高中數(shù)學人教B版3第二章概率學業(yè)分層測評12

學業(yè)分層測評(建議用時：45分鐘)[學業(yè)達標]一、選擇題1.從1,2,3,4,5中任取2個不同的數(shù)，事件A＝“取到的2個數(shù)之和為偶數(shù)”，事件B＝“取到的2個數(shù)均為偶數(shù)”，則P(B|A)＝()\f(1,8) \f(1,4)\f(2,5) \f(1,2)【解析】∵P(A)＝eq\f(C\o\al(2,2)＋C\o\al(2,3),C\o\al(2,5))＝eq\f(4,10)，P(A∩B)＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(1,10)，∴P(B|A)＝eq\f(PA∩B,PA)＝eq\f(1,4).【答案】B2.下列說法正確的是()(B|A)＜P(A∩B) (B|A)＝eq\f(PB,PA)是可能的＜P(B|A)＜1 (A|A)＝0【解析】由條件概率公式P(B|A)＝eq\f(PA∩B,PA)及0≤P(A)≤1知P(B|A)≥P(A∩B)，故A選項錯誤；當事件A包含事件B時，有P(A∩B)＝P(B)，此時P(B|A)＝eq\f(PB,PA)，故B選項正確，由于0≤P(B|A)≤1，P(A|A)＝1，故C，D選項錯誤.故選B.【答案】B3.(2023·全國卷Ⅱ)某地區(qū)空氣質量監(jiān)測資料表明，一天的空氣質量為優(yōu)良的概率是，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是，已知某天的空氣質量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質量為優(yōu)良的概率是() 【解析】已知連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是，那么在前一天空氣質量為優(yōu)良的前提下，要求隨后一天的空氣質量為優(yōu)良的概率，可根據(jù)條件概率公式，得P＝eq\f,＝.【答案】A4.(2023·泉州期末)從1,2,3,4,5中任取兩個不同的數(shù)，事件A為“取到的兩個數(shù)之和為偶數(shù)”，事件B為“取到的兩個數(shù)均為偶數(shù)”，則P(B|A)等于()\f(1,8) \f(1,4)\f(2,5) \f(1,2)【解析】法一：P(A)＝eq\f(C\o\al(2,3)＋C\o\al(2,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(2,5)，P(AB)＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(1,10)，P(B|A)＝eq\f(PA∩B,PA)＝eq\f(1,4).法二：事件A包含的基本事件數(shù)為Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,2)＝4，在A發(fā)生的條件下事件B包含的基本事件為Ceq\o\al(2,2)＝1，因此P(B|A)＝eq\f(1,4).【答案】B5.拋擲兩枚骰子，則在已知它們點數(shù)不同的情況下，至少有一枚出現(xiàn)6點的概率是()【導學號：62980043】\f(1,3) \f(1,18)\f(1,6) \f(1,9)【解析】設“至少有一枚出現(xiàn)6點”為事件A，“兩枚骰子的點數(shù)不同”為事件B，則n(B)＝6×5＝30，n(A∩B)＝10，所以P(A|B)＝eq\f(nA∩B,nB)＝eq\f(10,30)＝eq\f(1,3).【答案】A二、填空題6.已知P(A)＝，P(B)＝，P(A∩B)＝，則P(A|B)＝________，P(B|A)＝________.【解析】P(A|B)＝eq\f(PA∩B,PB)＝eq\f,＝eq\f(2,3)；P(B|A)＝eq\f(PA∩B,PA)＝eq\f,＝eq\f(3,5).【答案】eq\f(2,3)eq\f(3,5)7.(2023·煙臺高二檢測)有一批種子的發(fā)芽率為，出芽后的幼苗成活率為，在這批種子中，隨機抽取一粒，則這粒種子能成長為幼苗的概率是________.【解析】設“種子發(fā)芽”為事件A，“種子成長為幼苗”為事件A∩B，則P(A)＝，又種子發(fā)芽后的幼苗成活率為P(B|A)＝，所以P(A∩B)＝P(A)·P(B|A)＝.【答案】8.(2023·周口中英文學校月考)一個袋子內裝有除顏色不同外其余完全相同的3個白球和2個黑球，從中不放回地任取兩次，每次取一球，在第一次取到的是白球的條件下，第二次也取到白球的概率是________.【解析】記事件A：第一次取得白球.事件B：第二次取得白球.事件B|A：第一次取到白球的條件下，第二次也取得白球.則P(B|A)＝eq\f(PA∩B,PA)＝eq\f(\f(3×2,5×4),\f(3,5))＝eq\f(1,2).【答案】eq\f(1,2)三、解答題9.甲、乙兩個袋子中，各放有大小、形狀和個數(shù)相同的小球若干.每個袋子中標號為0的小球為1個，標號為1的2個，標號為2的n個.從一個袋子中任取兩個球，取到的標號都是2的概率是eq\f(1,10).(1)求n的值；(2)從甲袋中任取兩個球，已知其中一個的標號是1的條件下，求另一個標號也是1的概率.【解】(1)由題意得：eq\f(C\o\al(2,n),C\o\al(2,n＋3))＝eq\f(nn－1,n＋3n＋2)＝eq\f(1,10)，解得n＝2.(2)記“其中一個標號是1”為事件A，“另一個標號是1”為事件B，所以P(B|A)＝eq\f(nA∩B,nA)＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,5)－C\o\al(2,3))＝eq\f(1,7).10.任意向x軸上(0,1)這一區(qū)間內擲一個點，問：(1)該點落在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))內的概率是多少？(2)在(1)的條件下，求該點落在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，1))內的概率.【解】由題意知，任意向(0,1)這一區(qū)間內擲一點，該點落在(0,1)內哪個位置是等可能的，令A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|0＜x＜\f(1,3)))，由幾何概率的計算公式可知.(1)P(A)＝eq\f(\f(1,3),1)＝eq\f(1,3).(2)令B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))＜x＜1))，則A∩B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(1,5)＜x＜\f(1,3)))，P(A∩B)＝eq\f(\f(1,3)－\f(1,5),1)＝eq\f(2,15).故在A的條件下B發(fā)生的概率為P(B|A)＝eq\f(PA∩B,PA)＝eq\f(\f(2,15),\f(1,3))＝eq\f(2,5).[能力提升]1.一個家庭有兩個小孩，假設生男生女是等可能的，已知這個家庭有一個是女孩的條件下，這時另一個也是女孩的概率是()\f(1,4) \f(2,3)\f(1,2) \f(1,3)【解析】一個家庭中有兩個小孩只有4種可能：(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女).記事件A為“其中一個是女孩”，事件B為“另一個是女孩”，則A＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，B＝{(男，女)，(女，男)，(女，女)}，A∩B＝{(女，女)}.于是可知P(A)＝eq\f(3,4)，P(A∩B)＝eq\f(1,4).問題是求在事件A發(fā)生的情況下，事件B發(fā)生的概率，即求P(B|A)，由條件概率公式，得P(B|A)＝eq\f(\f(1,4),\f(3,4))＝eq\f(1,3).【答案】D2.(2023·開封高二檢測)將3顆骰子各擲一次，記事件A表示“三個點數(shù)都不相同”，事件B表示“至少出現(xiàn)一個3點”，則概率P(A|B)等于()\f(91,216) \f(5,18)\f(60,91) \f(1,2)【解析】事件B發(fā)生的基本事件個數(shù)是n(B)＝6×6×6－5×5×5＝91，事件A，B同時發(fā)生的基本事件個數(shù)為n(A∩B)＝3×5×4＝60.所以P(A|B)＝eq\f(nA∩B,nB)＝eq\f(60,91).【答案】C3.袋中有6個黃色的乒乓球，4個白色的乒乓球，做不放回抽樣，每次抽取一球，取兩次，則第二次才能取到黃球的概率為________.【解析】記“第一次取到白球”為事件A，“第二次取到黃球”為事件B，“第二次才取到黃球”為事件C，所以P(C)＝P(A∩B)＝P(A)P(B|A)＝eq\f(4,10)×eq\f(6,9)＝eq\f(4,15).【答案】eq\f(4,15)4.如圖2-2-1，三行三列的方陣有9個數(shù)aij(i＝1,2,3，j＝1,2,3)，從中任取三個數(shù)，已知取到a22的條件下，求至少有兩個數(shù)位于同行或同列的概率.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a11a12a13,a21a22a23,a31a32a33))圖2-2-1【解】事件A＝{任取的三個數(shù)中有a22}，事件B＝{三個數(shù)至少有兩個數(shù)位于同行或同列}，則eq\x\to(B)＝{三個數(shù)互不同行且不同列}，依題意得n(A)＝Ceq