2021-2022學(xué)年遼寧省阜新市第十七高級(jí)中學(xué)高一數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題

2021-2022學(xué)年遼寧省阜新市第十七高級(jí)中學(xué)高一數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.半徑R的半圓卷成一個(gè)圓錐，則它的體積為（）A．πR3 B．πR3 C．πR3 D．πR3參考答案：A【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺(tái)）．【專題】計(jì)算題．【分析】求出扇形的弧長(zhǎng)，然后求出圓錐的底面周長(zhǎng)，轉(zhuǎn)化為底面半徑，求出圓錐的高，然后求出體積．【解答】解：2πr=πR，所以r=，則h=，所以V=故選A【點(diǎn)評(píng)】本題是基礎(chǔ)題，考查圓錐的展開圖與圓錐之間的計(jì)算關(guān)系，圓錐體積的求法，考查計(jì)算能力．2.若角α與角β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，則（）A．α+β=π+kπ（k∈Z） B．α+β=π+2kπ（k∈Z）C． D．參考答案：B【考點(diǎn)】終邊相同的角．【專題】函數(shù)思想；綜合法；三角函數(shù)的求值．【分析】根據(jù)角α與角β的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，即可確定α與β的關(guān)系．【解答】解：∵π﹣α是與α關(guān)于y軸對(duì)稱的一個(gè)角，∴β與π﹣α的終邊相同，即β=2kπ+（π﹣α）∴α+β=α+2kπ+（π﹣α）=（2k+1）π，故答案為：α+β=（2k+1）π或α=﹣β+（2k+1）π，k∈z，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查角的對(duì)稱之間的關(guān)系，根據(jù)終邊相同的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ)．3.下列四個(gè)集合中，是空集的是（

）A．

B．C．

D．參考答案：D略4.對(duì)于函數(shù)f（x），若存在區(qū)間A=[m，n]，使得{y|y=f（x），x∈A}=A，則稱函數(shù)f（x）為“可等域函數(shù)”，區(qū)間A為函數(shù)的一個(gè)“可等域區(qū)間”．給出下列四個(gè)函數(shù)：①f（x）=|x|；②f（x）=2x2﹣1；③f（x）=|1﹣2x|；④f（x）=log2（2x﹣2）．其中存在唯一“可等域區(qū)間”的“可等域函數(shù)”的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：C【考點(diǎn)】函數(shù)的值．【分析】在①中，（0，+∞）是f（x）=|x|的唯一可等域區(qū)間；在②中，[﹣1，1]是唯一的可等域區(qū)間；在③中，函數(shù)只有一個(gè)等可域區(qū)間[0，1]；在④中，函數(shù)無可等域區(qū)間．【解答】解：在①中，（0，+∞）是f（x）=|x|的唯一可等域區(qū)間，故①成立；在②中，f（x）=2x2﹣1≥﹣1，且f（x）在x≤0時(shí)遞減，在x≥0時(shí)遞增，若0∈[m，n]，則﹣1∈[m，n]，于是m=﹣1，又f（﹣1）=1，f（0）=﹣1，而f（1）=1，故n=1，[﹣1，1]是一個(gè)可等域區(qū)間；若n≤0，則，解得m=，n=，不合題意，若m≥0，則2x2﹣1=x有兩個(gè)非負(fù)解，但此方程的兩解為1和﹣，也不合題意，故函數(shù)f（x）=2x2﹣1只有一個(gè)等可域區(qū)間[﹣1，1]，故②成立；在③中，函數(shù)f（x）=|1﹣2x|的值域是[0，+∞），所以m≥0，函數(shù)f（x）=|1﹣2x|在[0，+∞）上是增函數(shù)，考察方程2x﹣1=x，由于函數(shù)y=2x與y=x+1只有兩個(gè)交點(diǎn)（0，1），（1，2），即方程2x﹣1=x只有兩個(gè)解0和1，因此此函數(shù)只有一個(gè)等可域區(qū)間[0，1]，故③成立；在④中，函數(shù)f（x）=log2（2x﹣2）在定義域（1，+∞）上是增函數(shù)，若函數(shù)有f（x）=log2（2x﹣2）等可域區(qū)間[m，n]，則f（m）=m，f（n）=n，但方程log2（2x﹣2）=x無解（方程x=log2x無解），故此函數(shù)無可等域區(qū)間，故④不成立．綜上只有①②③正確．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的可等域區(qū)間的判斷，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．5.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S1=1，點(diǎn)(n，Sn)在曲線C上，C和直線x–y+1=0交于A、B兩點(diǎn)，|AB|=，那么這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是（

）（A）an=2n–1

（B）an=3n–2

（C）an=4n–3

（D）an=5n–4參考答案：C6.如圖是計(jì)算的值的程序框圖，在圖中①、②處應(yīng)填寫的語句分別是（

）A．

B．

C.

D．參考答案：A7.給定全集U，非空集合A，B滿足，，且集合A中的最大元素小于集合B中的最小元素，則稱(A，B)為的一個(gè)有序子集對(duì)，若，則U的有序子集對(duì)的個(gè)數(shù)為(

)A．48

B．49

C．50

D．51參考答案：B時(shí)，的個(gè)數(shù)是時(shí)，的個(gè)數(shù)是時(shí)，的個(gè)數(shù)是，時(shí)，的個(gè)數(shù)是1時(shí)，的個(gè)數(shù)是，時(shí)，的個(gè)數(shù)是

時(shí)，的個(gè)數(shù)是1，

時(shí)，的個(gè)數(shù)是

時(shí)，的個(gè)數(shù)是1時(shí)，的個(gè)數(shù)是1時(shí)，的個(gè)數(shù)是時(shí)，的個(gè)數(shù)是1、時(shí)，的個(gè)數(shù)是1時(shí)，的個(gè)數(shù)是1時(shí)，的個(gè)數(shù)是1的有序子集對(duì)的個(gè)數(shù)為49個(gè).

8.設(shè)函，則函數(shù)g（x）=f（x）﹣x的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A．3個(gè) B．2個(gè) C．1個(gè) D．0個(gè)參考答案：A【考點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)．【專題】計(jì)算題；壓軸題；分類討論；轉(zhuǎn)化思想．【分析】根據(jù)f（x）=x2﹣bx+c，f（﹣4）=f（0），f（﹣2）=﹣2以及二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性可得，即可求得函數(shù)的解析式，要求函數(shù)g（x）=f（x）﹣x的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即求方程f（x）=x根的個(gè)數(shù)，解方程即可求得結(jié)果．【解答】解：∵x≤0時(shí)，f（x）=x2﹣bx+c，f（﹣4）=f（0），f（﹣2）=﹣2∴，解得，f（x）=x2+4x+2，解方程x2+4x+2=x，得x=﹣1，或x=﹣2；當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=2，解方程2=x，得x=2，綜上函數(shù)g（x）=f（x）﹣x的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3個(gè)，故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要通過零點(diǎn)的概念來考查二次函數(shù)和分段函數(shù)及方程根的求法，解決分段函數(shù)問題，一般是分段求解，體現(xiàn)了分類討論的思想，函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根之間的關(guān)系，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化的思想，同時(shí)考查了運(yùn)算能力，屬中檔題9.某路口人行橫道的信號(hào)燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時(shí)間為40秒，綠燈持續(xù)時(shí)間為45秒，若一名行人來到該路口遇到紅燈，則至少需要等街15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為（

）A．

B．

C.

D．參考答案：D10.已知P，A，B，C是球O的球面上的四個(gè)點(diǎn)，PA⊥平面ABC，，，則該球的半徑為（

）A. B. C. D.參考答案：D【分析】先由題意，補(bǔ)全圖形，得到一個(gè)長(zhǎng)方體，則即為球的直徑，根據(jù)題中條件，求出，即可得出結(jié)果.【詳解】如圖，補(bǔ)全圖形得到一個(gè)長(zhǎng)方體，則即為球的直徑.又平面，，,所以，因此直徑，即半徑為.故選：D.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若sin()=，sin()=，則=________參考答案：12.函數(shù)y=的定義域是一切實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_____________參考答案：k

13.已知數(shù)列{an}，，若該數(shù)列是減數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．參考答案：【分析】本題可以先通過得出的解析式，再得出的解析式，最后通過數(shù)列是遞減數(shù)列得出實(shí)數(shù)的取值范圍?！驹斀狻?，

因?yàn)樵摂?shù)列是遞減數(shù)列，所以即因?yàn)樗詫?shí)數(shù)的取值范圍是?！军c(diǎn)睛】本題考察的是遞減數(shù)列的性質(zhì)，遞減數(shù)列的后一項(xiàng)減去前一項(xiàng)的值一定是一個(gè)負(fù)值。14.函數(shù)的定義域是

.

參考答案：略15.如圖，在△ABC中，∠ACB=900，AC=3，D在斜邊AB上，且BD=2AD，則的值為

.

參考答案：6略16.若角的終邊落在直線上，則=

。參考答案：略17.公元五世紀(jì)張丘建所著《張丘建算經(jīng)》卷中第22題為：“今有女善織，日益功疾，初日織五尺，今一月日織九匹三丈，問日益幾何”．題目的意思是：有個(gè)女子善于織布，一天比一天織得快（每天增加的數(shù)量相同），已知第一天織布5尺，一個(gè)月（30天）共織布9匹3丈，則該女子每天織布的增加量為

尺．（1匹=4丈，1丈=10尺）參考答案：設(shè)該女子織布每天增加尺，由題意知，尺，尺又由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式得，解得尺

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足，且.求數(shù)列的前項(xiàng)和.參考答案：數(shù)列的前項(xiàng)和【分析】先通過已知求出，再分類討論求出數(shù)列的前項(xiàng)和.【詳解】由題得，所以，所以.當(dāng)n≥2時(shí)，當(dāng)n=1時(shí)，.所以數(shù)列是一個(gè)以10為首項(xiàng)，以-2為公差的等差數(shù)列，所以.所以n≤6時(shí)，，n＞6時(shí)，.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,當(dāng)n≤6時(shí)，；當(dāng)n＞6時(shí)，.所以數(shù)列的前項(xiàng)和.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)的求法，考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和計(jì)算能力.19.將數(shù)列中的所有項(xiàng)按第一排三項(xiàng)，以下每一行比上一行多一項(xiàng)的規(guī)則排成如下數(shù)表：記表中的第一列數(shù)構(gòu)成的數(shù)列為，已知：①在數(shù)列中，，對(duì)于任何，都有；②表中每一行的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成公比為的等比數(shù)列；③．請(qǐng)解答以下問題：（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求上表中第行所有項(xiàng)的和；（Ⅲ）若關(guān)于的不等式在上有解，求正整數(shù)的取值范圍．參考答案：解：（Ⅰ）由，得數(shù)列為常數(shù)列。故，所以．4分（Ⅱ）∵，∴表中第一行至第九行共含有的前63項(xiàng)，在表中第十行第三列．

7分

故，而，∴．9分

故．

10分

（Ⅲ）在上單調(diào)遞減，故的最小值是．

11分

若關(guān)于的不等式在上有解，

設(shè)，則必須．12分

（或），，函數(shù)當(dāng)且時(shí)單調(diào)遞增．

14分而，，所以的取值范圍是大于4的一切正整數(shù)．

16分略20.（12分）已知函數(shù)f（x）=ax2+（b﹣8）x﹣a﹣ab．當(dāng)x∈（﹣3，2）時(shí)，f（x）＞0，當(dāng)x∈（﹣∞，﹣3）∪（2，+∞）時(shí)，f（x）＜0．（1）求f（x）的解析式；（2）若函數(shù)在區(qū)間及t∈時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取范圍．參考答案：考點(diǎn)： 二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值；二次函數(shù)的性質(zhì)．專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析： （1）由題意可得a＜0，且﹣3和2是方程f（x）=ax2+（b﹣8）x﹣a﹣ab=0的2個(gè)實(shí)數(shù)根，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系解得a和b的值，即可求得f（x）的解析式（2）由于函數(shù)=﹣x2+2tanθx+5的對(duì)稱軸為x=tanθ，且在區(qū)間及t∈時(shí)恒成立．故函數(shù)h（x）=（6﹣3t）x2+（6﹣3t）x+t﹣38+2m在上的最小值為h（﹣）=（﹣m）t+2m﹣≥0對(duì)t∈恒成立．故有（﹣m）×1+2m﹣≥0且（﹣m）（﹣1）+2m﹣≥0，由此求得m的范圍．解答： （1）由題意可得a＜0且﹣3和2是方程f（x）=ax2+（b﹣8）x﹣a﹣ab=0的2個(gè)實(shí)數(shù)根，∴﹣3+2=，且﹣3×2=，解得a=﹣3，b=5，∴f（x）=﹣3x2﹣3x+18．（2）若函數(shù)=﹣x2+2tanθx+5的對(duì)稱軸為x=tanθ，且在區(qū)間及t∈時(shí)恒成立，可得（6﹣3t）x2+（6﹣3t）x+t﹣38+2m≥0對(duì)x∈及t∈時(shí)恒成立．把x當(dāng)作自變量，可得此一元二次不等式對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的對(duì)稱軸為x=﹣，故函數(shù)h（x）=（6﹣3t）x2+（6﹣3t）x+t﹣38+2m在上的最小值為h（﹣）=（﹣m）t+2m﹣≥0對(duì)t∈恒成立．故有（﹣m）×1+2m﹣≥0且（﹣m）（﹣1）+2m﹣≥0，求得m≥．點(diǎn)評(píng)： 本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，求函數(shù)的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．21.設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，其中，為常數(shù)，且.（1）求