高中數(shù)學人教A版第一章解三角形 課后提升作業(yè)四

溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例，答案解析附后。關(guān)閉Word文檔返回原板塊。課后提升作業(yè)四解三角形的實際應(yīng)用舉例——高度、角度問題(45分鐘70分)一、選擇題(每小題5分,共40分)1.如圖所示,在山腳A處測得山頂B的仰角∠CAB=45°,沿傾斜角為30°的山坡向山頂走1000m到達S點,又測得山頂仰角∠DSB=75°,則山高BC為()2 2 【解析】選D.因為∠SAB=45°-30°=15°,∠SBA=∠ABC-∠SBC=45°-(90°-75°)=30°,所以∠ASB=180°-∠SAB-∠SBA=135°.在△ABS中,AB=AS·sin135°sin30°=10002(m),所以BC=AB·sin45°=10002×222.(2023·撫州高二檢測)在地面上某處,測得塔頂?shù)难鼋菫棣?由此處向塔走30m,測得塔頂?shù)难鼋菫?θ,再向塔走103m,測得塔頂?shù)难鼋菫?θ,則角θ的度數(shù)為()° ° ° °【解析】選A.如圖,因為∠PAB=θ,∠PBC=2θ,所以∠BPA=θ,故PB=AB=30m,又因為∠PBC=2θ,∠PCD=4θ,所以∠BPC=2θ,所以PC=BC=103m.在△BPC中,根據(jù)余弦定理PC2=PB2+BC2-2PB·BC·cos2θ,將PC=BC=103m,PB=30m代入,得:(103)2=302+(103)2-2×30×103cos2θ,得cos2θ=32又0°<2θ<90°,所以2θ=30°,所以θ=15°.3.在“國慶節(jié)”期間,一商場為了做廣告,在廣場上升起了一廣告氣球,其直徑為4m,當人們仰望氣球中心的仰角為60°時,測得氣球的視角為2°(當α很小時,可取sinα≈α,π≈,則該氣球的中心到地面的距離約為()m m m m【解析】選A.如圖,過C作CD⊥AD于D,在Rt△ADC中,sinβ=CD所以AC=CDsinβ=2sin在Rt△ABC中,BC=AC·sin60°=360π×34.某人在C點測得某塔在南偏西80°,塔頂仰角為45°,此人沿南偏東40°方向前進10m到D,測得塔頂A的仰角為30°,則塔高為() 【解析】選C.設(shè)塔高為h,在Rt△AOC中,∠ACO=45°,則OC=OA=h.在Rt△AOD中,∠ADO=30°,則OD=3h.在△OCD中,∠OCD=120°,CD=10,由余弦定理得OD2=OC2+CD2-2OC·CDcos∠OCD,即(3h)2=h2+102-2h×10×cos120°,所以h2-5h-50=0,解得h=10或h=-5(舍).5.要測量底部不能到達的東方明珠電視塔的高度,在黃浦江西岸選擇甲、乙兩觀測點,在甲、乙兩點測得塔頂?shù)难鼋欠謩e為45°,30°,在水平面上測得電視塔與甲地連線及甲、乙兩地連線所成的角為120°,甲、乙兩地相距500米,則電視塔在這次測量中的高度是()2米 米 3米 米【解題指南】畫出圖形,根據(jù)圖形分析求解.【解析】選D.由題意畫出示意圖,設(shè)高AB=h,在Rt△ABC中,由已知得BC=h,在Rt△ABD中,由已知得BD=3h,在△BCD中,由余弦定理BD2=BC2+CD2-2BC·CD·cos∠BCD,得3h2=h2+5002+h·500,解之得h=500(米).6.如圖,建造一幢寬為2l,房頂橫截面為等腰三角形的住房,且∠ABC=θ,若使雨水從房頂最快流下,則θ等于()° ° ° D.任意角【解析】選B.根據(jù)題意知s=AB=lcosθ加速度a=gsinθ.由s=12at2t2=2sa=2l7.(2023·承德高二檢測)如圖所示,在地面上共線的三點A,B,C處測得一建筑物的仰角分別為30°,45°,60°,且AB=BC=60m,則建筑物的高度為()6 66 6【解析】選D.設(shè)建筑物的高度為h,由題圖知,PA=2h,PB=2h,PC=23所以在△PBA和△PBC中,分別由余弦定理,得cos∠PBA=60cos∠PBC=60因為∠PBA+∠PBC=180°,所以cos∠PBA+cos∠PBC=0.③由①②③,解得h=306m或h=-306m(舍去),即建筑物的高度為306m.8.空中有一氣球,在它的正西方A點測得它的仰角為45°,同時在它南偏東60°的B點,測得它的仰角為30°,若A,B兩點間的距離為266米,這兩個觀測點均離地1米,那么測量時氣球到地面的距離是()A.26677米 B.米 7米【解析】選B.如圖,D為氣球C在過AB且與地面平行的平面上的正投影,設(shè)CD=x米,依題意知:∠CAD=45°,∠CBD=30°,則AD=x米,BD=3x米.在△ABD中,由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD·BD·cos∠ADB,即2662=x2+(3x)2-2x·(3x)·cos150°=7x2,解得x=26677,故測量時氣球到地面的距離是二、填空題(每小題5分,共10分)9.(2023·湖北高考)如圖,一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛,到A處時測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上,行駛600m后到達B處,測得此山頂在西偏北75°的方向上,仰角為30°,則此山的高度CD=__________m.【解題指南】先用正弦定理求得BC的長度,再解三角形得出CD的長度.【解析】在△ABC中,∠CAB=30°,∠ACB=75°-30°=45°,根據(jù)正弦定理知,BCsin∠BAC=ABsin∠ACB,即BC=ABsin∠ACB×sin∠BAC=所以CD=BC×tan∠DBC=3002×33=1006答案:100610.如圖所示,要測量底部不能到達的電視塔AB的高度,在C點測得塔頂A的仰角是45°,在D點測得塔頂A的仰角是30°,并測得水平面上的∠BCD=120°,CD=40m,則電視塔的高度為______m.【解析】設(shè)電視塔AB高為x,則在Rt△ABC中,由∠ACB=45°得:BC=x.在Rt△ADB中,∠ADB=30°,所以BD=3x.在△BDC中,由余弦定理得:BD2=BC2+CD2-2BC·CD·cos120°,即(3x)2=x2+402-2·x·40·cos120°,解得:x=40,所以電視塔高為40m.答案:40三、解答題(每小題10分,共20分)11.(2023·天津高二檢測)如圖所示,某旅游景點有一座風景秀麗的山峰,山上有一條筆直的山路BC和一條索道AC,小王和小李打算不坐索道,而是花2個小時的時間進行徒步攀登.已知∠ABC=120°,∠ADC=150°,BD=1千米,AC=3千米,假設(shè)小王和小李徒步攀登的速度為每小時1200米,請問:兩位登山愛好者能否在2個小時內(nèi)徒步登上山峰?(即從B點出發(fā)到達C點)【解題指南】先利用正弦定理,求出AD,再在△ADC中,由余弦定理,求出DC,即可得出結(jié)論.【解析】由∠ADC=150°知∠ADB=30°,在△ABD中,∠DAB=30°,由正弦定理得1sin30°=A所以AD=3千米.在△ADC中,由余弦定理得:AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos150°,即32=32+DC2-2·3·DCcos150°,即DC2+3·DC-6=0,解得DC=-3+所以BC≈(千米),由于<,所以兩位登山愛好者能夠在2個小時內(nèi)徒步登上山峰.12.如圖,測量河對岸的塔高AB時,可以選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測量點C和D.現(xiàn)測得∠BCD=α,∠BDC=β,CD=s,并在點C測得塔頂A的仰角為θ,求塔高AB.【解題指南】先利用三角形內(nèi)角和定理求出∠CBD的度數(shù),再利用正弦定理求出BC的長,最后在△ABC中求塔高AB.【解析】在△BCD中,∠CBD=180°-α-β.由正弦定理得:BCsin∠BDC=即BCsinβ所以BC=sinβ在△ABC中,由于∠ABC=90°,故AB即AB=BC·tanθ=sinβtanθ【能力挑戰(zhàn)題】在海岸A處,發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向距A為(3-1)nmile的B處有一艘走私船,在A處北偏西75°方向距A為2nmile的C處的我方緝私艇奉命以103nmile/h的速度追截走私船,此時走私船正以10nmile/h的速度,從B處向北偏東30°方向逃竄,問緝私艇沿什么方向行駛才能最快追上走私船?并求出所需時間.【解析】如圖,設(shè)緝私艇th后在D處追上走私船,則BD=10tnmile,CD=103tnmile,因為∠BAC=45°+75°=120°,所以在△ABC中,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC=(3-1)2+22-2×(3-1)×2×cos120°=6,所以BC=6.由正弦定理得sin∠