(必考題)高中數(shù)學(xué)高中數(shù)學(xué)選修4第一章《不等關(guān)系與基本不等式》測試

nn242，88，88，8，88nn242，88，88，8，88一、選題1．某單位計劃今明兩年購買某物品，有甲、乙兩種不同的購買方案，甲方案：每年購買的數(shù)量相等；乙方案：每年購買的金額相等，假設(shè)今明兩年該物品的價格分別為、

p1

，則這兩種方案中平均價格比較低的是（）A．甲

B．

C．甲、乙一樣

．法確定2．若a＞，下列不等式一定成立的是（）A．

11ab

B．a(chǎn)

5

5

C．a(chǎn)c

2

bc

2

．

b3．已知

，ab

a，則a的最小值（）A．B．C．

．4．已知函數(shù)f(x)

，若

x[2,

，

f)0則實數(shù)的取值范圍是（）A．

(

B．

(0,

C．

[0,

．

(1,5．設(shè)

0.6，0.3

12

，則（）A．C．

mmmmn

B．．

mmn6．等差數(shù)列{a}的n項和S，S≤615≤≤21，則的取值范圍為（）A．

47

B．

C．

．

7．如果

2

，

，

c

10.53

，那么)A．

B．

c

C．

．

ca8．如關(guān)于的等式

x

的解集不是空集，則參數(shù)a的值范圍是（）A．

B．

C．

．

9．若A．

，則下列結(jié)論不正確的是B．

C．

．10．知

bR

，且

a2

，

，則，的關(guān)系是（）A．

P

B．

P

C．

P≤

．

P11．，下列不等式成立的是（）

a,2p::xxa,2p::xxA．2

B．

11ab

C．

ab

．e12．x是x

成立的)A．充分不必要條件C．要條件二、填題

B．要不充分條件．非充分又非必要條件13．知平面向量a，，

滿足|b，

，則|

的最大值為___________．14．出下列語句：①若a為正實數(shù)，a，a

3；②若為正實數(shù)，

a

，則

abb

；③若

abc

，則；④當

x

2

)時

2x

的最小值為，中結(jié)論正確的___________．15．較大?。?_______

25

．16．知不等式xyax，對任意

xy[4,5]

恒成立，則實數(shù)a的值范圍是__________．．某學(xué)習(xí)小組，調(diào)查鮮花市場價格得知，購買2支瑰與1支乃馨所需費用之和大于8元而購買4支瑰與5支乃馨所需費用之和小于22元設(shè)買支瑰花所需費用為元，購買支乃馨所需費用為元則、B的大小關(guān)系_18．關(guān)于的等式

(ab)

的解集為

{5}

，則

________.19．知二次函數(shù)（（R）值域為0，∞），為．

acca

的最小值20．函數(shù)

f(x)

|

(a0)

，若

f

，則

a

的取值范圍是_____.三、解題21．知函數(shù)

fx

的最大值為m．f的解集；（）不等式（）、均正數(shù)，且滿足

b2，求證：ab

．22．實滿2ax，實數(shù)滿足（），為，求實數(shù)的取值范圍；

x

.（）其中

a0

且是的分不必要條件，求實數(shù)的取值范.

xxm12112xxm1211223．知函數(shù)

f(x

.（）時求不等式

f(x

的解集；（）a，若

f(

的圖象與軸成的三角形面積于，求的.24．知函數(shù)

f(x)x|

.f(x)的解集；（）不等式（）存在實，使得不等式

m

mf(x)

成立，求實數(shù)的值范圍25．下列關(guān)于的等式的解集（）

2x

；（）x|．26．函數(shù)

f(

1132cx32

，

f

x

為

的導(dǎo)函數(shù)，

f

a2

，3cb

.（），表，證明：

a0

時，

ba

；（）

a

12

，b，

，求證：當時，

f

.【參考答案】***試卷處理標記，請不要除一選題1．解析：【分析】分別計算出兩種方案的平均價格，然后利用作差法可得出結(jié).【詳解】對于甲方案，設(shè)每年購買的數(shù)量為，兩年的購買的總金額為

xx12

，平均價格為

pp1x2

；y對于乙方案，設(shè)每年購買的總金額為y，則總數(shù)量為，2平均價格為

yp12

11

.因為

pp2pppp12122pppp2pp122

，所以，

p2p2p

.因此，乙方案的平均價格較低故選：【點睛】方法點睛：比較法是不等式性質(zhì)證明的理論依據(jù)，是不等式證明的主要方法之一，作差法的主要步驟為：作差—形判正負．所給不等式是積、商、冪的形式時，可考慮比商2．B解析：【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性、不等式的基本性質(zhì)即可判斷出結(jié)論．【詳解】a＞，則

與的小關(guān)系不確定；由函數(shù)y=x5在R上調(diào)遞增∴a5b5；b=0時，ac=bc；取，=-2|a|＞b不立．因此只有B成立．故選．【點睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、不等式的基本性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．3．C解析：【分析】令

a

，得

a

，代入2ab

2

，簡后利用判別式列不等式，解不等式求得【詳解】

的最小值令

z

，得

a

，代入2ab

2

并簡得b2

，關(guān)于的一元二次方程有正解所以首先

，即

，由于,是正實數(shù)，所以

z，即z

，也即a的小值為.此時對稱軸

12z22

，所以關(guān)于的元二次方程

有正解，符合題意.故選：【點睛】

220.60.60.60.6220.60.60.60.6本小題主要考查判別式法求最值，考查一元二次不等式的解法，屬于中檔.4．B解析：【分析】結(jié)合已知不等式可轉(zhuǎn)化為即

2

結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求

2

x在

[2,

上的最大值即求解．【詳解】解

,

f()

,即

2

x在

x[2,

上恒成立結(jié)二次函數(shù)的性質(zhì)知當

2

時x取最大值為0.即

a

.故選B．【點睛】本題考查了由不等式恒成立問題求參數(shù)的范對關(guān)于

f(x)

的不等式在的段區(qū)間上恒成立問題一情況下進行參變分,

ah()

在區(qū)間上恒成立只求出

h(x)

的最大值令

()

max

即可若

a(x)

在區(qū)間上恒成立只求出

(x)

的最小值令

min

即可.5．A解析：【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得,n

,根據(jù)不等式的性質(zhì)可知

m

;通比較11m

與1的小關(guān)系即判斷

,從可選出正確答案【詳解】解

0.6

,

1log0.6log12

,則

mn1log0.3loglog0.6mmnm故選【點睛】本題主要考查了對數(shù)的運算，對數(shù)函數(shù)的單調(diào).比較對數(shù)的大小常結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小對

f()a

,若

,則1)0

時

fx0

;當

x時

fx

;當

x

時

f(

;若a,則1)x

時

f()

;當

時

f)0

;當時

fx0

.6．B解析：

22222222222212222222222221【分析】首先設(shè)公差為d

，由題中的條件可得

a2

和

152122

，利用待定系數(shù)法可得

a2

112aa4

，結(jié)合所求的范圍及不等式的性質(zhì)可得【詳解】

.設(shè)公差為d

，由

2

，得

1

，即

a2

；同理由

4

可得

15a2

.故可設(shè)

ax22

，所以有

ay2

，所以有

yxy

，解得

x

14

，即

1aa44

，因為

1

1315212，428

.所以

231333322，即84

.故選：【點睛】本題主要考查不等式的性質(zhì)及等差數(shù)列的運算，利用不等式求解范圍時注意放縮的尺度，運算次數(shù)越少，范圍越準.7．D解析：【分析】由題意可知，

asin

34

，

，

1c3

，從而判斷ac

的大小關(guān)系即可【詳解】2

43sinsin21123

2，即2

11log，log23

11

2b故選：【點睛】本題考查比較大小，是比較綜合的一道題，屬于中檔.8．A解析：【分析】先求最小值是，即得解【詳解】由題得＜有，由絕對值三角不等式|≥|x-3-x+4|=1所以最小值為，所以＜即＞故選【點睛】本題主要考查絕對值三角不等式求最值，考查不等式的有解問題，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能.9．D解析：【分析】不妨令【詳解】

，代入各個選項進行驗證，找出符合條件的選項．由題，妨令，故正；

，可得a＜2，故A正；，故C正．故不確．故選．【點睛】本題主要考查不等式與不等關(guān)系，利用特殊值代入法，排除不符合條件的選項，是一種簡單有效的方法，屬于基礎(chǔ)題10．解析：【解析】分析：因為P﹣2=﹣

(

≤0，以P≤Q，則P，

詳解：因為a，∈，P=

aa，，2所以2

a

2

2a，24

2

，則2﹣2=

a22a2ab()﹣=﹣≤0424當且僅當a=b時取等成立，所以2﹣2≤0，即P≤Q

2所以P≤Q故選：．點睛：比較大小的常用方法（）差法：一般步驟：作②變；定；結(jié)論其中關(guān)鍵是變形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式變成積式或者完全平方當個式子都為正數(shù)時，有時也可以先平方再作差（）商法：一般步驟：作②變；判商的大小；結(jié).（）數(shù)的單性法：將要比較的兩個數(shù)作為一個函數(shù)的兩個函數(shù)值，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得出大小關(guān).（）助第三比較法11．解析：【解析】分析：根據(jù)不等式的性質(zhì)，通過舉例，可判定A、、不確根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，即可得到是確.詳解：當

b

時，滿足，時

2

ab

，所以A、、不正確；因為函數(shù)

是單調(diào)遞增函數(shù)，又由所以e

a

b

，故選點睛：本題主要考查了不等式的性質(zhì)的應(yīng)用和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，其中熟記不等式的基本性質(zhì)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力12．解析：【解析】分析：先化簡x和x詳解：因為，以2≤x≤2.

，再利用充要條件的定義判斷因為

，所以1≤x+1，所2≤x≤0.

因為2≤2成，-2≤x≤0不一定成立，所以

成立的非充分條.因為2≤x≤0成，-2≤x≤2一定成立，所以x

成立的必要條件所以是x

成立的必要不充分條.故答案為：點睛：1）題主要考查解絕對值不等式和充要條件的判斷，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力(2)判充要條件常用的方法定義法、集合法和轉(zhuǎn)化.二、填題13．【分析】只有不等號左邊有當為定值時相當于存在的一個方向使得不等式成立適當選取使不等號左邊得到最小值且這個最大值不大于右邊【詳解】當為定值時當且僅當與同向時取最小值此時所以因為所以所以所以當且僅當且與解析：2【分析】只有不等號左邊有

c

，當

c

為定值時，相當于存在

c

的一個方向使得不等式成立．適當選取【詳解】

c

使不等號左邊得到最小值，且這個最大值不大于右邊．當

c

為定值時，|)|

當且僅當c與向時取最小值，此時||a|

，所以c|

aa

．因為ab|，以())a)，所以

a)

a

|a)

a

]所以|a2，且僅當a且與同時取等號．故答案為2．【點睛】本題考察平面向量的最值問題，需要用到轉(zhuǎn)化思想、基本不等式等，綜合性很強，屬于中檔題．14．③分析】利用作差法可判斷出確；通過反例可排除②根據(jù)不等式的性質(zhì)可知③確；根據(jù)的范圍可求得的范圍根據(jù)對號函數(shù)圖象可知錯誤【詳解】①為正實數(shù)即可知正確；②若則可知錯誤；③若可知則即可知解析：③.【分析】利用作差法可判斷出正；通過反例可排；根據(jù)不等式的性質(zhì)可正確；根據(jù)

的范圍可求得x

的范圍，根據(jù)對號函數(shù)圖象可④錯.【詳解】

22y22y①

a2

a

，b為實數(shù)

，32，a332，知正；②若，

，

，則

a1b2b

，可知錯；③若

acc

，可知c

，

abc2

2

，即a，可③確；④當

x0,

時，sin象可知：

sinsin

，可知④錯.本題正確結(jié)果：③【點睛】本題考查不等式性質(zhì)的應(yīng)用、作差法比較大小問題、利用對號函數(shù)求解最值的問題，屬于常規(guī)題型15．【詳解】試題分析：要比較的大小只須比較要比較兩數(shù)的大小只須比較的大小顯然從而考點：1數(shù)或式的大小比較；2分析法解析：【詳解】試題分析：要比較7、

25

的大小，只須比較(7)42、21040，比較42、13兩數(shù)的大小，只須比較40的小，顯然

，而67

25

．考點：．或的大小比較2．析法．16．【分析】先將不等式對任意恒成立轉(zhuǎn)化為不等式對任意恒成立再令轉(zhuǎn)化為對任意恒成立求解即可【詳解】因為不等式對任意恒成立所以不等式對任意恒成立令所以對任意恒成立令所以所以故答案為：【點睛】本題主要考查不等解析[【分析】先將不等式2y2，任意

xy[4,5]

恒成立，轉(zhuǎn)化為不等式a，任意

xy[4,5]

恒成立，再令tx

，轉(zhuǎn)化為at，任意t[2,5]恒立求解.【詳解】因為不等式

，對任意

xy[4,5]

恒成立，

所以不等式a

，對任意

x[4,5]

恒成立，令t

yx

，所以at

，對任意t恒成立，令yt，所以所以

ya

，故答案為：

[【點睛】本題主要考查不等式恒成立問題以及不等式的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題17．A>B【分析】設(shè)每支支玫x元每支康乃馨y元則由題意可得：代入可得：根據(jù)不等式性質(zhì)聯(lián)立即可得解【詳解】設(shè)每支支玫瑰元每支康乃馨y元則由題意可得：代入可得：根據(jù)不等式性質(zhì)可得：而可得故故答案為：【點解析：A【分析】設(shè)每支支玫瑰x元每支康乃馨y元，則

AB

，由題意可得：

xyx22

3，代入可得：

，根據(jù)不等式性質(zhì)，聯(lián)立即可得解.【詳解】設(shè)每支支玫瑰x元每支康乃馨y元，則

2xAyB

，由題意可得：

xyx22

，3代入可得：

，根據(jù)不等式性質(zhì)可得：

B

，而

，可得

A

,故AB，故答案為：A

【點睛】本題考查了利用不等式解決實際問題，考查了不等式性質(zhì)，同時考查了轉(zhuǎn)化思想和計算能力，屬于中檔題18．【分析】利用絕對值的性質(zhì)解不等式后與已知比較可求得【詳解】由得即所以解得所以故答案為：【點睛】本題考查解絕對值不等式掌握絕對值的性質(zhì)是解題關(guān)鍵解析【分析】利用絕對值的性質(zhì)【詳解】

解不等式后與已知比較可求得b由

|

得

x

，即

x

，所以，得，所以

a

．故答案為：．【點睛】本題考查解絕對值不等式，掌握絕對值的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．19．【分析】先判斷是正數(shù)且把所求的式子變形使用基本不等式求最小值【詳解】由題意知則當且僅當時取等號∴的最小值為4點睛】】本題考查函數(shù)的值域及基本不等式的應(yīng)用屬中檔題解析：【分析】先判斷、是數(shù)且ac把所求的式子變形使用基本不等式求最小值．【詳解】由題意知，

＞ac＞0，則

c1a1ccaaaac當且僅當ac取等號．

cca

的最小值為4．【點睛】本題考查函數(shù)的值域及基本不等式的應(yīng)用．屬中檔.20．【解析】分析：即再分類討論求得的范圍綜合可得結(jié)論詳解：函數(shù)函數(shù)由可得其中下面對進行分類討論①可以解得②可以解得綜上即答案為點睛：本題主要考查絕對值不等式的解法體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化分類討論的數(shù)學(xué)思想屬于中檔題

22121解析()2【解析】分析：

f

，即

x

1a

，再分類討論求得a的范圍，綜合可得結(jié)論．詳解：函數(shù)函數(shù)

f

x(a0)

，由

f

x

，其中，下面對進分類討論，①3時

5

521，可以解得＜＜2②＜

時，

＜5

1，可以解得＜2綜上，a55即答案為點睛：本題主要考查絕對值不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．三、解題21．1）

；（）明見解.【分析】（）段討論絕對值即可求解不等式；（）求出m，由基本不等式即可證.【詳解】（）：當

x

時，

f

，令

，x

，解得此時

；當

14

時，

f

，令

f

，即

，解得

x

55，此時33

；當x4時

f

，令

，，得x，此時x．

qxqp,p綜上所述，不等式

的解集為

5

；（）：由（）知，當時

f

；當

時，

f

；當x4時

f

．綜上所述，函數(shù)

的最大值為

，∴

a

．由基本不等式得a2b2abacb

，當且僅當

a

時，等號成立，所以

c2abc

．【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查含絕對值不等式的求解和不等式的證明，解題的關(guān)鍵是分段去絕對值求解，能正確利用基本不等式建立關(guān).22．1）

2

43

【分析】（）一元二不等式求得x的值圍，解絕對值不等式求得中x的值范圍，根據(jù)為，即都真題，求得的取值范圍.（）一元二不等式求得中的值范圍，根據(jù)是的分不必要條列不等式組，解不等式組求得實數(shù)的值范.【詳解】對于：

得

x

，解24（）時對于：

x

x

，解得

1x

，由于p為真，所以都真命題，所以

解得

x

，所以實數(shù)的值范圍是（）

a0

時，對于：

2

axa

2

，解得axa由于

是的分不必要條件，所以是的要不充分條件，所以，得4a.所以實數(shù)的值范圍是

.【點睛】本小題主要考查一元二次不等式的解法，考查根據(jù)含有邏輯連接詞命題真假性求參數(shù)的取

aa,aa,值范圍，考查根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)的取值范圍，屬于中檔.23．1）

3[,]2

；（）

a

.【分析】（）代

f(x)

中，然后根據(jù)

f(4

，利用零點分段法解不等式即可；（）據(jù)條件求出

f(x)

的圖象與軸成的三角形底邊和高，然后根據(jù)面積為6得到關(guān)于的方程，再求出的.【詳解】解：（）時

xf()xx

.fx)

，

4或或，x1x1

32

或

x

5x，22

，

不等式的解集為

.（）時，

(1a),xf()xa(a1

，當a，令

f()，x

12或，a又由

yxay

，得，fx)

的圖象與軸成的三角形面積于，1a1a2

，解得

或

a

12

（舍

)

.

mm【點睛】本題考查了絕對值不等式的解法，考查了分類討論思想和方程思想，屬于中檔.24．1）

(

(

；（）

(1,4)

.【分析】（）函數(shù)

yf(x)

的解析式表示為分段函數(shù)，然后分

、

x

、

x

三段求解不等式

f()

，綜合可得出不等式

f(x)

的解集；（）出函數(shù)f(x)的最大值即可得出實數(shù)的值范圍

f)

，由題意得出

m

2

f(x

，解此不等式【詳解】xf(x)x

.

（）

x

時，由

(x

，解得x，時；當

時，由

(x

，解得

x此時

；當