一元線性回歸分析的應(yīng)用：預(yù)測(cè)問(wèn)題

§2.4一元線性回歸分析的應(yīng)用：預(yù)測(cè)問(wèn)題

一、?0是條件均值E(Y|X=X0)或個(gè)別值Y0的一個(gè)無(wú)偏估計(jì)二、總體條件均值與個(gè)別值的置信區(qū)間

對(duì)于一元線性回歸模型

給定樣本以外的解釋變量的觀測(cè)值X0，可以得到被解釋變量的預(yù)測(cè)值?0

，可以以此作為其條件均值E(Y|X=X0)或個(gè)別值Y0的一個(gè)近似估計(jì)。

但是嚴(yán)格地說(shuō)，這只是被解釋變量預(yù)測(cè)期實(shí)際值的一個(gè)估計(jì)值，而不是預(yù)測(cè)期的實(shí)際值。原因:

（1）參數(shù)估計(jì)量是不確定的，隨樣本而變；（2）預(yù)測(cè)期隨機(jī)干擾項(xiàng)0的影響。說(shuō)明

（注意教材p46的某些表述不準(zhǔn)確）所以，給定樣本以外的解釋變量的值X0，依據(jù)樣本回歸方程得到的?0

僅僅是預(yù)測(cè)期條件均值E(Y0)[注：簡(jiǎn)寫(xiě)符號(hào)，見(jiàn)教材P49

]或個(gè)別值Y0的實(shí)際值的一個(gè)點(diǎn)估計(jì)值，預(yù)測(cè)期E(Y0)或Y0的實(shí)際值僅以某一個(gè)置信水平被以該估計(jì)值為中心的一個(gè)區(qū)間所包含。換句話說(shuō)，對(duì)樣本以外的被解釋變量進(jìn)行預(yù)測(cè)，是一個(gè)區(qū)間估計(jì)問(wèn)題。一、?0是條件均值E(Y|X=X0)或個(gè)別值Y0的一個(gè)無(wú)偏估計(jì)（見(jiàn)教材p46-47）（1）對(duì)于總體回歸函數(shù)E(Y|X=X)=0+1X，當(dāng)X=X0時(shí)

E(Y|X=X0)=0+1X0于是可見(jiàn)，?0是條件均值E(Y|X=X0)的無(wú)偏估計(jì)?；蛘哒f(shuō)，?0是條件均值E(Y0)的無(wú)偏估計(jì)。（2）對(duì)于總體回歸模型Y=0+1X+，當(dāng)X=X0時(shí)于是于是可見(jiàn)，?0也是個(gè)別值Y0的無(wú)偏估計(jì)。二、總體條件均值與個(gè)別值的置信區(qū)間

1、總體條件均值E(Y0)的置信區(qū)間

（教材p47）由于

并且因此

故

可以證明（參見(jiàn)潘文卿、李子奈、高吉麗：《計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)習(xí)題集》P12例9）

所以又因所以，可以構(gòu)造如下的t統(tǒng)計(jì)量：（有補(bǔ)充）（參見(jiàn)周紀(jì)薌《回歸分析》P14）于是，在1-的置信度下，總體均值E(Y|X0)的置信區(qū)間為

記則上述t統(tǒng)計(jì)量可以寫(xiě)為這就是教材P48所講的：2、總體個(gè)別值Y0的預(yù)測(cè)區(qū)間

（教材p48，有補(bǔ)充）由Y0=0+1X0+

知:

于是

而?0與Y0是獨(dú)立的，且又因所以，可以構(gòu)造如下的t統(tǒng)計(jì)量：記從而在1-的置信度下，Y0的置信區(qū)間為

則在P34例2.2.1的可支配收入－消費(fèi)支出例子中，得到的樣本回歸函數(shù)為:（見(jiàn)教材P48-49)則當(dāng)X0=1000時(shí)，

?0=–103.172+0.777×1000=673.84

而因此，總體均值E(Y0)的95%的置信區(qū)間為：

同樣地，由于(補(bǔ)充)

673.84-2.30661.05<E(Y0)

<673.84+2.30661.05或（533.05元,814.62元）673.84-2.306130.88<Y0<673.84+2.306130.88或(372.03元,975.65元)所以，當(dāng)X=1000時(shí)，總體單值Y0的95%的置信區(qū)間為：

對(duì)每個(gè)X值，求總體均值E(Y)的（1-）置信區(qū)間，然后將這些區(qū)間的端點(diǎn)（置信限）分別連接起來(lái)，可以得到總體回歸函數(shù)的置信帶（域）（confidenceband）。對(duì)每個(gè)X值，求總體單值Y的（1-）置信區(qū)間，然后將這些區(qū)間的端點(diǎn)分別連接起來(lái)，可以得到總體單值的置信帶（域）。

圖2.4.1Y均值與個(gè)別值的置信區(qū)間

對(duì)于Y的總體均值E(Y0)與個(gè)體值Y0的預(yù)測(cè)區(qū)間（置信區(qū)間），有以下結(jié)論:（1）樣本容量