2021-2022學(xué)年江西省吉安市石山中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

2021-2022學(xué)年江西省吉安市石山中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)變量滿足，則的最大值為

(

)Ａ.Ｂ.

Ｃ.Ｄ.參考答案：B略2.定義在上的函數(shù)滿足下列兩個(gè)條件：（1）對任意的恒有成立；（2）當(dāng)時(shí)，，記函數(shù)，若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D略3.《周髀算經(jīng)》中有這樣一個(gè)問題：從冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣其日影長依次成等差數(shù)列，冬至、立春、春分日影長之和為31．5尺，前九個(gè)節(jié)氣日影長之和為85．5尺，則芒種日影長為（

）A.1．5尺 B.2．5尺 C.3．5尺 D.4．5尺參考答案：B【分析】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得，，可得，，計(jì)算出公差d，再利用通項(xiàng)公式即可得出所求．【詳解】設(shè)這十二個(gè)節(jié)氣日影長依次成等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和，則，所以，由題知，所以，所以公差，所以，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)、通項(xiàng)公式與求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．4.下列命題中，假命題為（

）

A．存在四邊相等的四邊形不是正方形

B．為實(shí)數(shù)的充分必要條件是為共軛復(fù)數(shù)

C．若R，且則至少有一個(gè)大于1

D．命題：的否定是：。參考答案：B只要的虛部相反，則就為實(shí)數(shù)，比如，則有為實(shí)數(shù)，所以B錯(cuò)誤，選B.5.設(shè)>0,函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位后與原圖像重合，則的最小值是（

）A．

B．

C．

D．3參考答案：C略6.函數(shù)f（x）=的圖象大致為（）A． B．C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)的圖象．【分析】利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的值域，判斷函數(shù)的圖象即可．【解答】解：函數(shù)f（x）=的定義域?yàn)椋簒≠0，x∈R，當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)f′（x）=，可得函數(shù)的極值點(diǎn)為：x=1，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，函數(shù)是減函數(shù)，x＞1時(shí)，函數(shù)是增函數(shù)，并且f（x）＞0，選項(xiàng)B、D滿足題意．當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)f（x）=＜0，選項(xiàng)D不正確，選項(xiàng)B正確．故選：B．7.已知m，n是兩條不同的直線，α，β，γ為三個(gè)不同的平面，則下列命題中錯(cuò)誤的是(

) A．若m⊥α，m⊥β，則α∥β B．若m⊥α，n⊥α，則m∥n C．若α∥γ，β∥γ，則α∥β D．若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β參考答案：D考點(diǎn)：空間中直線與平面之間的位置關(guān)系．專題：空間位置關(guān)系與距離．分析：根據(jù)空間線面垂直、面面垂直、面面平行的性質(zhì)定理對選項(xiàng)分別分析選擇．解答： 解：對于A，若m⊥α，m⊥β，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理以及面面平行的判定定理可以得到α∥β；故a正確；對于B，若m⊥α，n⊥α，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理容易得到m∥n，故B正確；對于C，若α∥γ，β∥γ，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理和判定定理容易得到α∥β；故D正確；對于D，若α⊥γ，β⊥γ，則α與β可能相交；如墻角的三個(gè)面的關(guān)系；故D是錯(cuò)誤的．故選D．點(diǎn)評：本題考查了空間線面垂直、面面垂直、面面平行的性質(zhì)定理和判定定理的運(yùn)用；牢固掌握運(yùn)用定理是關(guān)鍵．8.如圖所示的程序框圖中輸出的結(jié)果為A．2

B．－2C．D．－參考答案：A9.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，得到圖象對應(yīng)的解析式為（

）A．

B．C．

D．參考答案：D將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位，得故選D.10.下列命題中錯(cuò)誤的是（）A．如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)一定存在直線平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)所有直線都垂直于平面β參考答案：D考點(diǎn)：平面與平面垂直的性質(zhì)．專題：空間位置關(guān)系與距離；簡易邏輯．分析：本題考查的是平面與平面垂直的性質(zhì)問題．在解答時(shí)：A注意線面平行的定義再結(jié)合實(shí)物即可獲得解答；B反證法即可獲得解答；C利用面面垂直的性質(zhì)通過在一個(gè)面內(nèi)作交線的垂線，然后用線面垂直的判定定理即可獲得解答；D結(jié)合實(shí)物舉反例即可．解答：解：由題意可知：A、結(jié)合實(shí)物：教室的門面與地面垂直，門面的上棱對應(yīng)的直線就與地面平行，故此命題成立；B、假若平面α內(nèi)存在直線垂直于平面β，根據(jù)面面垂直的判定定理可知兩平面垂直．故此命題成立；C、結(jié)合面面垂直的性質(zhì)可以分別在α、β內(nèi)作異于l的直線垂直于交線，再由線面垂直的性質(zhì)定理可知所作的垂線平行，進(jìn)而得到線面平行再由線面平行的性質(zhì)可知所作的直線與l平行，又∵兩條平行線中的一條垂直于平面那么另一條也垂直于平面，故命題成立；D、舉反例：教室內(nèi)側(cè)墻面與地面垂直，而側(cè)墻面內(nèi)有很多直線是不垂直與地面的．故此命題錯(cuò)誤．故選D．點(diǎn)評：本題考查的是平面與平面垂直的性質(zhì)問題．在解答的過程當(dāng)中充分體現(xiàn)了面面垂直、線面垂直、線面平行的定義判定定理以及性質(zhì)定理的應(yīng)用．值得同學(xué)們體會(huì)和反思．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.“無字證明”(proofswithoutwords)，就是將數(shù)學(xué)命題用簡單、有創(chuàng)意而且易于理解的幾何圖形來呈現(xiàn)．請利用圖甲、圖乙中陰影部分的面積關(guān)系，寫出該圖所驗(yàn)證的一個(gè)三角恒等變換公式：

．參考答案：12.若動(dòng)直線與函數(shù)的圖象分別交于兩點(diǎn)，則的最大值為________．參考答案：2略13.設(shè)P是內(nèi)一定點(diǎn)(1,0)，過P作兩條互相垂直的直線分別交圓O于A、B兩點(diǎn)，則弦AB中點(diǎn)的軌跡方程是

.參考答案：14.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則公差為

．參考答案：315.某學(xué)校需要把6名同學(xué)安排到A，B，C三個(gè)興趣小組學(xué)習(xí)，每個(gè)興趣小組安排2名同學(xué)，已知甲不能安排到A組，乙和丙不能安排到同一小組，則安排方案的種數(shù)有

.參考答案：4816.在的二項(xiàng)展開式中，含項(xiàng)的系數(shù)為

。參考答案：略17.函數(shù)的最大值為

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知數(shù)列為公差不為的等差數(shù)列，為前項(xiàng)和，和的等差中項(xiàng)為，且．令數(shù)列的前項(xiàng)和為．

（Ⅰ）求及；

（Ⅱ）是否存在正整數(shù)成等比數(shù)列？若存在，求出所有的的值；若不存在，請說明理由．參考答案：解：（Ⅰ）因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，設(shè)公差為，則由題意得

整理得所以……………3分由所以……………5分（Ⅱ）假設(shè)存在由（Ⅰ）知，，所以若成等比，則有………8分，。。。。。（1）因?yàn)?，所以，…………?0分因?yàn)?，?dāng)時(shí)，帶入（1）式，得；綜上，當(dāng)可以使成等比數(shù)列?！?2分

略19.（12分）已知函數(shù)f（x）=（m≠0）是定義在R上的奇函數(shù)，（1）若m＞0，求f（x）在（﹣m，m）上遞增的充要條件；（2）若f（x）≤sinθcosθ+cos2x+﹣對任意的實(shí)數(shù)θ和正實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．參考答案：考點(diǎn)： 必要條件、充分條件與充要條件的判斷．專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；簡易邏輯．分析： （1）運(yùn)用奇偶性求出m的值，再運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷，（2）構(gòu)造函數(shù)g（x）=sinθcosθ+cos2x+﹣=sin2θ，利用任意的實(shí)數(shù)θ和正實(shí)數(shù)x，得g（x）∈[，]，即f（x），求解f（x）最大值即可．解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=（m≠0）是定義在R上的奇函數(shù)，∴f（0）=0，即n=0，f（x）=，f′（x）=≥0，m＞0即2﹣x2≥0，[﹣，]∵f（x）在（﹣m，m）上遞增，∴（﹣m，m）?[﹣，]f（x）在（﹣m，m）上遞增的充要條件是m=（2）令g（x）=sinθcosθ+cos2x+﹣=sin2θ，∵任意的實(shí)數(shù)θ和正實(shí)數(shù)x，∴g（x）∈[，]，∵若f（x）≤sinθcosθ+cos2x+﹣對任意的實(shí)數(shù)θ和正實(shí)數(shù)x恒成立，∴f（x），∵f（x）=，根據(jù)均值不等式可得；≤f（x）≤，所以只需≤，m≤2實(shí)數(shù)m的取值范圍：m點(diǎn)評： 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)，不等式在求解值域中的應(yīng)用，運(yùn)用恒成立問題和最值的關(guān)系求解，難度較大．20.設(shè)函數(shù).（1）若函數(shù)在區(qū)間（-2，0）內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍；（2）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)在區(qū)間[t，t+3]上的最大值參考答案：解：（1）∵∴，

（1分）令，解得

（2分）當(dāng)x變化時(shí)，，的變化情況如下表：0—0↗極大值↘極小值↗故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1），（a，+∞）；單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，a）；（4分）因此在區(qū)間（-2，-1）內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間（-1，0）內(nèi)單調(diào)遞減，要使函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)，

（5分）解得，所以a的取值范圍是（0，）.

（6分）（2）當(dāng)a=1時(shí)，.由（1）可知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，-1），（1，+∞）；單調(diào)遞減區(qū)間為（-1，1）；.

（7分）①當(dāng)t+3<-1，即t<-4時(shí)，因?yàn)樵趨^(qū)間[t，t+3]上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間[t，t+3]上的最大值為；

（9分）②當(dāng)，即時(shí)，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間[-1，1]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增，且，所以在區(qū)間上的最大值為.

（10分）由，即時(shí)，有[t，t+3]ì，-1?[t，t+3]，所以在上的最大值為；

（11分）③當(dāng)t+3>2，即t>-1時(shí)，由②得在區(qū)間上的最大值為.因?yàn)樵趨^(qū)間（1，+∞）上單調(diào)遞增，所以，故在上的最大值為.

（13分）綜上所述，當(dāng)a=1時(shí)，在[t，t+3]上的最大值.（14分）

21.（本題滿分13分）已知｛an｝是正數(shù)組成的數(shù)列，，且點(diǎn)（）（nN*）在函數(shù)的圖象上,成等差數(shù)列，且

(Ⅰ)求數(shù)列｛an｝及｛bn｝的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和參考答案：∴

解得q=2………………5分．=8

∴………………6分．（Ⅱ）

由已知

………………7分．

------------①……8分．------------②……9分．①－②得

……13分

22.（12分）（2014春?南昌期中）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且cosB=，b=2，（1）當(dāng)A=30°時(shí)，求a的值；

（2）當(dāng)△ABC的面積為3時(shí)，求a，c的值．參考答案：考點(diǎn)： 正弦定理．專題： 解三角形．分析： （1