一元線性回歸分析的應用：預測問題

§2.4一元線性回歸分析的應用：預測問題

一、?0是條件均值E(Y|X=X0)或個別值Y0的一個無偏估計二、總體條件均值與個別值的置信區(qū)間

對于一元線性回歸模型

給定樣本以外的解釋變量的觀測值X0，可以得到被解釋變量的預測值?0

，可以以此作為其條件均值E(Y|X=X0)或個別值Y0的一個近似估計。

但是嚴格地說，這只是被解釋變量預測期實際值的一個估計值，而不是預測期的實際值。原因:

（1）參數(shù)估計量是不確定的，隨樣本而變；（2）預測期隨機干擾項0的影響。說明

（注意教材p46的某些表述不準確）所以，給定樣本以外的解釋變量的值X0，依據(jù)樣本回歸方程得到的?0

僅僅是預測期條件均值E(Y0)[注：簡寫符號，見教材P49

]或個別值Y0的實際值的一個點估計值，預測期E(Y0)或Y0的實際值僅以某一個置信水平被以該估計值為中心的一個區(qū)間所包含。換句話說，對樣本以外的被解釋變量進行預測，是一個區(qū)間估計問題。一、?0是條件均值E(Y|X=X0)或個別值Y0的一個無偏估計（見教材p46-47）（1）對于總體回歸函數(shù)E(Y|X=X)=0+1X，當X=X0時

E(Y|X=X0)=0+1X0于是可見，?0是條件均值E(Y|X=X0)的無偏估計?；蛘哒f，?0是條件均值E(Y0)的無偏估計。（2）對于總體回歸模型Y=0+1X+，當X=X0時于是于是可見，?0也是個別值Y0的無偏估計。二、總體條件均值與個別值的置信區(qū)間

1、總體條件均值E(Y0)的置信區(qū)間

（教材p47）由于

并且因此

故

可以證明（參見潘文卿、李子奈、高吉麗：《計量經(jīng)濟學習題集》P12例9）

所以又因所以，可以構(gòu)造如下的t統(tǒng)計量：（有補充）（參見周紀薌《回歸分析》P14）于是，在1-的置信度下，總體均值E(Y|X0)的置信區(qū)間為

記則上述t統(tǒng)計量可以寫為這就是教材P48所講的：2、總體個別值Y0的預測區(qū)間

（教材p48，有補充）由Y0=0+1X0+

知:

于是

而?0與Y0是獨立的，且又因所以，可以構(gòu)造如下的t統(tǒng)計量：記從而在1-的置信度下，Y0的置信區(qū)間為

則在P34例2.2.1的可支配收入－消費支出例子中，得到的樣本回歸函數(shù)為:（見教材P48-49)則當X0=1000時，

?0=–103.172+0.777×1000=673.84

而因此，總體均值E(Y0)的95%的置信區(qū)間為：

同樣地，由于(補充)

673.84-2.30661.05<E(Y0)

<673.84+2.30661.05或（533.05元,814.62元）673.84-2.306130.88<Y0<673.84+2.306130.88或(372.03元,975.65元)所以，當X=1000時，總體單值Y0的95%的置信區(qū)間為：

對每個X值，求總體均值E(Y)的（1-）置信區(qū)間，然后將這些區(qū)間的端點（置信限）分別連接起來，可以得到總體回歸函數(shù)的置信帶（域）（confidenceband）。對每個X值，求總體單值Y的（1-）置信區(qū)間，然后將這些區(qū)間的端點分別連接起來，可以得到總體單值的置信帶（域）。

圖2.4.1Y均值與個別值的置信區(qū)間

對于Y的總體均值E(Y0)與個體值Y0的預測區(qū)間（置信區(qū)間），有以下結(jié)論:（1）樣本容量