高中數(shù)學(xué)北師大版2第一章統(tǒng)計(jì)回歸分析 第1章1回歸分析

§1回歸分析1．1回歸分析1．2相關(guān)系數(shù)1．3可線性化的回歸分析1．了解回歸分析的思想和方法．(重點(diǎn))2．掌握相關(guān)系數(shù)的計(jì)算和判斷線性相關(guān)的方法．(重點(diǎn))3．了解常見的非線性回歸模型轉(zhuǎn)化為線性回歸模型的方法．(難點(diǎn))[基礎(chǔ)·初探]教材整理1回歸分析閱讀教材P3～P6“練習(xí)”以上部分，完成下列問題．設(shè)變量y對(duì)x的線性回歸方程為y＝a＋bx，由最小二乘法知系數(shù)的計(jì)算公式為：b＝eq\f(lxy,lxx)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\a\vs4\al(\x\to(x))\a\vs4\al(\x\to(y)),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x).某產(chǎn)品的廣告費(fèi)用x與銷售額y的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：廣告費(fèi)用x(萬元)4235銷售額y(萬元)49263954根據(jù)上表可得回歸方程y＝bx＋a中的b為，據(jù)此模型預(yù)報(bào)廣告費(fèi)用為6萬元時(shí)，銷售額為()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：67720000】A．萬元 B．萬元C．萬元 D．萬元【解析】eq\x\to(x)＝eq\f(4＋2＋3＋5,4)＝，eq\x\to(y)＝eq\f(49＋26＋39＋54,4)＝42，∴a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)＝42－×＝，∴回歸方程為y＝＋，∴當(dāng)x＝6時(shí)，y＝×6＋＝，故選B．【答案】B教材整理2相關(guān)系數(shù)閱讀教材P6“練習(xí)”以下至P9“練習(xí)”以上部分，完成下列問題．1．相關(guān)系數(shù)r的計(jì)算假設(shè)兩個(gè)隨機(jī)變量的數(shù)據(jù)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，則變量間線性相關(guān)系數(shù)r＝eq\f(lxy,\r(lxxlyy))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\r(\i\su(i＝1,n,)xi－\x\to(x)2)\r(\i\su(i＝1,n,)yi－\x\to(y)2))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\a\vs4\al(\x\to(x))\a\vs4\al(\x\to(y)),\r(\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)\r(\i\su(i＝1,n,y)\o\al(2,i)－n\x\to(y)2)).2．相關(guān)系數(shù)r與線性相關(guān)程度的關(guān)系(1)r的取值范圍為[－1,1]；(2)|r|值越大，誤差Q越小，變量之間的線性相關(guān)程度越高；(3)|r|值越接近0，誤差Q越大，變量之間的線性相關(guān)程度越低．3．相關(guān)性的分類(1)當(dāng)r>0時(shí)，兩個(gè)變量正相關(guān)；(2)當(dāng)r<0時(shí)，兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)；(3)當(dāng)r＝0時(shí)，兩個(gè)變量線性不相關(guān)．判斷(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)兩個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)r＞0，則兩個(gè)變量正相關(guān)．()(2)兩個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)越大，它們的相關(guān)程度越強(qiáng)．()(3)若兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)，那么其回歸直線的斜率為負(fù)．()【答案】(1)√(2)×(3)√教材整理3可線性化的回歸分析閱讀教材P9～P13“練習(xí)”以上部分，完成下列問題．1．非線性回歸分析對(duì)不具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量做統(tǒng)計(jì)分析，通過變量代換，轉(zhuǎn)化為線性回歸模型．2．非線性回歸方程曲線方程曲線圖形變換公式變換后的線性函數(shù)y＝axb(a＝1，b＞0)(a＝1，b＜0)c＝lnav＝lnxu＝lnyu＝c＋bvy＝aebx(a＞0，b＞0)(a＞0，b＜0)c＝lnau＝lnyu＝c＋bx曲線方程曲線圖形變換公式變換后的線性函數(shù)y＝aeeq\f(b,x)(a＞0，b＞0)(a＞0，b＜0)c＝lnav＝eq\f(1,x)u＝lnyu＝c＋bvy＝a＋blnx(b＞0)(b＜0)v＝lnxu＝y(tǒng)u＝a＋bv下列數(shù)據(jù)x，y符合哪一種函數(shù)模型()x12345678910y234A．y＝2＋eq\f(1,3)x B．y＝2exC．y＝2eeq\f(1,x) D．y＝2＋lnx【解析】分別將x的值代入解析式判斷知滿足y＝2＋lnx.【答案】D[質(zhì)疑·手記]預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：___________________________________________解惑：_____________________________________________________疑問2：_____________________________________________________解惑：_____________________________________________________疑問3：_____________________________________________________解惑：___________________________________________[小組合作型],變量間的相關(guān)關(guān)系及判定(1)對(duì)變量x，y有觀測數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散點(diǎn)圖1-1-1①，對(duì)變量u，v有觀測數(shù)據(jù)(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散點(diǎn)圖1-1-1②.由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷()圖1-1-1A．變量x與y正相關(guān)，u與v正相關(guān)B．變量x與y正相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)C．變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v正相關(guān)D．變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)(2)兩個(gè)變量x，y與其線性相關(guān)系數(shù)r有下列說法：①若r＞0，則x增大時(shí)，y也隨之相應(yīng)增大；②若r＜0，則x增大時(shí)，y也相應(yīng)增大；③若r＝1或r＝－1，則x與y的關(guān)系完全對(duì)應(yīng)(有函數(shù)關(guān)系)，在散點(diǎn)圖上各個(gè)散點(diǎn)均在一條直線上，其中正確的有()A．①② B．②③C．①③ D．①②③(3)有五組變量：①汽車的重量和汽車每消耗1升汽油所行駛的平均路程；②平均日學(xué)習(xí)時(shí)間和平均學(xué)習(xí)成績；③某人每日吸煙量和其身體健康情況；④正方形的邊長和面積；⑤汽車的重量和百公里耗油量．其中兩個(gè)變量成正相關(guān)的是()A．①③ B．②④C．②⑤ D．④⑤【精彩點(diǎn)撥】可借助于線性相關(guān)概念及性質(zhì)作出判斷．【自主解答】(1)由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷，變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v正相關(guān)，故選C．(2)根據(jù)兩個(gè)變量的相關(guān)性與其相關(guān)系數(shù)r之間的關(guān)系知，①③正確，②錯(cuò)誤，故選C．(3)其中①③成負(fù)相關(guān)關(guān)系，②⑤成正相關(guān)關(guān)系，④成函數(shù)關(guān)系，故選C．【答案】(1)C(2)C(3)C1．線性相關(guān)系數(shù)是從數(shù)值上來判斷變量間的線性相關(guān)程度，是定量的方法．與散點(diǎn)圖相比較，線性相關(guān)系數(shù)要精細(xì)得多，需要注意的是線性相關(guān)系數(shù)r的絕對(duì)值小，只是說明線性相關(guān)程度低，但不一定不相關(guān)，可能是非線性相關(guān)．2．利用相關(guān)系數(shù)r來檢驗(yàn)線性相關(guān)顯著性水平時(shí)，通常與作比較，若r>，則線性相關(guān)較為顯著，否則為不顯著．[再練一題]1．下列兩變量中具有相關(guān)關(guān)系的是()A．正方體的體積與邊長B．人的身高與體重C．勻速行駛車輛的行駛距離與時(shí)間D．球的半徑與體積【解析】選項(xiàng)A中正方體的體積為邊長的立方，有固定的函數(shù)關(guān)系；選項(xiàng)C中勻速行駛車輛的行駛距離與時(shí)間成正比，也是函數(shù)關(guān)系；選項(xiàng)D中球的體積是eq\f(4,3)π與半徑的立方相乘，有固定函數(shù)關(guān)系．只有選項(xiàng)B中人的身高與體重具有相關(guān)關(guān)系．【答案】B,求線性回歸方程某服裝商場為了了解毛衣的月銷售量y(件)與月平均氣溫x(℃)之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某4個(gè)月的月銷售量與當(dāng)月平均氣溫，其數(shù)據(jù)如下表：月平均氣溫x(℃)171382月銷售量y(件)24334055(1)算出線性回歸方程y＝bx＋a(a，b精確到；(2)氣象部門預(yù)測下個(gè)月的平均氣溫約為6℃【精彩點(diǎn)撥】(1)可利用公式求解；(2)把月平均氣溫代入回歸方程求解．【自主解答】(1)由散點(diǎn)圖易判斷y與x具有線性相關(guān)關(guān)系．eq\x\to(x)＝(17＋13＋8＋2)÷4＝10，eq\x\to(y)＝(24＋33＋40＋55)÷4＝38，eq\o(∑,\s\up6(4))eq\o(,\s\do4(i＝1))xiyi＝17×24＋13×33＋8×40＋2×55＝1267，eq\o(∑,\s\up6(4))eq\o(,\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝526，b＝eq\f(\o(∑,\s\up6(4))\o(,\s\do4(i＝1))xiyi－4\a\vs4\al(\x\to(x))\a\vs4\al(\x\to(y)),\o(∑,\s\up6(4))\o(,\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－4\x\to(x)2)＝eq\f(1267－4×10×38,526－4×102)≈－，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)≈38－(－×10＝，所以線性回歸方程為y＝－＋.(2)氣象部門預(yù)測下個(gè)月的平均氣溫約為6℃，據(jù)此估計(jì)，該商場下個(gè)月毛衣的銷售量為y＝－＋＝－×6＋≈1．回歸分析是定義在具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量基礎(chǔ)上的，因此，在做回歸分析時(shí)，要先判斷這兩個(gè)變量是否相關(guān)，利用散點(diǎn)圖可直觀地判斷兩個(gè)變量是否相關(guān)．2．利用回歸直線，我們可以進(jìn)行預(yù)測．若回歸直線方程y＝a＋bx，則x＝x0處的估計(jì)值為y0＝a＋bx0.3．線性回歸方程中的截距a和斜率b都是通過樣本估計(jì)而得到的，存在著誤差，這種誤差可能導(dǎo)致預(yù)報(bào)結(jié)果的偏差，所以由線性回歸方程給出的是一個(gè)預(yù)報(bào)值而非精確值．4．回歸直線必過樣本點(diǎn)的中心點(diǎn)．[再練一題]2．某研究機(jī)構(gòu)對(duì)高三學(xué)生的記憶力x和判斷力y進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，得到下表數(shù)據(jù)：x681012y2356(1)請(qǐng)畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖(要求：點(diǎn)要描粗)；(2)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程y＝bx＋a；(3)試根據(jù)求出的線性回歸方程，預(yù)測記憶力為9的同學(xué)的判斷力.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：67720001】【解】(1)如圖：(2)eq\o(∑,\s\up6(n))eq\o(,\s\do4(i＝1))xiyi＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，eq\x\to(x)＝eq\f(6＋8＋10＋12,4)＝9，eq\x\to(y)＝eq\f(2＋3＋5＋6,4)＝4，eq\o(∑,\s\up6(n))eq\o(,\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝62＋82＋102＋122＝344，b＝eq\f(158－4×9×4,344－4×92)＝eq\f(14,20)＝，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)＝4－×9＝－，故線性回歸方程為y＝－.(3)由(2)中線性回歸方程知當(dāng)x＝9時(shí)，y＝×9－＝4，預(yù)測記憶力為9的同學(xué)的判斷力約為4.[探究共研型],可線性化的回歸分析探究1如何解答非線性回歸問題？【提示】非線性回歸問題有時(shí)并不給出經(jīng)驗(yàn)公式．這時(shí)我們可以畫出已知數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，把它與學(xué)過的各種函數(shù)(冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等)圖像作比較，挑選一種跟這些散點(diǎn)擬合得最好的函數(shù)，然后采用適當(dāng)?shù)淖兞孔儞Q，把問題化為線性回歸分析問題，使之得到解決．其一般步驟為：探究2已知x和y之間的一組數(shù)據(jù)，則下列四個(gè)函數(shù)中，模擬效果最好的為哪一個(gè)？x123y3①y＝3×2x－1;②y＝log2x；③y＝4x;④y＝x2.【提示】觀察散點(diǎn)圖中樣本點(diǎn)的分布規(guī)律可判斷樣本點(diǎn)分布在曲線y＝3×2x－1附近．所以模擬效果最好的為①.某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值如下表：身高x(cm)60708090100110體重y(kg)身高x(cm)120130140150160170體重y(kg)(1)試建立y與x之間的回歸方程；(2)如果一名在校男生身高為168cm，預(yù)測他的體重約為多少？【精彩點(diǎn)撥】先由散點(diǎn)圖確定相應(yīng)的擬合模型，再通過對(duì)數(shù)變換將非線性相關(guān)轉(zhuǎn)化為線性相關(guān)的兩個(gè)變量來求解．【自主解答】(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖，如下：由圖看出，這些點(diǎn)分布在某條指數(shù)型函數(shù)曲線y＝c1ec2x的周圍，于是令z＝lny，列表如下：x60708090100110zx120130140150160170z作出散點(diǎn)圖，如下：由表中數(shù)據(jù)可求得z與x之間的回歸直線方程為z＝＋，則有y＝＋.(2)由(1)知，當(dāng)x＝168時(shí)，y＝＋×168≈，所以在校男生身高為168cm，預(yù)測他的體重約為57.57kg.兩個(gè)變量不具有線性關(guān)系，不能直接利用線性回歸方程建立兩個(gè)變量的關(guān)系，可以通過變換的方法轉(zhuǎn)化為線性回歸模型，如y＝c1ec2x，我們可以通過對(duì)數(shù)變換把指數(shù)關(guān)系變?yōu)榫€性關(guān)系，令z＝lny，則變換后樣本點(diǎn)應(yīng)該分布在直線z＝bx＋a(a＝lnc1，b＝c2)的周圍．[再練一題]3．在一次抽樣調(diào)查中測得樣本的5個(gè)樣本點(diǎn)，數(shù)據(jù)如下表：x124y1612521試建立y與x之間的回歸方程．【解】作出變量y與x之間的散點(diǎn)圖如圖所示．由圖可知變量y與x近似地呈反比例函數(shù)關(guān)系．設(shè)y＝eq\f(k,x)，令t＝eq\f(1,x)，則y＝kt.由y與x的數(shù)據(jù)表可得y與t的數(shù)據(jù)表：t421y1612521作出y與t的散點(diǎn)圖如圖所示．由圖可知y與t呈近似的線性相關(guān)關(guān)系．又eq\x\to(t)＝，eq\x\to(y)＝，eq\i\su(i＝1,5,t)iyi＝，eq\i\su(i＝1,5,t)eq\o\al(2,i)＝5，b＝eq\f(\i\su(i＝1,5,t)iyi－5\a\vs4\al(\x\to(t))\a\vs4\al(\x\to(y)),\i\su(i＝1,5,t)\o\al(2,i)－5\x\to(t)2)＝eq\f－5××,5－5×≈4，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(t)＝－4×≈，∴y＝4t＋.所以y與x的回歸方程是y＝eq\f4,x)＋.[構(gòu)建·體系]1．下列結(jié)論正確的是()①函數(shù)關(guān)系是一種確定性關(guān)系；②相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系；③回歸分析是對(duì)具有函數(shù)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種方法；④回歸分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法．A．①② B．①②③C．①②④ D．①②③④【解析】函數(shù)關(guān)系和相關(guān)關(guān)系的區(qū)別是前者是確定性關(guān)系，后者是非確定性關(guān)系，故①②正確；回歸分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種方法，故③錯(cuò)誤，④正確．【答案】C2．下表是x和y之間的一組數(shù)據(jù)，則y關(guān)于x的線性回歸方程必過點(diǎn)()x1234y1357A．(2,3) B．,4)C．,4) D．,5)【解析】線性回歸方程必過樣本點(diǎn)的中心(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))，即,4)，故選C．【答案】C3．對(duì)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x和y，由測得的一組數(shù)據(jù)求得回歸直線的斜率為，且恒過(2,3)點(diǎn)，則這條回歸直線的方程為________.【解析】由題意知eq\x\to(x)＝2，eq\x\to(y)＝3，b＝，所以a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)＝3－×2＝－10，即回歸直線的方程為y＝－10.【答案】y＝－104．部門所屬的10個(gè)工業(yè)企業(yè)生產(chǎn)性固定資產(chǎn)價(jià)值與工業(yè)增加值資料如下表(單位：百萬元)：固定資產(chǎn)價(jià)值33566789910工業(yè)增加值15172528303637424045根據(jù)上表資料計(jì)算的相關(guān)系數(shù)為________.【解析】eq\x\to(x)＝eq\f(3＋3＋5＋6＋6＋7＋8＋9＋9＋10,10)＝.eq\x\to(y)＝eq\f(15＋17＋25＋28＋30＋36＋37＋42＋40＋45,10)＝.所以r＝eq\f(\o(eq\i\su(i＝1,10,)\s\up6())\o()xi－\x\to(x)yi－\x\to(y),\r(\o(eq\i\su(i＝1,10,))xi－\x\to(x)2\o(eq\i\su(i＝1,10,))yi－\x\to(y)2))≈8.【答案】85．隨著我國經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，居民的儲(chǔ)蓄存款逐年增長．設(shè)某地區(qū)城鄉(xiāng)居民人民幣儲(chǔ)蓄存款(年底余額)如下表：年份20232023202320232023時(shí)間代號(hào)t12345儲(chǔ)蓄存款y(千億元)567810(1)求y關(guān)于t的回歸方程y＝bt＋a；(2)用所求回歸方程預(yù)測該地區(qū)2023年(t＝6)的人民幣儲(chǔ)蓄存款．附：回歸方程y＝bt＋a中，b＝eq\f(\i\su(i＝1,n,t)iyi－n\x\