滬教版八年級(jí)上冊(cè)-線段垂直平分線及角平分線講義

創(chuàng)新三維學(xué)習(xí)法讓您全面發(fā)展創(chuàng)新三維學(xué)習(xí)法讓您全面發(fā)展基本內(nèi)容線段的垂直平分線及角的平分線知識(shí)精要一、線段的垂直平分線1、線段的垂直平分線定理：線段的垂直平分線上的任意一點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。2、線段的垂直平分線逆定理：和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。二、角的平分線1、角平分線定理：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。2、角平分線逆定理：在一個(gè)角的內(nèi)部（包括頂點(diǎn)）且到這個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上。3、角平分線可以看作是在這個(gè)角內(nèi)部（包括頂點(diǎn)）到角兩邊的距離相等的點(diǎn)的集合提問：在使用角平分線的性質(zhì)定理及其逆定理時(shí)，應(yīng)注意哪些方面？回答：必須有兩個(gè)垂直的條件，若缺少垂直條件時(shí)，可考慮添加輔助線；熱身練習(xí)所以BE=FC3、如圖△ABC的外角平分線NDBC、NECB的平分線相交于點(diǎn)F,求證：點(diǎn)F在NA的平分線上證明：過F作AE的垂線交于點(diǎn)M,作AD的垂線交于點(diǎn)N,作BC的垂線交于點(diǎn)O因?yàn)镃F是/ECB平分線，所以MF=FOABD因?yàn)镕B是/DBC平分線，所以NF=FO所以MF=NF,又因?yàn)镸F垂直AE,NF垂直AD所以AF是NA的平分線4、如圖，過^ABC的邊BC的中點(diǎn)M,作直線平行于NA的平分線AA’,而交直線AB于E、F,求證:CF=1/2(AB+AC)證明：延長FM到點(diǎn)G，使FM=MG，連接BGTOC\o"1-5"\h\z??,M為BC的中點(diǎn)ABMG二ACMF二BG=CF5又?「AA’平分NBAC且EM〃AA',/,AJ/??./E=/BAA，=ZA'AF=/AFE=/CFG=/G「?，.AE=AF,BE=BG=CF/]「BE=AB+AE,CF=AC-AFB&MC???AB+AC=BE+CF=2CF.??CF=1/2(AB+AC)5、如圖，求作點(diǎn)P,使P到C、D的距離相等，同時(shí)到角兩邊的距離也相等解：先作線段DC的垂直平分線，再作NA的平分線，兩直線所交的點(diǎn)即為點(diǎn)P精解名題

例1、如圖，AD是^ABC的角平分線，EF是AD的中垂線，求證：(1)NEAD=NEDA；(2)DF〃AC；(3)ZEAC=ZB證明：（1）因?yàn)镋F是AD的中垂線所以AE=DE,所以NEAD=NEDA（2）因?yàn)镋F是AD的中垂線，所以FA=FD所以NFAD=NFDA又因?yàn)锳D是角平分線，所以NFAD=NDACA所以/尸口人=/口人0所以DF〃AC(3)因?yàn)镹EDA=NB+NBAD；ZEAD=ZEAC+ZDAC又因?yàn)镹又因?yàn)镹EAD=NEDA,NBAD=NDAC；BDCVBM平分VBM平分/ABC,CM平分/ACB,.MF=MG,MG=MH即MF=MH?AM平分/BAC同理AN平分/BACAEDMBNC所以NB=NEAC；例2、AP、BP分別平分NDAB、NCBA,PM，AD于點(diǎn)M,PN±BC于點(diǎn)N,求證：點(diǎn)P在線段MN的垂直平分線上.證明：過點(diǎn)P作PEXAB于點(diǎn)E,連接MN?,AP平分NDAB???PM=PE?,BP平分NCBA???PE=PN.??PM=PN?.點(diǎn)P在線段MN的垂直平分線上例3、如圖，在4ABC中，點(diǎn)D、E分別在AC、AB上，BM平分NABC,CM平分NACB,EN平分/BED,DN平分NEDC。求證：A、M、N三點(diǎn)在一條直線上.證明：過點(diǎn)M作MF1AB,MG±BC,MH±AC垂足分別為F,G,H,過點(diǎn)N作NI1AB,NJ1ED,NK1AC,垂足分別為I,J,K,??A、M、N三點(diǎn)在一條直線上.例4、一張長方形紙片沿對(duì)角線剪開,得到兩張三角形紙片,再將這兩張三角形紙片擺成如下右圖形式，使點(diǎn)B、F、C、D在同一直線上，（1）求證：AB1ED；并給予證明(2)若PB=BC,請(qǐng)找出圖中與此條件有關(guān)的一對(duì)全等三角形，并給予證明NANP=NDNC,ND+NDNC=90所以NA+NANP=90,所以NAPN=90,即AB±ED(NANP=NDNC,ND+NDNC=90所以NA+NANP=90,所以NAPN=90,即AB±ED(2)AABC=ADPB備選例題1、證明下列命題：(1)三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)；(2)三角形三條邊的垂直平分線交于一點(diǎn)。解析：證明三條直線交于同一個(gè)點(diǎn)，沒有公理或定理可直接應(yīng)用，幫通常采用如下的方法：找出兩條直線的交點(diǎn)，證明這個(gè)點(diǎn)也在第三條直線上。證明：(1)如圖，設(shè)?、8￡是4ABC的兩條角平分線，相交于點(diǎn)H,過H作三角形三邊的垂線，垂足分別M、N、P因?yàn)镠在NBAC的平分線上，所以HM=HN同理HN=HP^HM=HP由H到邊CA、BC的距離相等，可知H在NACB的平分線上，即三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)。(2)在^ABC中，設(shè)邊AB、BC的垂直平分線DP、EP交于點(diǎn)P,邊結(jié)PA、PB、PC因?yàn)镻在AB的垂直平分線上，所以PA=PB,同理PB=PC,所以PA=PC所以P在AC的垂直平分線上，即三角形三條邊的垂直平分線交于一點(diǎn)。鞏固練習(xí)1、如圖，AP平分/BAC,且PE1、如圖，AP平分/BAC,且PE±AB,PF±AC,PE=3，貝|PF=第1題第3題第4題2、在4ABC中，NC=90°,BD是/ABC的平分線.已知，AC=32,且AD：DC=5：3,則點(diǎn)D到AB的距離為123、如圖，在RtAABC中，NC=90°,AC=BC,AD是/CAB的角平分線，口￡，八3.若八3=8,則4DEB的周長是84、如圖，在4ABC中，OB平分/ABC，OC平分/ACB，MNIIBC且過點(diǎn)0,若AB=8,AC=7,貝4^AMN的周長是155、如圖，在^ABC中，AD是角平分線，EF是AD的垂直平分線，垂足為E，EF交BC的延長線證明：因?yàn)镋F是AD的垂直平分線，所以AF=DFA于點(diǎn)F，求證：N證明：因?yàn)镋F是AD的垂直平分線，所以AF=DFA因?yàn)锳D是角平分線，所以NBAD=N因?yàn)锳D是角平分線，所以NBAD=NDAC因?yàn)镹ADF=NB+NBADNDAF=NCAF+NDAC所以NB=NCAF6、已知在△ABC中，AD平分NBAC,DE,AB于點(diǎn)E，DF,AC于點(diǎn)F，求證：AD垂直平分EF。證明：在AAED和AA方D中/AED=/AFD=30oAD=AD??.AAED=AAFD.??AE=AF,DE=DF

??.點(diǎn)A和D在線段EF的垂直平分線AAD垂直平分EF7、在AABC中，/C=900,DE垂直平分人8于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)D,且ED=CD,求證：/B=30。。證明VDEXAB,DCLAC,證明VDEXAB,DCLAC,且DE二DC8、BN平分/ABC,P為BN上的一點(diǎn)，PD1BC于點(diǎn)D,AB+BC=2BD,求證：ZBAP+ZBCP=1800.證明：過點(diǎn)P作PELBA,交BA延長線于點(diǎn)E在ABPE和ABPD中ZPEB=ZPDB=90°VZPBAVZPBA=ZPBDAABPE=ABPD(AAS)BP=BPABE=BD,PE=PD:AB+BC=AB+BD+DC=2BDAAB+DC=BD=BE=AB+AEADC=AE:ZAAB+DC=BD=BE=AB+AEADC=AE:ZPDC=ZPEA=90°,PD=PEAAPDC=APEAAZPAE=ZBCP=90°:ZBAP+ZPAE=180°AZBAP+ZBCP=90°自我測(cè)試則PD與PC的大小關(guān)系為（1、如圖，0P是NAOB的角平分線，PC±AO,則PD與PC的大小關(guān)系為（A、PC>PDA、PC>PDB、PC=PDC、PC<PDD、不能確定第1題第2題第3題2、如圖，有A、B、C三個(gè)居民小區(qū)的位置成三角形，現(xiàn)決定在三個(gè)小區(qū)之間修一個(gè)超市，使超市到三個(gè)小區(qū)的距離相等，則超市應(yīng)建在（C）A、在AC、BC兩邊高線的交點(diǎn)處B.、在AC、BC兩邊中線的交點(diǎn)處C、在AC、BC兩邊垂直平分線的交點(diǎn)處D.、在NA、NB的角平分線的交點(diǎn)處3、如圖，CD是RtAABC斜邊AB上的高，將^BCD沿CD折疊，B點(diǎn)恰好落在AB的中點(diǎn)E處，則NA等于（B）（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半A、25°BA、25°B、30°C、45°D、60°4、如圖，在4ABC中，AB=AC,NA=108°,（1）若BD平分NABC,求證：BC=AB+CD；（2）若D在AC上且BC=AB+CD,求證：80平分/人8（3證明：（1）在BC上截取BE=BA,連接DE先證AABD二AEBD??./BED=/A=108。??./BEC=72。,?AB=AC???/ABC=/C=18°。一108°=36。??./EDC=108。一36。=72。=/DEC???CD=CE.??BC=BE+EC=AB+CD(2)證明在BC上截取BE=BA,連接DE,AEVAB=AC,ZBAC=108°AZABC=ZC=36°???BC=BE+EC=AB+EC=AB+CD?.EC=CD.??/CDE=/DEC=72。?./BED=180。一72。=108。=/A??BA=BE.??/BAE=/BEA

??/EAD:/DAEADA=DEABD垂直平分AEABD平分/ABC5、已知如圖，在45、已知如圖，在4ABC中，AD平分NBAC,交BC