直角坐標(biāo)系求面積

求坐標(biāo)系中圖形的面積

四平六中

徐亞恒

問題1：求下列條件下線段AB的長(zhǎng)度.1）A(－6，0)，B(－2，0)2）A(－3，0)，B(2，0)3）A(1，0)，B(5，0).4）A(x1，0)，B(x2，0).5）A(0，y1)，B(0

，y2).Oxy

-5-4-3-2-1123454321-1-2-3-4如圖（1），△AOB的面積是多少？問題2yOx圖（1）AB43211234(4,0)(0,3)yABC

練習(xí).１．已知A(1,4),B(-4,0),C(2,0).△ABC的面積是＿＿＿．２.若BC的坐標(biāo)不變,△ABC的面積為6,點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為-1,那么點(diǎn)A的坐標(biāo)為__

_.12O(1,4)(-4,0)(2,0)CyAB(-4,0)(2,0)(-1,2)或(-1,-2)

坐標(biāo)距離三角形面積線段長(zhǎng)度點(diǎn)一、有一邊在坐標(biāo)軸上

例1如圖1，平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為（－3，0），（0，3），（0，－1），你能求出三角形ABC的面積嗎？

分析：根據(jù)三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)特征可以看出，△ABC的邊BC在y軸上，由圖形可得BC＝4，點(diǎn)A到BC邊的距離就是A點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離，也就是A點(diǎn)橫坐標(biāo)的絕對(duì)值3，然后根據(jù)三角形的面積公式求解.

解：因?yàn)锽(0,3),C(0,-1),所以BC=3-（-1）=4.因?yàn)锳(-3,0),所以A點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離，即BC邊上的高為3，已知A(-2,0)，B（4，0），C（x,y)

(1)若點(diǎn)C在第二象限，且|x|=4,|y|=4,

求點(diǎn)C的坐標(biāo)，并求三角形ABC的面積；

分析(1)由點(diǎn)C在第二象限，可知x和y的符號(hào)，這樣可化簡(jiǎn)絕對(duì)值，從而求點(diǎn)C的坐標(biāo)，求三角形的面積，關(guān)鍵求點(diǎn)C到AB所在的直線即x軸的距離|y|31425-2-4-1-3012345-4-3-2-1ABC已知A(-2,0)，B（4，0），C（x,y)

（2）若點(diǎn)C在第四象限上，且三角形ABC的面積=9，|x|=3,求點(diǎn)C的坐標(biāo)31425-2-4-1-3012345-4-3-2-1ABC分析：由三角形的面積可求出C到AB所在的直線距離為3,而點(diǎn)C在第四象限可知它的坐標(biāo)符號(hào)，從而可知y=-3（若不限定C的象限，求C點(diǎn)的坐標(biāo)又如何？）

Oy43211234A(2,1)x圖（3）Oxy圖（4）A(2,1)43211234二、有一邊與坐標(biāo)軸平行例2如圖2，三角形ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（4，1），B（4，5），C（-1，2），求三角形ABC的面積.分析：由A（4，1），B（4，5）兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，可知邊AB與y軸平行，因而AB的長(zhǎng)度易求.作AB邊上的高CD，則D點(diǎn)的橫坐標(biāo)與A點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，也是4，這樣就可求得線段CD的長(zhǎng)，進(jìn)而可求得三角形ABC的面積.

解：因?yàn)锳，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，所以邊AB∥y軸，所以AB=5-1=4.作AB邊上的高CD，則D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，所以CD=4-（-1）=5，所以=.OXYA(2,1)43211234圖（5）三、三邊均不與坐標(biāo)軸平行例3如圖2,平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（-3，-1），B（1，3），C（2，-3），你能求出三角形ABC的面積嗎？

解：如圖，過點(diǎn)A、C分別作平行于y軸的直線，與過點(diǎn)B平行于x軸的直線交于點(diǎn)D、E，則四邊形ADEC為梯形.因?yàn)锳（-3，-1），B（1，3），C（2，-3），所以AD＝4，CE=6，DB=4，BE=1，DE＝5.所以=（AD+CE）×DE-AD×DB-CE×BE=×（4+6）×5－×4×4－×6×1＝14.（AD+CE）×DE-AD×DB-CE×BE=×（4+6）×5－

×4×4－×

6×1＝14.＝分析：由于三邊均不平行于坐標(biāo)軸，所以我們無法直接求邊長(zhǎng)，也無法求高，因此得另想辦法.根據(jù)平面直角坐標(biāo)系的特點(diǎn)，可以將三角形圍在一個(gè)梯形或長(zhǎng)方形中，這個(gè)梯形（長(zhǎng)方形）的上下底（長(zhǎng)）與其中一坐標(biāo)軸平行，高（寬）與另一坐標(biāo)軸平行.這樣，梯形（長(zhǎng)方形）的面積容易求出，再減去圍在梯形（長(zhǎng)方形）內(nèi)邊緣部分的直角三角形的面積，即可求得原三角形的面積.Oy43211234A(2,1)x圖（6）Oy43211234A(2,1)x圖（7）C(2,2)MN方法1Oy43211234A(2,1)x圖（8）D(1,1)EF方法2Oy43211234A(2,1)xE(4,1)F(4,0)圖（9）方法3Oy43211234A(2,1)xE(4,1)F(4,0)圖（10）G(0,4)方法4Oy43211234A(2,1)xF(4,0)圖（11）方法5在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知A（―5，4），B（―2，―2），C（0，2）．求三角形ABC的面積．＝－－＝――

＝12．已知點(diǎn)A（0，1），點(diǎn)B（0，－4）,點(diǎn)C在軸上，如果三角形ABC的面積為15．（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)．（2）若點(diǎn)C不在軸上，那么點(diǎn)C的坐標(biāo)需滿足什么樣的條件（畫圖并說明）？（1）如圖，AB＝︱1-（-4）︱＝5，設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo)為C（x，0），則＝＝＝15，即＝6，±6．所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為（6，0）或（－6，0）．AB×OC（2）點(diǎn)C需滿足的條件是橫坐標(biāo)恒為6或－6，縱坐標(biāo)任意．如圖，點(diǎn)C位于兩條平行于y軸且與y軸距離為6的條直線上．做一做1.已知△ABC中，A(-1,-2),B(6,2),C(1,3),求△ABC的面積.y-36x31425-2-1O12345-2-1678A(-1,-2)B(6,2)C(1,3)-1-2xy1234567854321-2-1OA(-1,-2)B(6,2)C(1,3)D(6,-2)E(6,3)F(-1,3)方法1-1-2xy1234567854321-2-1OA(-1,-2)B(6,2)C(1,3)D(6,-2)E(6,3)方法2-1-2xy1234567854321-2-1OA(-1,-2)B(6,2)C(1,3)E(6,3)F(-1,3)方法3-1-2xy1234567854321-2-1OB(6,2)C(1,3)方法4A(-1,-2)A`B`C`.三角形ABC三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為A（2，-1），B（1，-3），C（4，-3.5）。123456-67654231-1-2-3-4-5-6-7-5-4-3-2-1yx0（1）把三角形A1B1C1向右平移4個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位，恰好得到三角形ABC，試寫出三角形A1B1C1三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo);ACB123456-67654231-1-2-3-4-5-6-7-5-4-3-2-1yx0（2）求出三角形A1B1C