計(jì)算方法-95線性多步法

2023/2/519.5線性多步法單步法計(jì)算時(shí)只用到前一步的結(jié)果，因此只要給定初值，計(jì)算就可以進(jìn)行下去。但是Euler等單步法的精度都較低，龍格-庫(kù)塔方法雖然可以得到較高的精度，但這類算法為了提高精度，需要增加一些非節(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值的計(jì)算，在每一步都需要先預(yù)報(bào)這些非節(jié)點(diǎn)上的斜率值，計(jì)算量比較大?？紤]到計(jì)算yi+1之前已得出一系列節(jié)點(diǎn)上的斜率值，能否利用這些已知值來(lái)減少計(jì)算量呢？這就是線性多步法的設(shè)計(jì)思想，可以在計(jì)算量增加不多的情況下獲得較高的精度。用已知的若干節(jié)點(diǎn)處的y

及y‘值的線性組合來(lái)近似y(xn+1)。線性多步法通式可寫(xiě)為：2023/2/52當(dāng)

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時(shí)，為隱式公式；1=0則為顯式公式。

基于數(shù)值積分的構(gòu)造法將在上積分，得到只要近似地算出右邊的積分，則可通過(guò)近似y(xn+1)。而選用不同近似式Ir，可得到不同的計(jì)算公式。2023/2/53構(gòu)造線性多步法的主要方法：數(shù)值積分法和泰勒展開(kāi)法。2023/2/54

對(duì)積分式分別采用矩形公式和梯形公式可得到歐拉公式和改進(jìn)歐拉公式，截?cái)嗾`差分別為O(h2)和O(h3)。為此，我們自然可以想到，若用更高次的插值多項(xiàng)式來(lái)代替f(x,y)，則所得公式的精度會(huì)更高。這就是基于數(shù)值積分方法構(gòu)造線性多步法的起源思想。2023/2/55若積分用節(jié)點(diǎn)作為積分點(diǎn)，則有積分系數(shù)這是顯式格式，q+1階r+1步格式。局部截?cái)嗾`差2023/2/56例：建立r=1，q=2的顯式格式r=1，積分區(qū)間為q=2，顯式格式，積分節(jié)點(diǎn)為所以2023/2/57同樣，若以為積分節(jié)點(diǎn)，可以構(gòu)造r+1步q+1階隱格式2023/2/58例：建立r=2，q=2的隱格式r=2，積分區(qū)間為q=2，隱式格式，積分節(jié)點(diǎn)為所以2023/2/59它的截?cái)嗾`差較顯式格式小，通常也具有更好的穩(wěn)定性。2023/2/510

Adams方法是線性多步法的一個(gè)代表，它是利用插值多項(xiàng)式進(jìn)行積分得出來(lái)的，這樣構(gòu)造線性多步法的方法稱為數(shù)值求積法，它是構(gòu)造線性多步法的一種途徑，另外還有Taylor法。(1)顯式Adams方法2023/2/511r=0，積分區(qū)間為q=1，顯式格式，積分節(jié)點(diǎn)為從簡(jiǎn)單情況入手

Adams公式－－r=0

時(shí)候的多步法2023/2/512所以二階顯式Adams方法2023/2/513類似方法可通過(guò)增加節(jié)點(diǎn)得到更高精度的三階顯式Adams公式r=0，積分區(qū)間為q=2，顯式格式，積分節(jié)點(diǎn)為所以2023/2/514三階顯式Adams方法2023/2/515同理再增加節(jié)點(diǎn)得到四階顯式Adams公式r=0，積分區(qū)間為q=3，顯式格式，積分節(jié)點(diǎn)為所以2023/2/516四階顯式Adams方法2023/2/517其對(duì)應(yīng)的局部截?cái)嗾`差為注：一般有，其中Bq與yn+1計(jì)算公式中fn,…,fnq

各項(xiàng)的系數(shù)均可查表得到。10123qfnfn1fn2fn3…Bq…………………常用的是q=3

的4階阿當(dāng)姆斯顯式公式(2)隱式Adams方法2023/2/519隱式格式表明構(gòu)造定積分的近似公式中包含了節(jié)點(diǎn)xn+1。類似顯式公式的推導(dǎo)過(guò)程，可得到不同精度的隱式Adams公式r=0，積分區(qū)間為q=1，顯式格式，積分節(jié)點(diǎn)為二階隱式Adams方法2023/2/520r=0，積分區(qū)間為q=2，顯式格式，積分節(jié)點(diǎn)為三階隱式Adams方法r=0，積分區(qū)間為q=2，顯式格式，積分節(jié)點(diǎn)為四階隱式Adams方法利用q+1

個(gè)節(jié)點(diǎn)上的被積函數(shù)值fn+1

,fn,…,fnq+1

構(gòu)造q

階牛頓前插多項(xiàng)式。與顯式多項(xiàng)式完全類似地可得到一系列隱式公式，并有，其中與fn+1

,fn,…,fnq+1

的系數(shù)亦可查表得到。10123qfn+1fnfn1fn2…Bq…………………~常用的是q=3

的4階阿當(dāng)姆斯隱式公式較同階顯式穩(wěn)定2023/2/522

基于Taylor展開(kāi)的構(gòu)造法（待定系數(shù)法）將上式中的右端各項(xiàng)yn1,…,ynr;fn+1,fn1,…,fnr

分別在

xn點(diǎn)作泰勒展開(kāi)，與精確解y(xn+1)在

xn點(diǎn)的泰勒展開(kāi)作比較。通過(guò)令同類項(xiàng)系數(shù)相等，得到足以確定待定系數(shù)a0,…,ar;

1,0,…,r

的等式，則可構(gòu)造出各階線性多步法的公式。2023/2/523例：推導(dǎo)最高階的二步線性多步法二步顯式多步法為左端展開(kāi)后相同項(xiàng)系數(shù)相等，得到2023/2/524解得因此得階數(shù)最高的二步顯式線性多步法為其局部截?cái)嗾`差為是三階方法對(duì)應(yīng)的二步隱式線性多步法為二步隱式多步法為五個(gè)可選參數(shù)是四階方法2023/2/5252023/2/526由泰勒展開(kāi)推導(dǎo)Adams公式

確定式中待定系數(shù)，使公式具有四階精度。由泰勒展開(kāi)得2023/2/527這里有7個(gè)未知量，5個(gè)方程，若令求解該方程即得四步四階顯式Adams公式：2023/2/528Adams預(yù)估校正公式由于隱式Adams公式需要用迭代法進(jìn)行求解，比較麻煩，仿照歐拉預(yù)估校正公式，常把阿當(dāng)姆斯顯式及隱式聯(lián)立使用，即構(gòu)造所謂阿當(dāng)姆斯預(yù)估校正公式。以四階阿當(dāng)姆斯為例，將顯式和隱式相結(jié)合，用顯式公式做預(yù)報(bào)，再用隱式公式做校正，可構(gòu)成阿當(dāng)姆斯預(yù)報(bào)-校正格式。2023/2/529預(yù)報(bào)：校正：

這種預(yù)報(bào)-校正格式是四步法，它在計(jì)算yn+1時(shí)不但用到前一步的信息yn,y′n

，而且要用到再前面三步的信息yn-1,y′n-2

,y′n-3，因此它不能自行啟動(dòng)。在實(shí)際計(jì)算時(shí)，可借助于某種單步法，譬如四階龍格—庫(kù)塔法提供開(kāi)始值y1,y2,y3。與同階的龍格庫(kù)塔方法相比較，阿達(dá)姆斯方法計(jì)算量小，公式簡(jiǎn)單，程序易于實(shí)現(xiàn)。2023/2/5312023/2/532解常微分方程初值問(wèn)題小結(jié)

本章介紹了常微分方程初值問(wèn)題的基本數(shù)值解法。包括單步法和多步法。單步法主要有歐拉法、改進(jìn)歐拉法和龍格—庫(kù)塔方法。多步法是阿當(dāng)姆斯法。它們都是基于把一個(gè)連續(xù)的定解問(wèn)題離散化為一個(gè)差分方程來(lái)求解，是一種步進(jìn)式的方法。用多步法求常微分方程的數(shù)值解可獲得較高的精度。實(shí)際應(yīng)用時(shí)，選擇合適的算法有一定的難度，既要考慮算法的簡(jiǎn)易性和計(jì)算量，又要考慮截?cái)嗾`差和收斂性、穩(wěn)定性。2023/2/533

龍格-庫(kù)塔法較為常用，適用于多步方法中作初值計(jì)算和函數(shù)f(x,y)較為簡(jiǎn)單的場(chǎng)合。四階標(biāo)準(zhǔn)龍格—庫(kù)塔法精度高，程序簡(jiǎn)單，易于改變步長(zhǎng)，比較穩(wěn)定，也是一個(gè)常用的方法，但計(jì)算量較大。當(dāng)函數(shù)f(x,y)較為復(fù)雜，可用顯式阿當(dāng)姆斯方法或阿當(dāng)姆斯預(yù)測(cè)