2021年 北京海淀高三一模 數(shù)學

2021京海淀高三一模數(shù)

學2021.本試卷共6頁150分考試時120分?？忌鷦毡貙⒋鸢复鹪诖痤}紙上，在試卷上作答無效。考試結束后，將本試卷和答題紙一并交回。第部（擇共40）一選題10題每小4分，40分在小列的個選中選符題要的一。1．海一模已知集合A＝，＝xx≥A∪＝，實數(shù)a的值范圍是（∞、）（∞，1]】B

（＋）（），＋∞）2．海一模如圖，在復平面內(nèi)，復數(shù)z對應的點為．復數(shù)yP2-1x

i

的虛部為（）

（）﹣1

（）

（）2】A1/

3．海一模已知a}為差數(shù)列S為其前n項．若a＝S＝，則a＝nn551（）﹣

（）﹣4

（）3

（）﹣】4．海一模在

(x)

的展開式中x4

的系數(shù)為12，則的為（）

（）﹣2

（）1

（）﹣】B5．海一模函①(xsinx，②fx)cosx，

f()(

中，周期是且奇函數(shù)的所有函數(shù)的序號是（）①②（）②（）③（D）②③】D6．海一模已函數(shù)(x)足(1)f)，當x＞時，f(x)logx，ff(2（）﹣

（）﹣1

（）1

（）3】7．海一模已知a，是位向量＝＋2，若⊥，c＝（）

（）

（）3

（）】2/

21nn21nn8．海一模已知點xx)11率為的

，xx2)2

，C(0,)，eq\o\ac(△,“)是邊三角是直線AB的斜4（）充分而不必要條件（）充分必要條件】A

（）必要而不充分條件（）既不充分也不必要條件9．海一模設無窮等比數(shù)列{a的項為S若a＜＜，nn121（）S為遞減數(shù)列（）數(shù)列有大項】D

（）S}為遞增數(shù)列n（）數(shù)列S有最小項n10．海淀一模我魏晉時期的數(shù)學家劉徽創(chuàng)造了一個稱為牟方的立體圖形來推算球的體積，如圖，一個棱長為2的立方體內(nèi)作兩個互相垂直的內(nèi)切圓柱，其相交的部分就是牟合蓋，如圖，設平行于水平面且水平面距離為的平面為，記平面a截牟合方蓋所得截面的面積為，函數(shù)S＝f(h)的圖象是水平面1

23/

SaO2a（）S

（）aO2a（）（）】D第部（選題分二、填空題共5小，每小題5，共25分。．海一已函數(shù)f(x＝＋若曲線＝(x點（，）處的切線的斜率為2則實數(shù)的是____________．】﹣112．海一模已雙曲線的兩條漸近線互相垂直，則該雙曲線的離心率．213．淀一模已點O，，(1，，m0)(m＞則4/

,

=_____________

51123511234123若是OA為的矩形的項點，則m＝．

14．海一模若數(shù)，滿方程組

，則的一值是_．2】0答案不唯一．滿足k或3

2,kZ

即可．15．海淀一)對平面直角坐標系xOy中兩組點，如果存在一條直線ax＋＝使兩點分別位于該直線的兩側，則稱該直線“類直”對于一條分類直線，記所有的點詞的距離的最小值為，約定d越，分類直線的分類效果越好，某學校高三）出的位同學在2020年期間網(wǎng)購文具的費x（單位：百元）網(wǎng)購圖書的費用y（位：百元）的情況如圖所示，現(xiàn)將，，和P歸第組點，樽QQ，歸為第II組點，在上述約定下，可得這兩組點的分類效果最好的分類直線，記為L給出下列四個結論：百元）

O1.5

QQ

Q

百元）①直x＝2.5比線－－＝的類效果好；②分直線L的率為；③該另一位同學小明的網(wǎng)購文具與網(wǎng)購圖書的費用均為300元則小明的這兩項網(wǎng)購花銷的5/

11費用所對應的點與第II組位于的側；④如從第組點中去掉點P，組保持不，則分類效果最好的分類直線不是L．其中所有正確結論的序號．】②③④三解題6小，85分。答寫文說、算驟或明程16．海一模如，在四邊形ABCD中ABCD，＝，CD＝，＝

，cos

ADB

13

．

D（）cosBDC；（）BC的．

B解：（）在△ABD

中，因為cos

63

，

13

，所以A1

32，ADB1cos．33所以

cosABDADB)AsinAsin)

61．3339因為//CD，所以ABD．6/

所以cosBDCcosABD

69

．（Ⅱ）在△ABD

中，由正弦定理得

BDABsinAsin

．因為

，所以

6

．因為

CD

，在△CBD中由弦定理得BDCDBD

69

．所以BC1117．海一模在圖所示的多面體中ABCD，四邊形ACFE為形，AB＝＝，ADCD＝2．（）證：平面平CDF；（）平面∩面CDFl，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇若干個作為已知，使二面角B－的小確定，并求此二面角的余弦值．條件①AB⊥；條件②AE⊥平面ABCDF

條件③：平面AED⊥面ABCD．7/

解：（）因為四邊形為形，所以//AE．

，又因為AB/CD，ABA平，平，

F

DCD平面，平CDF，

所以平面ABE//平CDF．（Ⅱ）選擇①②，或①②③

C因為AE面，AB面，AD平ABCD，所以AEAB，．又因為AD，所以分別以，AD，AE所的直線為，y軸，軸立如圖所示的空間直角坐系，由題意得B，E(0,0,1)，所以，BF．

．設平面的法向量為nx,y,z

，則

BE

即

xy0.令x，y

，z．于是n1,1)

．由（Ⅰ可得：AD面．取平面CDF的個法向量為

．所以cosn

mm||n

33

．8/

所以二面角B的弦值為選擇①③

33

．因為平面AED平ABCD，面AEDABAD，AB平ABCD，所以平面AED．又因為平，所以．在矩形，AEAC．

平面ABCDAD，因為AB平ABCD，平，

AC

，所以面．又因為AD面ABCD，所以AE．分別以AB，，所的直線為x軸，y軸軸立如圖所示的空間直角坐標系，由題意得B(1,0,0)，，(2,2,1)所以BE1,0,1)，BF(1,2,1)

．設平面的法向量為xyz

，則

即xy令x，

，于是n(1,

．由（Ⅰ可得：AD面CDF．9/

2020取平面CDF的個法向量為m(0,1,0)

．所以,n

m．|m||n3所以二面角B的弦值為．318．海一模每的月日是聯(lián)合國教科文組織確定世界讀書”，又稱世界圖書和版權日，了解某地區(qū)高一學生讀時間的分配情況，從該地區(qū)隨機抽取了00名一學生進行線調(diào)查，得到了這500名生的日平均閱讀時單：小時，將樣本數(shù)據(jù)分成，2]，，，(4，，，，，，12]，，16]，，九，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．頻率組距0.15a0.050.040.030.020.01

246810121418

日平閱讀時間（小時）（）值；（）進一步了解這500名生數(shù)字媒體閱讀時間和紙質圖書閱讀時間的分配情況，從日平均閱讀時間在（，，三內(nèi)的學生中，采用分層抽樣的方法抽取了人、現(xiàn)從這人隨機抽取3人記平均閱讀時間在14，內(nèi)學生人數(shù)為，X的布列；（）調(diào)查結果的頻率估計概率，從該地區(qū)所有高一學生中隨機抽取20名學生，（）表示這名生中恰有k學生日平均閱讀時間在10，單位：小時）內(nèi)的概率，其中＝0，，，，．當P（）最大時，寫出k的值需出結論）2010/

33132133313213解：（Ⅰ）由頻率分布直方圖可得：20.050.050.150.050.04解得．（Ⅱ）由頻率分布直方圖可知，這名生中日平均閱讀時間在組內(nèi)的學生人數(shù)分別為人人，500人若采用分層抽樣的方法抽取了10人則從日平均閱讀時間在人50

內(nèi)的學生中抽取了現(xiàn)從這10人隨機抽取3人，則的能取值為，1，，3．

610

，6C601PX4，12010

C46，1201010

CC

412030

．所以的分布列為XP

0

3（Ⅲ）

．19．海一模已函數(shù)()＝sin．11/

0000π（）斷函數(shù)f(x)區(qū)間(，)上單調(diào)性，并說明理由；2π（）證：函數(shù)f(x在，內(nèi)有且只有一個極值點；2（）函數(shù)g(x)＝

(x)

在區(qū)間1π]上的最小值．解：（Ⅰ）由題意知，fsinxπ因為(0，)，所以f

π所以f(x)在(0，)單調(diào)遞增．2（Ⅱ）設h)f

，

2cosxsinxπ當x)2所以hx)f

時，h．在)內(nèi)調(diào)減．2π又因為f)，f2

，π所以存在唯一(π2

，使得f

．f()

π與fx在區(qū)間(π)xf)f()

上的情況如下：π(，)2極大值

(π)12/

π所以f(x)在)內(nèi)且有一個極值點．2（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）可知，f()

在x)

內(nèi)單調(diào)遞增，在(,π)

內(nèi)單調(diào)遞減．又因為

f(1)

，f()所以當xπ]，f(x)．又因為當π]

時，0xπ，所以g()

f(x)1lnxlnπ

，當且僅當x

時等號成立．所以()在π]的最小值為

π

．20．海一模已橢圓M：

yb

(a＞＞過A－，，(0，兩點．（）橢圓M的離心率；（）橢圓M的頂點為C，點在圓M上P不與橢圓M的點重)直線AB與直線CP交于點Q，線交x軸點S，求證：直線SQ過定點．解：（Ⅰ）因為點，B(0,1)都橢圓M上所以a，b所以

a

3

．所以橢圓M的心率

e

c3a

．（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）知橢圓的程為

4

，

．13/

ss由題意知：直線的程為2y

．設P(xy)

（y，）Qyy)，S

．因為C,PQ三共，所以有CQ．所以(2)y(2y所以y0y

．所以

yxQ,)．因為BS,P點共線，所以

yxs0

，即x．yx所以S(1y

,0)

．所以直線的程為x

yxy1xyyy

，x2yx即x000yy(1)100

．又因為點P

在橢圓M上所以

y．所以直線QS的程為

y

(y．所以直線QS過點(2,1)方法二：直線QS過點，理由如下：14/

42nnn42nnn設直線

1為（k且k）12直線CP為yx

（0

且k）．所以直線BP與

軸的交點

1S

．因為直線AB的程為

x所以直線

與線AB的點Q(

4k4k,2

．所以直線的率k

2

1，直線的率．所以

1(k)11k)224

．將kx

代入方程y得

0

．所以點的橫坐標為x

84

，則

4k4k

．將點P的標代入直線CP的程k(2)

，整理得k

kkk

k．所以

kk

因為2k所以1k2k4k0所以k

．所以直線QS過點T(2,1)．21．海一模已無窮數(shù)列a，對于m∈N*，若a同時滿足以下三個條件，則稱數(shù)列a}15/

nnnnnnnnTannnnnnnnTann具有性質)．條件①：＞（＝，，n條件②：存在常數(shù)T＞，得≤（＝，，n條件③：＋＝（＝，，…nn+1n（）＝＋

×()

（＝，，數(shù){a具性質P)，接寫出m的和一個T的值；（）否存在具有性質的數(shù)列a}？若存在，求數(shù)a}的通項公式；若不存在說明理由；（）數(shù)列a具有性質m，且各項均為正整數(shù)，求數(shù){a}的項公式．解：（）m；案不唯一，如．（Ⅱ）不存在具有性質的數(shù)列{}理由如下：假設存在具有性質P的數(shù)列，設為{}則