概率論與數(shù)理統(tǒng)計-第七章-參數(shù)估計-第二節(jié)-點估計

參數(shù)估計第二節(jié)參數(shù)的點估計一、引例隨機抽查100個嬰兒,得100個體重數(shù)據(jù)10,7,6,6.5,5,5.2,

…呢?據(jù)此,我們應如何估計和而全部信息就由這100個數(shù)組成.例如

已知某地區(qū)新生嬰兒的體重

,未知一、引例

為估計:我們需要構造出適當?shù)臉颖镜暮瘮?shù)U(X1,X2,…Xn)，每當有了樣本，就代入該函數(shù)中算出一個值，用來作為的估計值.U(X1,X2,…Xn)稱為參數(shù)的點估計量，把樣本值代入U(X1,X2,…Xn)中，估計值.得到的一個點一、引例由大數(shù)定律,自然想到把樣本體重的平均值作為總體平均體重的一個估計.樣本體重的平均值我們知道,若,則.用樣本體重的均值估計.類似地，用樣本體重的方差估計.一、引例可以用樣本均值;也可以用樣本中位數(shù);還可以用別的統(tǒng)計量.使用什么樣的統(tǒng)計量去估計？問題是:1.順序統(tǒng)計量估計法2.矩估計法3.極大似然估計4.最小二乘法……這里我們主要介紹前面三種方法.點估計常用方法：二、順序統(tǒng)計量法1、用中位數(shù)估計均值二、順序統(tǒng)計量法二、順序統(tǒng)計量法二、順序統(tǒng)計量法2、用極差估計標準差二、順序統(tǒng)計量法二、順序統(tǒng)計量法二、順序統(tǒng)計量法二、順序統(tǒng)計量法二、順序統(tǒng)計量法三、矩估計法矩估計法是英國統(tǒng)計學家K.皮爾遜最早提出來的.由辛欽大數(shù)定理,若總體的數(shù)學期望有限,則有其中為連續(xù)函數(shù).三、矩估計法

這表明,當樣本容量很大時

,在統(tǒng)計上,可以用用樣本矩去估計總體矩.這一事實導出矩估計法.定義用樣本原點矩估計相應的總體原點矩,又用樣本原點矩的連續(xù)函數(shù)估計相應的總體原點矩的連續(xù)函數(shù),這種參數(shù)點估計法稱為矩估計法

.

理論依據(jù):

大數(shù)定律矩估計法的具體做法如下：那么它的前k階矩,一般都是這k個參數(shù)設總體的分布函數(shù)中含有k個未知參數(shù),那么用諸的估計量Ai分別代替上式中的諸,即可得諸的矩估計量：三、矩估計法i=1,2,…,k從這k個方程中解出j=1,2,…,kj=1,2,…,k矩估計量的觀察值稱為矩估計值.的函數(shù),記為：三、矩估計法三、矩估計法三、矩估計法三、矩估計法三、矩估計法三、矩估計法三、矩估計法三、矩估計法

矩法的優(yōu)點是簡單易行,并不需要事先知道總體是什么分布.

缺點是，當總體類型已知時，沒有充分利用分布提供的信息.一般場合下,矩估計量不具有唯一性.其主要原因在于建立矩法方程時，選取那些總體矩用相應樣本矩代替帶有一定的隨意性.

練習1

設總體X在[a,b]上服從均勻分布,a,b未知.是來自X

的樣本,試求a,b

的矩估計量.解

三、矩估計法即解得于是a,b的矩估計量為樣本矩總體矩三、矩估計法解

練習2

設總體X的均值和方差都存在,未知.是來自X

的樣本,試求的矩估計量.三、矩估計法解得于是的矩估計量為樣本矩總體矩三、矩估計法解:

由矩法,樣本矩總體矩從中解得的矩估計.即為數(shù)學期望是一階原點矩

練習3

設總體X的概率密度為是未知參數(shù),其中X1,X2,…,Xn是取自X的樣本,求參的矩估計.三、矩估計法四、極大似然估計它是在總體類型已知條件下使用的一種參數(shù)估計方法.它首先是由德國數(shù)學家高斯在1821年提出的.GaussFisher然而,這個方法常歸功于英國統(tǒng)計學家費歇.費歇在1922年重新發(fā)現(xiàn)了這一方法，并首先研究了這種方法的一些性質.四、極大似然估計極大似然估計法的思想

極大似然估計法，是建立在最大似然原理的基礎上的求點估計量的方法。最大似然原理的直觀想法是：在試驗中概率最大的事件最有可能出現(xiàn)。因此，一個試驗如有若干個可能的結果A,B,C,…,若在一次試驗中，結果A出現(xiàn)，則一般認為A出現(xiàn)的概率最大。四、極大似然估計極大似然估計定義：當給定樣本X1,X2,…Xn時，定義似然函數(shù)為：設X1,X2,…Xn是取自總體X的一個樣本，樣本的聯(lián)合密度(連續(xù)型）或聯(lián)合分布律(離散型)為

f(x1,x2,…,xn;)這里x1,x2,…,xn

是樣本的觀察值.四、極大似然估計似然函數(shù)：f(x1,x2,…,xn;)極大似然估計法就是用使達到最大值的去估計.即稱為的極大似然估計值.而相應的統(tǒng)計量稱為的極大似然估計量.看作參數(shù)的函數(shù)，它可作為將以多大可能產(chǎn)生樣本值x1,x2,…,xn

的一種度量.四、極大似然估計求最大似然估計量的一般步驟為：

（1）求似然函數(shù)（2）一般地，求出及似然方程

（3）解似然方程得到最大似然估計值

（4）最后得到最大似然估計量

四、極大似然估計四、極大似然估計四、極大似然估計四、極大似然估計解似然函數(shù)練習四、極大似然估計四、極大似然估計四、極大似然估計四、極大似然估計四、極大似然估計解似然函數(shù)為對數(shù)似然函數(shù)為練習

設X1,X2,…Xn是取自總體X的一個樣本求的最大似然估計值.其中

>0,四、極大似然估計求導并令其為0=0從中解得即為的最大似然估計值

.對數(shù)似然函數(shù)為四、極大似然估計四、極大似然估計四、極大似然估計四、極大似然估計四、極大似然估計五、評價估計量的標準這就需要討論以下問題:問題的提出從前面可以看到,對于同一個參數(shù),用不同的估計方法求出的估計量可能不相同,而且,很明顯,原則上任何統(tǒng)計量都可以作為未知參數(shù)的估計量.(1)對于同一個參數(shù)究竟采用哪一個估計量好?(2)評價估計量的標準是什么?五、評價估計量的標準常用的幾條標準是：1．無偏性2．有效性3．一致性這里我們重點介紹前面兩個標準.五、評價估計量的標準1、無偏性五、評價估計量的標準五、評價估計量的標準證推廣五、評價估計量的標準特別的:不論總體X服從什么分布,只要它的數(shù)學期望存在,五、評價估計量的標準五、評價估計量的標準五、評價估計量的標準五、評價估計量的標準五、評價估計量的標準五、評價估計量的標準所