高中數(shù)學人教A版3第二章隨機變量及其分布單元測試-參賽作品

選修2-3第二章2.一、選擇題1．(2023·煙臺高二檢測)從1,2,3,4,5中任取2個不同的數(shù)，事件A＝“取到的2個數(shù)之和為偶數(shù)”，事件B＝“取到的2個數(shù)均為偶數(shù)”，則P(B|A)＝eq\x(導(dǎo)學號03960388)()A．eq\f(1,8) B．eq\f(1,4)C．eq\f(2,5) D．eq\f(1,2)[答案]B[解析]P(A)＝eq\f(C\o\al(2,3)＋C\o\al(2,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(2,5)，P(AB)＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(1,10).由條件概率公式得P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(1,4).故選B．2．一個盒子里有20個大小形狀相同的小球，其中5個紅的，5個黃的，10個綠的，從盒子中任取一球，若它不是紅球，則它是綠球的概率是eq\x(導(dǎo)學號03960389)()A．eq\f(5,6) B．eq\f(3,4)C．eq\f(2,3) D．eq\f(1,3)[答案]C[解析]在已知取出的小球不是紅球的條件下，問題相當于從5黃10綠共15個小球中任取一個，求它是綠球的概率，∴P＝eq\f(10,15)＝eq\f(2,3).3．一個口袋中裝有2個白球和3個黑球，則先摸出一個白球后放回，再摸出一個白球的概率是eq\x(導(dǎo)學號03960390)()A．eq\f(2,3) B．eq\f(1,4)C．eq\f(2,5) D．eq\f(1,5)[答案]C[解析]設(shè)Ai表示第i次(i＝1、2)取到白球的事件，因為P(A1)＝eq\f(2,5)，P(A1A2)＝eq\f(2,5)×eq\f(2,5)＝eq\f(4,25)，在放回取球的情況下：P(A2|A1)＝eq\f(\f(4,25),\f(2,5))＝eq\f(2,5).4．(2023·大連高二檢測)一個家庭中有兩個小孩，已知其中有一個是女孩，則另一個也是女孩的概率為eq\x(導(dǎo)學號03960391)()A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,5)[答案]B[解析]有一個是女孩記為事件A，另一個是女孩記為事件B，則所求概率為P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(1,3).5．(2023·遼陽高二檢測)在5道題中有3道數(shù)學題和2道物理題．如果不放回地依次抽取2道題，則在第1次抽到數(shù)學題的條件下，第2次抽到數(shù)學題的概率是eq\x(導(dǎo)學號03960392)()A．eq\f(3,5) B．eq\f(2,5)C．eq\f(1,2) D．eq\f(1,3)[答案]C[解析]設(shè)第一次抽到數(shù)學題為事件A，第二次抽到數(shù)學題為事件B，由已知P(AB)＝eq\f(3,10)，P(A)＝eq\f(3,5)，所以P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(1,2).6．電視機的使用壽命與顯像管開關(guān)的次數(shù)有關(guān)．某品牌的電視機的顯像管開關(guān)了10000次后還能繼續(xù)使用的概率是，開關(guān)了15000次后還能繼續(xù)使用的概率是，則已經(jīng)開關(guān)了10000次的電視機顯像管還能繼續(xù)使用到15000次的概率是eq\x(導(dǎo)學號03960393)()A． B．C． D．[答案]A[解析]記“開關(guān)了10000次后還能繼續(xù)使用”為事件A，記“開關(guān)了15000次后還能繼續(xù)使用”為事件B，根據(jù)題意，易得P(A)＝，P(B)＝，則P(A∩B)＝，由條件概率的計算方法，可得P＝eq\f(PA∩B,PA)＝eq\f,＝.二、填空題7．甲、乙兩地都處于長江下游，根據(jù)歷史記載，知道甲、乙兩地一年中雨天占的比例分別為20%與18%，兩地同時下雨的比例為12%.eq\x(導(dǎo)學號03960394)(1)乙地為雨天時，甲地也為雨天的概率為________．(2)甲地為雨天時，乙地也為雨天的概率為________．[答案](1)eq\f(2,3)(2)[解析]設(shè)A＝“甲地為雨天”，B＝“乙地為雨天”，則P(A)＝20%＝，P(B)＝18%＝，P(AB)＝12%＝.(1)P(A|B)＝eq\f(PAB,PB)＝eq\f,＝eq\f(2,3).(2)P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f,＝.8．100件產(chǎn)品中有5件次品，不放回地抽取兩次，每次抽1件，已知第一次抽出的是次品，則第2次抽出正品的概率為\x(導(dǎo)學號03960395)[答案]eq\f(95,99)[解析]設(shè)“第一次抽到次品”為事件A，“第二次抽到正品”為事件B，則P(A)＝eq\f(5,100)＝eq\f(1,20)，P(AB)＝eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(1,95),A\o\al(2,100))＝eq\f(19,396)，所以P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(95,99).9．設(shè)P(A|B)＝P(B|A)＝eq\f(1,2)，P(A)＝eq\f(1,3)，則P(B)等于\x(導(dǎo)學號03960396)[答案]eq\f(1,3)[解析]∵P(B|A)＝eq\f(PA∩B,PA)，∴P(A∩B)＝P(B|A)·P(A)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,6)，∴P(B)＝eq\f(PA∩B,PA|B)＝eq\f(\f(1,6),\f(1,2))＝eq\f(1,3).三、解答題10．一個盒子中有6只好晶體管，4只壞晶體管，任取兩次，每次取一只，每一次取后不放回．若已知第一只是好的，求第二只也是好的概率.eq\x(導(dǎo)學號03960397)[解析]令A(yù)i＝{第i只是好的}，i＝1,2.解法1：n(A1)＝Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(1,9)，n(A1A2)＝Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(1,5)，故P(A2|A1)＝eq\f(nA1A2,nA1)＝eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(1,5),C\o\al(1,6)C\o\al(1,9))＝eq\f(5,9).解法2：因事件A1已發(fā)生(已知)，故我們只研究事件A2發(fā)生便可，在A1發(fā)生的條件下，盒中僅剩9只晶體管，其中5只好的，所以P(A2|A1)＝eq\f(C\o\al(1,5),C\o\al(1,9))＝eq\f(5,9).一、選擇題1．一個袋子中有5個大小相同的球，其中有3個黑球與2個紅球，如果從中任取兩個球，則恰好取到兩個同色球的概率是eq\x(導(dǎo)學號03960398)()A．eq\f(1,5) B．eq\f(3,10)C．eq\f(2,5) D．eq\f(1,2)[答案]C[解析]從5個球中任取兩個，有Ceq\o\al(2,5)＝10種不同取法，其中兩球同色的取法有Ceq\o\al(2,3)＋1＝4種，∴P＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).2．(2023·沈陽高二檢測)一盒中裝有5個產(chǎn)品，其中有3個一等品，2個二等品，從中不放回地取出產(chǎn)品，每次1個，取兩次，已知第二次取得一等品的條件下，第一次取得的是二等品的概率是eq\x(導(dǎo)學號03960399)()A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,4) D．eq\f(2,3)[答案]A[解析]解法1：設(shè)A＝“第一次取到二等品”，B＝“第二次取得一等品”，則AB＝“第一次取到二等品且第二次取到一等品”，∴P(A|B)＝eq\f(PAB,PB)＝eq\f(\f(2×3,5×4),\f(2×3＋3×2,5×4))＝eq\f(1,2).解法2：設(shè)一等品為a、b、c，二等品為A、B，“第二次取到一等品”所含基本事件有(a，b)，(a，c)，(b，a)，(b，c)，(c，a)，(c，b)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)共12個，其中第一次取到二等品的基本事件共有6個，∴所求概率為P＝eq\f(6,12)＝eq\f(1,2).二、填空題3．從1～100這100個整數(shù)中，任取一數(shù)，已知取出的一數(shù)是不大于50的數(shù)，則它是2或3的倍數(shù)的概率為\x(導(dǎo)學號03960400)[答案]eq\f(33,50)[解析]解法1：根據(jù)題意可知取出的一個數(shù)是不大于50的數(shù)，則這樣的數(shù)共有50個，其中是2或3的倍數(shù)的數(shù)共有33個，故所求概率為eq\f(33,50).解法2：設(shè)A＝“取出的球不大于50”，B＝“取出的數(shù)是2或3的倍數(shù)”，則P(A)＝eq\f(50,100)＝eq\f(1,2)，P(AB)＝eq\f(33,100)，∴P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(33,50).4．投擲兩顆均勻骰子，已知點數(shù)不同，設(shè)兩顆骰子點數(shù)之和為ξ，則ξ≤6的概率為\x(導(dǎo)學號03960401)[答案]eq\f(11,30)[解析]解法1：投擲兩顆骰子，其點數(shù)不同的所有可能結(jié)果共30種，其中點數(shù)之和ξ≤6的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，共11種，∴所求概率P＝eq\f(11,30).解法2：設(shè)A＝“投擲兩顆骰子，其點數(shù)不同”，B＝“ξ≤6”，則P(A)＝eq\f(30,36)＝eq\f(5,6)，P(AB)＝eq\f(11,36)，∴P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(11,30).三、解答題5．某校高三(1)班有學生40人，其中共青團員15人．全班平均分成4個小組，其中第一組有共青團員4人．從該班任選一人作學生代表.eq\x(導(dǎo)學號03960402)(1)求選到的是第一組的學生的概率；(2)已知選到的是共青團員，求他是第一組學生的概率．[解析]設(shè)事件A表示“選到第一組學生”，事件B表示“選到共青團員”．(1)由題意，P(A)＝eq\f(10,40)＝eq\f(1,4).(2)解法1：要求的是在事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的條件概率P(A|B)．不難理解，在事件B發(fā)生的條件下(即以所選到的學生是共青團員為前提)，有15種不同的選擇，其中屬于第一組的有4種選擇．因此，P(A|B)＝eq\f(4,15).解法2：P(B)＝eq\f(15,40)＝eq\f(3,8)，P(AB)＝eq\f(4,40)＝eq\f(1,10)，∴P(A|B)＝eq\f(PAB,PB)＝eq\f(4,15).6．設(shè)b和c分別是拋擲一枚骰子先后得到的點數(shù)，用隨機變量X表示方程x2＋bx＋c＝0實根的個數(shù)(重根按一個計).eq\x(導(dǎo)學號03960403)(1)求方程x2＋bx＋c＝0有實根的概率；(2)求X的分布列；(3)求在先后兩次出現(xiàn)的點數(shù)中有5的條件下，方程x2＋bx＋c＝0有實根的概率．[解析](1)由題意知，設(shè)基本事件空間為Ω，記“方程x2＋bx＋c＝0沒有實根”為事件A，“方程x2＋bx＋c＝0有且僅有一個實根”為事件B，“方程x2＋bx＋c＝0有兩個相異實根”為事件C，則Ω＝{(b，c)|b，c＝1,2，…，6}，A＝{(b，c)|b2－4c<0，b，c＝1,2，…B＝{(b，c)|b2－4c＝0，b，c＝1,2，…C＝{(b，c)|b2－4c>0，b，c＝1,2，…∴Ω中的基本事件總數(shù)為36個，A中的基本事件總數(shù)為17個，B中的基本事件總數(shù)為2個，C中的基本事件總數(shù)為17個．又∵B、C是互斥事件，故所求概率P＝P(B)＋P(C)＝eq\f(2,36)＋eq\f(17,36)＝