機械工程控制基礎 第二章 傳遞函數(shù)

1第二章系統(tǒng)的數(shù)學模型

第二章系統(tǒng)的數(shù)學模型主要內容：控制系統(tǒng)的數(shù)學模型

1.系統(tǒng)微分方程的建立及非線性方程的線性化控制理論的研究對象是系統(tǒng)、輸入、輸出三者之2.傳遞函數(shù)的定義、性質及典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)3.系統(tǒng)傳遞函數(shù)方塊圖及簡化4.相似原理間的動態(tài)關系，描述系統(tǒng)這種動態(tài)關系的是系統(tǒng)的數(shù)學模型，古典控制理論內系統(tǒng)的數(shù)學模型有三種21．微分方程：時域——求解困難2．傳遞函數(shù)：復域——求解方便，便于直接在復域中研究系統(tǒng)的動態(tài)特性§2-1系統(tǒng)的微分方程§2-2傳遞函數(shù)§2-3典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)§2-4系統(tǒng)傳遞函數(shù)方塊圖及其簡化各章節(jié)內容3.動態(tài)結構圖（傳遞函數(shù)方框圖）補充內容拉普拉斯變換3一、線性定常系統(tǒng)及疊加原理§2-1系統(tǒng)的微分方程

1．系統(tǒng)、輸入、輸出三者關于的微分方程的標準形式：式中：——系統(tǒng)輸出;

——系統(tǒng)輸入41）線性系統(tǒng)：方程只包含變量、a．線性定常系統(tǒng)：an…a0

；bm…b0為常數(shù)b．線性時變系統(tǒng)：an…a0

；bm…b0為時間的函數(shù)2）非線性系統(tǒng)：方程中含有、的各階導數(shù)各階導數(shù)的其它函數(shù)形式2．根據(jù)系統(tǒng)微分方程對系統(tǒng)進行分類5

例，其中,a,b,c,d均為常數(shù)。

線性定常系統(tǒng)線性時變系統(tǒng)非線性系統(tǒng)6Xi1(t)AX01(t)Xi1(t)→X01(t)Xi2(t)AX02(t)Xi2(t)→X02(t)Xi1(t)AXi2(t)X01(t)X02(t)aXi1(t)+bXi2(t)→aX01(t)+bX02(t)3．線性系統(tǒng)滿足疊加原理意義：對于線性系統(tǒng)，各個輸入產生的輸出是互不影響的。因此，在分析多個輸入加在線性系統(tǒng)上而引起的總輸出時，可以先分析由單個輸入產生的輸出，然后把這些輸出疊加起來，則可求得總的輸出。7力學——牛頓定律3．將各運動方程構成微分方程，消去中間變量，并化成標準形式（輸出量和輸入量的各導數(shù)項按降階排列）2．從系統(tǒng)輸入端開始，依次列寫出各元件（環(huán)節(jié)）的運動方程電學——基爾霍夫定律二、微分方程的列寫步驟1．分析系統(tǒng)的工作原理，找出輸入、輸出及中間變量的關系8質量——彈簧——阻尼系統(tǒng)my(t)f(t)ck圖2-1===++00)0()0()()()()(yyyytftkytyctym.....例1：9L、C、R組成的電路如圖，列出以u1為RCu2(t)i(t)Lu1(t)輸入、u2為輸出的運動方程解：由基爾霍夫電壓定律有：消去中間變量i：寫成微分方程標準形式：例2：10受到影響，此影響稱負載效應。其實質是物理環(huán)節(jié)之兩個或兩個以上環(huán)節(jié)（或子系統(tǒng)）組成一個系統(tǒng)時，若其中一環(huán)節(jié)的存在使另一環(huán)節(jié)在相同輸入下的輸出間的信息反饋作用。i1(t)c2u2(t)u1(t)c1i2(t)R1R2圖2-3例：由兩極串聯(lián)的RC電路組成的濾波網絡，試寫出以u1(t)為輸入，u2(t)為輸出的系統(tǒng)微分方程。三、負載效應11解：把兩個RC電路當作整體來考慮消去中間變量i1、i2

得：i1(t)c2u2(t)u1(t)c1i2(t)R1R2ab121314若分開考慮：

C1i1(t)u1(t)R1==+òòdtiCuudtiCiR111111111'1C2u2(t)i2(t)u'1(t)R2==+òòdtiCuudtiCiR222122221'1此結果錯誤151．系統(tǒng)由單變量非線性函數(shù)所描述

y=f(x)y(t):輸出x(t):輸入四、非線性微分方程線性化16若令x=Δx,y=Δy

則y=kx——線性化方程172．非線性系統(tǒng)輸出z(t)是兩個變量x和y的函數(shù)，即 z=f(x,y)

1）確定工作點 P(x0,y0,z0)2）在工作點附近展開成泰勒級數(shù)并忽略高階項L+D??+D??+==yyfxxfyxfyxfZyx00,00),(),(yx00,D??+D??yyfxxfyxfyx00,00),(yx00,=+),(),(00yxfyxfZ-=DD??+D??yyfxxfyx00,yx00,=yKxKzyXD+D=DyKxKzyX+=，2184．寫成標準微分方程形式3．非線性微分方程線性化2．從系統(tǒng)輸入端開始依次列寫微分方程，注意負載效應1．分析系統(tǒng)工作原理，確定描述系統(tǒng)的變量，分析相互關系考慮非線性情況下，系統(tǒng)微分方程列寫步驟：19

拉普拉斯變換Laplace

拉普拉斯變換拉氏變換是控制工程中的一個基本數(shù)學方法，其優(yōu)點是能將時間函數(shù)的導數(shù)經拉氏變換后，變成復變量S的乘積，將時間表示的微分方程，變成以S表示的代數(shù)方程。20一、拉氏變換和拉氏反變換的定義1.拉氏變換的定義函數(shù)在時有定義，且積分在s的某一域內收斂，則積分所確定的函數(shù)可寫為稱為函數(shù)的拉氏變換，記為f(t)—F(s)的原函數(shù)；

F(s)—f(t)的Laplace變換（或稱為象函數(shù)）s=

+j212.拉氏反變換的定義已知，欲求原函數(shù)時，則稱為拉氏反變換，記為221.單位階躍函數(shù)2.指數(shù)函數(shù)二、典型時間函數(shù)的拉氏變換23=13.單位脈沖函數(shù)4.單位斜坡函數(shù)5.單位拋物線函數(shù)246.正弦函數(shù)25267.余弦函數(shù)278.冪函數(shù)28三、拉氏變換的重要性質1.線性性質，為常數(shù)，則292.延遲定理f(t)ttf(t-t0)t0f(t)tt030例1：1Ttf(t)TTf(t)例2：313.位移定理，則或32334.微分定理，則若34由于例：利用微分定理求355.積分定理，則例36六.復頻域導數(shù)性質37七.初值定理和終值定理初值定理若L[f(t)]=F(s)由初值定理知：例：已知

，求f(0+)38六.初值定理和終值定理終值定理：例：已知：39例:e(t)R+u-+-用初值定理和終值定理驗證40八.卷積定理卷積定理：設f(t)的拉氏變換為F(s),g(t)的拉氏變換為G(s)，

舉例：求正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的拉氏變換414243已知f(t)的拉氏變換為F(s),求44已知f(t)的拉氏變換為F(s),求L[f(at)]

45四、拉氏反變換的數(shù)學方法用部分分式法求拉氏反變換將化為真分式，再將因式分解1.無重根為待定系數(shù)46例：47例48Ki也可用洛必達法則求49例用洛必達法則求原函數(shù)例5051例1例25253一般多重根情況54例：55例：56§2-2傳遞函數(shù)

傳遞函數(shù)是描述系統(tǒng)的動態(tài)關系的另一種數(shù)學模型，是經典控制理論對線性系統(tǒng)進行研究、分析與綜合的基本數(shù)學工具，是時域分析、頻域分析及穩(wěn)定性分析的基礎，也是經典控制理論進行系統(tǒng)綜合設計的基礎，因此，十分重要。57定義：對于單輸入、單輸出線性定常系統(tǒng)，當輸入換與輸入量的拉氏變換之比。輸出的初始條件為零時，其輸出量的拉氏變設線性定常系統(tǒng)的微分方程為：)()()(0)1(1)(txbtxbtxbimmmimi+++=--L)()()(00)1(01)(0txatxatxannnn+++--L式中：a

n…a

0,b

m…b

0

均為常系數(shù)x0

(t)為系統(tǒng)輸出量，x

i(t)為系統(tǒng)輸入量一、定義58若輸入、輸出的初始條件為零，即0)0()(0=KxK

=0,1,,n－1…0)0()(i=KxK

=0,1,,m－1…對微分方程兩邊取拉氏變換得：())(011sXbsbsbimmmm+++=--L())(0011sXasasannnn+++--L則該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)為：0110110)()()(asasabsbsbsXsXsGnnnnmmmmi++++++==----LL（n≥m）59傳遞函數(shù)方框圖：G（s）Xi(s)X0(s)1）列出系統(tǒng)微分方程（非線性方程需線性化）2）假設全部初始條件均為零，對微分方程3）求輸出量和輸入量的拉氏變換之比——傳遞函數(shù)進行拉氏變換求傳遞函數(shù)的步驟：i))()(0(sXsXsG=60質量——彈簧——阻尼系統(tǒng)令初始條件均為零，方程兩邊取拉氏變換())()(2sFsYkcsms=++kcsmssFsYsG++==21)()()(∴

例1:)()()()(tftkytyctym=++...my(t)f(t)ck61L、R、C電路系統(tǒng)RCu2(t)i(t)Lu1(t)())()(1122sUsURCsLCs=++11)()()(212++==RCsLCssUsUsG∴例2：)()()()(1222tututuRCtuLC=++...621．傳遞函數(shù)和微分方程是一一對應的微分方程：在時域內描述系統(tǒng)的動態(tài)關系（特性）

傳遞函數(shù)：在復域內描述系統(tǒng)的動態(tài)關系（特性）統(tǒng)與外界聯(lián)系，當輸入位置發(fā)生改變時，分子會改變。2．傳遞函數(shù)的分母只取決于系統(tǒng)本身的固有特性，與外界無關，因此分母反映系統(tǒng)固有特性，其分子反映系二、傳遞函數(shù)的性質和特點63例：)(tymffcK=-..my(t)ckx(t)Ck-t[])(y)(tx-()tym=...t[])(y)(tx-.由牛頓第二定律，有:643．若輸入給定，則輸出完全取決于傳遞函數(shù)4．不同物理系統(tǒng)（機械、電氣、液壓）可以能用相同數(shù)學模型描述的系統(tǒng)——相似系統(tǒng)用形式相同的傳遞函數(shù)來描述——相似原理5．分母階次常高于分子階次（n≥m）G（s）Xi(s)X0(s))()()(0sXsGsXi=465傳遞函數(shù)為復變函數(shù)，故有零點和極點

零點：使G(s)=0的s值極點：使G(s)

分母為零的s

值G(s)

的零極點分布決定系統(tǒng)響應過渡過程。三、傳遞函數(shù)的零點和極點G(s)

的極點分布決定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。66當s＝0時若輸入為單位階躍函數(shù)，則G(0)為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出，也是系統(tǒng)的放大倍數(shù)67設系統(tǒng)有b個實零點;c

對復零點;d個實極點;e對復極點;v

個零極點b+2c=mv+d+2e=n典型環(huán)節(jié)的產生§2-3典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)68比例環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié)二階微分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)延遲環(huán)節(jié)純微分環(huán)節(jié)691．比例環(huán)節(jié)（放大環(huán)節(jié)）凡輸出量與輸入量成正比，不失真也不延時的)()(0tKxtxi=微分方程：KsXsXsGi==)()()(0傳遞函數(shù)：，K：放大系數(shù)（增益）環(huán)節(jié)稱比例環(huán)節(jié)。方框圖:KXi(s)X0(s)70°R1R2°u0(t)ui(t)+運算放大器ui(t)——輸入電壓u0(t)——輸出電壓R1、R2——電阻)()(120tuRRtui-=)()(120sURRsUi-=拉氏變換：已知：例：71彈簧受力如圖：圖2-9y(t)kf(t)ky(t)=f(t)kY(s)=F(s)ksFsYsG1)()()(==例：72時域內用一階微分方程表示的環(huán)節(jié)微分方程：傳遞函數(shù)：1)()()(0+==TsKsXsXsGi方框圖：Xi(s)X0(s)1+TsKK：增益；T：時間常數(shù)2．慣性環(huán)節(jié)73R、C電路如圖RCu0iui圖2-10例：)()()(00tututuRCi=+.74彈簧——阻尼系統(tǒng)，xi(t)輸入位移，x0(t)輸出位移x0(t)kCxi(t))]()([0txtxkfik-=)(0txCfC&=受力平衡fC=fk)]()([)(00txtxktxCi-=&)())(00tkxtkxtxCi=+&例：(75

時域內，輸出量正比于輸入量的微分。微分環(huán)節(jié)：傳遞函數(shù)：G(s)=Ts

)()(0txTtxi&=方框圖：TsXi(s)X0(s)3．微分環(huán)節(jié)理想微分實際微分慣性T0運動方程式：傳遞函數(shù)：傳遞函數(shù)：76例：微分運算電路－＋77在實際的機電控制工程系統(tǒng)中，理想的微分環(huán)節(jié)很難實現(xiàn)，通常用

(其中T，K為常數(shù))

來近似微分環(huán)節(jié)。

例3如圖所示的無源微分網絡

(其中K=1，T=RC)

78微分環(huán)節(jié)對系統(tǒng)的控制作用：（1）使輸出提前（2）增加系統(tǒng)的阻尼（3）強化噪聲79時域內，輸出量正比于輸入量對時間的積分。TssG1)(=傳遞函數(shù)：T：積分時間常數(shù)方框圖：Xi(s)X0(s)Ts14．積分環(huán)節(jié)

！記憶效應

！積分輸入突然除去積分停止輸出維持不變例1：電容充電例2：積分運算放大器80!積分環(huán)節(jié)具有明顯的滯后作用如當輸入量為常值A時，輸出量須經過時間T才能達到輸入量在t=0時的值A。！改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能81例1電容充電82有源積分網絡ui(t)——輸入電壓u0(t)——輸出電壓R—電阻C—電容dttduCRtui)()(0-=已知：例2：Ru0(t)ui(t)C+83時域內，以二階微分方程描述的環(huán)節(jié)。)()()(2)(0002txtxtxTtxTi=++&&&x微分方程：)()()12(022sXsXTssTi=++x傳遞函數(shù)：121)(22++=TssTsGx2222nnnsswxww++=T：振蕩環(huán)節(jié)的時間常數(shù)ωn：無阻尼固有頻率ξ：阻尼比5．振蕩環(huán)節(jié)84m—k—c系統(tǒng)：R—L—C電路：kcsmssG++=21)(

11)(2++=RCsLcssG

方框圖：Xi(s)X0(s)2222nnnsswxww++例：)()()()(tftkytyctym=++...)()()(000tututuRCuLCi=++...585

時域內，輸出滯后輸入時間τ，但不失真地反映輸入的環(huán)節(jié)微分方程：)()(0t-=txtxi方框圖：e—τsXi(s)X0(s)6．延時環(huán)節(jié)86延遲環(huán)節(jié)與慣性環(huán)節(jié)的區(qū)別慣性環(huán)節(jié)從輸入開始時刻起就已有輸出，僅由于慣性，輸出要滯后一段時間才接近所要求的輸出值。延遲環(huán)節(jié)從輸入開始之初，在0~τ時間內沒有輸出，但t=τ之后，輸出完全等于輸入。87例1水箱進水管的延時882．慣性環(huán)節(jié)6．延時環(huán)節(jié)1．比例環(huán)節(jié)3．微分環(huán)節(jié)4．積分環(huán)節(jié)5．振蕩環(huán)節(jié)892.3系統(tǒng)傳遞函數(shù)

方框圖及其簡化

一、系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖數(shù)方塊圖（或結構圖）。它是用圖形表示的系統(tǒng)模型。用傳遞函數(shù)方框將控制系統(tǒng)全部變量聯(lián)系起來，描述各環(huán)節(jié)之間的信號傳遞關系的圖形，稱為系統(tǒng)傳遞函它不同于物理框圖，著眼于信號的傳遞。90(2)信號引出點（線）/測量點

表示信號引出或測量的位置和傳遞方向。同一信號線上引出的信號，其性質、大小完全一樣。

(1)

信號線

帶有箭頭的直線，箭頭表示信號的傳遞方向，直線旁標記信號的時間函數(shù)或象函數(shù)。1

方框圖構成要素91(3)函數(shù)方塊(環(huán)節(jié))

函數(shù)方塊具有運算功能(4)相加點（比較點、綜合點）

(a)

用符號“”及相應的信號箭頭表示

(b)

箭頭前方的“+”或“-”表示加上此信號或減去此信號922.系統(tǒng)方框圖的建立：（1）建立系統(tǒng)的微分方程；（2）對微分方程進行Laplace變換，并畫出相應的方框圖；（3）按照信號的傳遞順序，依次將各傳遞函數(shù)方框圖連接起來。93例：圖2.1.3的液壓伺服機構94R、C電路如圖RCu0iui例：95961．環(huán)節(jié)的串聯(lián)Xi(s)G1(s)X(s)G2(s)X0(s)Xi(s)G(s)X0(s)圖2-13)()()()()()()(00sXsXsXsXsXsXsGii==)()(2sGsG1=?==niisGsG1)()(二、傳遞函數(shù)方框圖的等效變換97)()()()()()(02010sXsXsXsXsXsGii+==)()(21sGsG+=?==niisGsG1)()(Xi(s)G1(s)G2(s)X0(s)X02(s)X01(s)++圖2-142．環(huán)節(jié)的并聯(lián)98Xi(s)-H(s)G(s)E(s)X0(s)XB(s)（1）偏差信號：)()()(txtxtbi-=e)()()(sXsXsEBi-=（2）前向通道傳遞函數(shù)G(s))()()(0sEsXsG=（3）反饋通道傳遞函數(shù)H(s))()()(0sXsXsHB=3．反饋聯(lián)接99)()()()()()()()()(00sHsGsEsXsXsXsEsXsGBBK===（5）閉環(huán)傳遞函數(shù)GB(s)：（4）開環(huán)傳遞函數(shù)GK(s)：Xi(s)-H(s)G(s)E(s)X0(s)XB(s)對正反饋：100對于單位反饋：H(s)=1G(s)Xi(s)X0(s)-+1圖2-16)(1)()(sGsGsGB+=1011）分支點前移：規(guī)則：分支路上串入相同的傳遞函數(shù)方塊XGXGXGXGGXGXG2）分支點后移：規(guī)則：分支路上串入相同傳遞函數(shù)的倒數(shù)的方塊XGXGXXGXG1GX4．分支點移動規(guī)則1021）相加點前移GX2X1G—X2+-X1+GX1G—X21GX2-2）相加點后移X1GX2（X1—X2）G+-X1GX2G（X1—X2）G+-5．相加點移動規(guī)則103A++A+B-CB+C-A++A+B-CC+B-圖2-257．相加點分離規(guī)則B+C-A+B-CA+B+A+A+B-C-C圖2-266．相加點交換規(guī)則104A-BA+B-A-BA+B-A—BA—BB-分支路上補加信號-B圖2-279．分支點移動到相加點后AA-BA+-BA++B+AB-A-B分支路上補加信號+B圖2-288．分支點移動到相加點前10510．反饋方框化為單位反饋Xi+-HGX0Xi1H+GHX0-GHGGB+=1GHGGHGHHG+=+=111總圖2-291）解除方塊圖中的交叉聯(lián)系（結構）2）按等效規(guī)則，先環(huán)內后環(huán)外逐步使方塊得到簡化3）求傳遞函數(shù)方塊圖的簡化及系統(tǒng)傳遞函數(shù)的求取106Ｘ0Ｘi+A+BG1+H2H1G2G3D-ＥＦ-+C圖2-30解：1）相加點C前移（再相加點交換）Ｘi+A+BG1H1G2G3D-ＥＦＸ0+1G1H2-+圖2-31例1：1072）內環(huán)簡化3）內環(huán)簡化Ｘi+A-ＥＦＸ01G1H2-C+G1G2G31-G1G2H1圖2-32Ｘi+Ｆ(E)Ｘ0-G1G2G31—G1G2H1+G2G3H2圖2-331084）總傳遞函數(shù)ＸiＸ0

含有多個局部反饋的閉環(huán)系統(tǒng)中，當滿足下面條件時1）只有一條前向通道2）各局部反饋回路間存在公共的傳遞函數(shù)方塊?+=][1)