(種)．(10)甲與乙之間的左右關(guān)系各占一半，故N＝eq\f(Aeq\o\al(7,7),Aeq\o\al(2,2))＝2520(種)．(11)甲、乙、丙自左向右順序保持不變，即為所有甲、乙、丙排列的eq\f(1,Aeq\o\al(3,3))，∴N＝eq\f(Aeq\o\al(7,7),Aeq\o\al(3,3))＝840(種)．(12)直接分步完成共有Aeq\o\al(3,7)·Aeq\o\al(4,4)＝5040(種)．規(guī)律方法排隊問題的解題策略排隊問題除涉及特殊元素、特殊位置外，還往往涉及相鄰、不相鄰、定序等問題．(1)對于相鄰問題，可采用“捆綁法”解決．即將相鄰的元素視為一個整體進行排列．(2)對于不相鄰問題，可采用“插空法”解決．即先排其余的元素，再將不相鄰的元素插入空中．(3)對于定序問題，可采用“除階乘法”解決．即用不限制的排列數(shù)除以順序一定元素的全排列數(shù)．跟蹤演練2分別求出符合下列要求的不同排法的種數(shù)：(1)6名學(xué)生排3排，前排1人，中排2人，后排3人；(2)6名學(xué)生排成一排，甲不在排頭也不在排尾；(3)6人排成一排，甲、乙不相鄰．解(1)分排與直排一一對應(yīng)，故排法種數(shù)為Aeq\o\al(6,6)＝720.(2)甲不能排頭尾，讓受特殊限制的甲先選位置，有Aeq\o\al(1,4)種選法，然后其他5人排，有Aeq\o\al(5,5)種排法，故排法種數(shù)為Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(5,5)＝480.(3)甲、乙不相鄰，第一步除甲、乙外的其余4人先排好；第二步，甲、乙在已排好的4人的左、右及之間的空位中排，共有Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,5)＝480(種)排法．要點三排列的綜合應(yīng)用例3從數(shù)字0，1，3，5，7中取出不同的三個數(shù)作系數(shù)，可以組成多少個不同的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0？其中有實根的方程有多少個？解先考慮組成一元二次方程的問題．首先確定a，只能從1，3，5，7中選一個，有Aeq\o\al(1,4)種，然后從余下的4個數(shù)中任選兩個作b，c，有Aeq\o\al(2,4)種．由分步乘法計數(shù)原理知，共組成一元二次方程Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(2,4)＝48(個)方程要有實根，必須滿足Δ＝b2－4ac≥0.分類討論如下：當(dāng)c＝0時，a，b可以從1，3，5，7中任取兩個，有Aeq\o\al(2,4)種；當(dāng)c≠0時，分析判別式知b只能取5，7中的一個．當(dāng)b取5時，a，c只能取1，3這兩個數(shù)，有Aeq\o\al(2,2)種；當(dāng)b取7時，a，c可取1，3或1，5這兩組數(shù)，有2Aeq\o\al(2,2)種．此時共有(Aeq\o\al(2,2)＋2Aeq\o\al(2,2))個．由分類加法計數(shù)原理知，有實根的一元二次方程共有：Aeq\o\al(2,4)＋Aeq\o\al(2,2)＋2Aeq\o\al(2,2)＝18(個)．規(guī)律方法該例的限制條件較隱蔽，需仔細分析，一元二次方程中a≠0需要考慮到，而對有實根的一元二次方程需有Δ≥0.這里有兩層意思：一是a不能為0；二是要保證b2－4ac≥0，所以需先對c能否取0進行分類討論．實際問題中，既要能觀察出是排列問題，又要能搞清哪些是特殊元素，還要根據(jù)問題進行合理分類、分步，選擇合適的解法．因此需做一定量的排列應(yīng)用題，逐漸掌握解決問題的基本思想．跟蹤演練3從集合{1，2，3，…，20}中任選出3個不同的數(shù)，使這3個數(shù)成等差數(shù)列，這樣的等差數(shù)列可以有多少個？解設(shè)a，b，c∈N*，且a，b，c成等差數(shù)列，則a＋c＝2b，即a＋c應(yīng)是偶數(shù)．因此從1到20這20個數(shù)字中任選出三個數(shù)成等差數(shù)列，則第一個數(shù)與第三個數(shù)必同為偶數(shù)或同為奇數(shù)，而1到20這20個數(shù)字中有10個偶數(shù)和10個奇數(shù)．當(dāng)?shù)谝粋€和第三個數(shù)選定后，中間數(shù)被唯一確定．因此，選法只有兩類．(1)第一、三個數(shù)都是偶數(shù)，有Aeq\o\al(2,10)種；(2)第一、三個數(shù)都是奇數(shù)，有Aeq\o\al(2,10)種．于是，選出3個數(shù)成等差數(shù)列的個數(shù)為Aeq\o\al(2,10)＋Aeq\o\al(2,10)＝180(個).1．用1，2，3，4，5這5個數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)共有()A．30個B．36個C．40個D．60個答案B解析分2步完成：個位必為奇數(shù)，有Aeq\o\al(1,3)種選法；從余下的4個數(shù)中任選2個排在三位數(shù)的百位、十位上，有Aeq\o\al(2,4)種選法．由分步乘法計數(shù)原理，共有Aeq\o\al(1,3)×Aeq\o\al(2,4)＝36(個)無重復(fù)數(shù)字的三位奇數(shù)．2．6人站成一排，甲、乙、丙3個人不能都站在一起的排法種數(shù)為()A．720B．144C．576D．684答案C解析(間接法)甲、乙、丙三人在一起的排法種數(shù)為Aeq\o\al(4,4)×Aeq\o\al(3,3)；不考慮任何限制，6人的全排列有Aeq\o\al(6,6).∴符合題意的排法種數(shù)為Aeq\o\al(6,6)－Aeq\o\al(4,4)×Aeq\o\al(3,5)＝576.3．(2023·北京理)將序號分別為1，2，3，4，5的5張參觀券全部分給4人，每人至少1張，如果分給同一人的2張參觀券連號，那么不同的分法種數(shù)是________．答案96解析5張參觀券全部分給4人，分給同一人的2張參觀券連號，方法數(shù)為：1和2，2和3，3和4，4和5，四種連號，其他號碼各為一組，分給4人，共有4×Aeq\o\al(4,4)＝96種．4．將紅、黃、藍、白、黑5種顏色的小球，放入紅、黃、藍、白、黑5種顏色的小口袋中，若不允許有空袋，且紅口袋中不能裝入紅球，則有________種不同的放法．答案96解析∵紅口袋不能裝入紅球，∴紅球只能放在黃、藍、白、黑4種顏色的口袋中，∴紅球有Aeq\o\al(1,4)種放法，其余的四個球在四個位置全排列有Aeq\o\al(4,4)種放法，由分步計數(shù)原理得到共有Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(4,4)＝96(種)．1．對有特殊限制的排列問題，優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置．2．對從正面分類繁雜的排列問題，可考慮使用間接法．3．對要求某些元素相鄰或不相鄰的排列問題，可使用“捆綁法”“插空法”.一、基礎(chǔ)達標(biāo)1．把4個不同的黑球，4個不同的紅球排成一排，要求黑球、紅球分別在一起，不同的排法種數(shù)是 ()A．Aeq\o\al(8,8) B．Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(4,4)C．Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(4,4)Aeq\o\al(2,2) D．以上都不對答案C2．6個停車位置，有3輛汽車需要停放，若要使3個空位連在一起，則停放的方法總數(shù)為 ()A．Aeq\o\al(3,3) B．Aeq\o\al(3,6) C．Aeq\o\al(4,6) D．Aeq\o\al(4,4)答案D解析3個空位連在一起作為1個元素與3輛汽車看成4個不同元素的全排列，故有Aeq\o\al(4,4)種停放方法．3．某省有關(guān)部門從6人中選4人分別到A，B，C，D四個地區(qū)調(diào)研十二五規(guī)劃的開局形勢，要求每個地區(qū)只有1人，每人只去一個地區(qū)，且這6人中甲、乙兩人不去A地區(qū)，則不同的安排方案有 ()A．300種 B．240種 C．144種 D．96種答案B解析A地區(qū)有Aeq\o\al(1,4)種方法，其余地區(qū)有Aeq\o\al(3,5)種方法，共有Aeq\o\al(1,4)Aeq\o\al(3,5)＝240(種)．4．8名學(xué)生和2位老師站成一排合影，2位老師不相鄰的排法種數(shù)為 ()A．Aeq\o\al(8,8)Aeq\o\al(2,9) B．Aeq\o\al(8,8)Aeq\o\al(2,10) C．Aeq\o\al(8,8)Aeq\o\al(2,7) D．Aeq\o\al(8,8)Aeq\o\al(2,6)答案A解析運用插空法，8名學(xué)生間共有9個空隙(加上邊上空隙)，先把老師排在9個空隙中，有Aeq\o\al(2,9)種排法，再把8名學(xué)生排列，有Aeq\o\al(8,8)種排法，共有Aeq\o\al(8,8)Aeq\o\al(2,9)種排法．5．從0，1，2，3這四個數(shù)中選三個不同的數(shù)作為函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c中的參數(shù)a，b，c，可組成不同的二次函數(shù)共有________個．答案18解析若得到二次函數(shù)，則a≠0，a有Aeq\o\al(1,3)種選擇，故二次函數(shù)有Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,3)＝3×3×2＝18(個)．6．從4名男生和3名女生中選出3人，分別從事三項不同的工作，若這3人中至少有1名女生，則選派方案共有________種．答案186解析沒有女生的選法有Aeq\o\al(3,4)種，一共有Aeq\o\al(3,7)種選法，則至少有1名女生的選派方案共有Aeq\o\al(3,7)－Aeq\o\al(3,4)＝186(種)．7．(1)某信號兵用紅、黃、藍3面旗從上到下掛在豎直的旗桿上表示信號，每次可以任意掛1面、2面或3面，并且不同的順序表示不同的信號，一共可以表示多少種不同的信號？(2)將4位司機、4位售票員分配到四輛不同班次的公共汽車上，每一輛汽車分別有一位司機和一位售票員，共有多少種不同的分配方案？解(1)分3類：第一類用1面旗表示的信號有Aeq\o\al(1,3)種；第二類用2面旗表示的信號有Aeq\o\al(2,3)種；第三類用3面旗表示的信號有Aeq\o\al(3,3)種．由分類加法計數(shù)原理，所求的信號種數(shù)是Aeq\o\al(1,3)＋Aeq\o\al(2,3)＋Aeq\o\al(3,3)＝3＋3×2＋3×2×1＝15，即一共可以表示15種不同的信號．(2)由分步乘法計數(shù)原理，分配方案種數(shù)共有N＝Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(4,4)＝576.即共有576種不同的分配方案．二、能力提升8．五名男生與兩名女生排成一排照相，如果男生甲必須站在中間，兩名女生必須相鄰，符合條件的排法共有 ()A．48種 B．192種 C．240種 D．288種答案B解析(間接法)將兩名女生看作1人，與四名男生一起排隊，有Aeq\o\al(5,5)種排法，而女生可互換位置，所以共有Aeq\o\al(5,5)×Aeq\o\al(2,2)種排法，男生甲插入中間位置，只有一種插法；而4男2女排列中2名女生恰在中間的排法共有Aeq\o\al(2,2)×Aeq\o\al(4,4)(種)，這時男生甲若插入中間位置不符合題意，故符合題意的排列總數(shù)為Aeq\o\al(5,5)×Aeq\o\al(2,2)－Aeq\o\al(4,4)×Aeq\o\al(2,2)＝192.9．5名大人要帶兩個小孩排隊上山，小孩不排在一起也不排在頭、尾，則共有______種排法(用數(shù)字作答)．答案1440解析先讓5名大人全排列有Aeq\o\al(5,5)種排法，兩個小孩再依條件插空有Aeq\o\al(2,4)種方法，故共有Aeq\o\al(5,5)Aeq\o\al(2,4)＝1440(種)排法．10．(2023·浙江卷)將A，B，C，D，E，F(xiàn)六個字母排成一排，且A，B均在C的同側(cè)，則不同的排法共有________種(用數(shù)字作答)．答案480解析按C的位置分類，在左1，左2，左3，或者在右1，右2，右3，因為左右是對稱的，所以只看左的情況最后乘以2即可．當(dāng)C在左邊第1個位置時，有Aeq\o\al(5,5)，當(dāng)C在左邊第2個位置時Aeq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(3,4)，當(dāng)C在左邊第3個位置時，有Aeq\o\al(2,3)·Aeq\o\al(3,3)＋Aeq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(3,3).這三種情況的和為240種，乘以2得480.則不同的排法共有480種．11．某天課程表要排入政治、語文、數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、體育共6門課程，如果第一節(jié)不排體育，最后一節(jié)不排數(shù)學(xué)，一共有多少種不同的排法？解不考慮任何條件限制共有Aeq\o\al(6,6)種排法，其中包括不符合條件的有：(1)數(shù)學(xué)排在最后一節(jié)，有Aeq\o\al(5,5)