行列式的性質(zhì)與計(jì)算

金融數(shù)學(xué)教研室線性代數(shù)一.n階行列式的性質(zhì)二.計(jì)算行列式的常用方法1.2行列式的性質(zhì)與計(jì)算三、小結(jié)一.n階行列式的性質(zhì)性質(zhì)1行列式的某一行中所有的元素都乘以同一數(shù)k,等于用數(shù)k乘此行列式.推論1

行列式中某一行的所有元素的公因子可以提到行列式符號(hào)外面.推論2

某行元素全為零的行列式其值為零.例①②性質(zhì)2注意：推廣：性質(zhì)3

行列式的兩行對(duì)換,行列式的值反號(hào).性質(zhì)4

行列式中兩行對(duì)應(yīng)元素全相等,其值為零.性質(zhì)5

行列式中兩行對(duì)應(yīng)元素成比例,其值為零.例②①練習(xí)解方程性質(zhì)6

將行列式D的某一行的各個(gè)元素乘以同一個(gè)數(shù)然后加到另一行對(duì)應(yīng)的元素上去,行列式的值不變.即

交換行列式兩行（列），記作行列式第i行（列）乘以數(shù)k，記作以數(shù)k乘行列式第i行（列）加到第j行（列）上，記作定義1.2.1

記行列式DT稱為行列式D的轉(zhuǎn)置行列式.性質(zhì)7

行列式D與其轉(zhuǎn)置行列式相等.注：以上對(duì)行的性質(zhì)對(duì)列也成立.意義：行列式中的行與列具有同等的地位；.性質(zhì)8

行列式D可按第1列展開,即性質(zhì)9

行列式D可按任一行(列)展開,即

或

按第2列展開按第1行展開例性質(zhì)10

行列式某一行(列)的元素與另一行(列)的對(duì)應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零.即

或

4、如此繼續(xù)下去，直至使它成為上三角形行列式，這時(shí)主對(duì)角線上元素的乘積就是所求行列式的值.①三角形法

1、先將第一行與其它行交換使得第一列第一個(gè)元素不為0，如為1；2、然后把第一行分別乘以適當(dāng)?shù)臄?shù)加到其它各行，使得第一列除第一個(gè)元素外其余元素全為0；3、再用同樣的方法處理除去第一行和第一列后余下的低一階行列式；二、行列式的計(jì)算解

.

例1.2.1計(jì)算

(三角形法)解：練1.計(jì)算行列式例1.2.2

計(jì)算

分析：①把各列都加到第一列,提出第一列的公因數(shù)6，

②將第一行乘－1分別加到其余各行,D化為上三角行列式.注：此方法可推廣到一般的行和或列和相同的行列式求解問題

解

②降階法:

將某行(某列)變換成只有一個(gè)元素不為0,其余元素均為0,再按那行(列)展開,降階成低階的行列式.計(jì)算行列式的常用方法:例1.2.3

計(jì)算

解(降階法)例1.2.4

計(jì)算

注：此方法可推廣到一般的爪型行列式計(jì)算.例1.2.5

計(jì)算范德蒙行列式：.解對(duì)依次作如下運(yùn)算:

,…,

.則范德蒙行列式應(yīng)用：練習(xí)1計(jì)算階行列式練習(xí)2計(jì)算階行列式練習(xí)3計(jì)算階行列式其中ai均不為零。思考題求第一行各元素的代數(shù)余子式之和三、小結(jié)⑴行列式的十條性質(zhì)，特別是第1，3，6條性質(zhì)⑵計(jì)算行列式的常用方法：

①三角形法；②降階法⑶行列式的幾