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山西省忻州市門限石中學(xué)2023年高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每小題給出的四個選項中,只有是一個符合題目要求的1.函數(shù),若,,,則有(
)A.
B.
C.
D.參考答案:D,在上為減函數(shù),且時,時,,且,,且,且,,在上單調(diào)遞減,,即,故選D.
2.把一副三角板ABC與ABD擺成如圖所示的直二面角D-AB-C,則異面直線DC與AB所成角的正切值為
A.
B.C.
D.不存在
參考答案:B3.已知函數(shù)是奇函數(shù),且當時,,則(
)(A)
(B)
(C)
(D)參考答案:D試題分析:因函數(shù)是奇函數(shù),故考點:函數(shù)的性質(zhì)4.若函數(shù)f(x)=(a2-2a-3)x2+(a-3)x+1的定義域和值域都為R,則a的取值范圍是(A).a=-1或3
(B).a>3或a<-1
(C).a=-1
(D).-1<a<3參考答案:C5.設(shè),當時,不等式恒成立,則的取值范圍是A.
B.
C.
D.參考答案:A6.已知直線:x+ay+6=0和:(a-2)x+3y+2a=0,則∥的充要條件是a=(
)
A.3
B.1
C.-1
D.3或-1參考答案:C略7.設(shè)變量滿足約束條件,則目標函數(shù)的最小值為(
)A.
B.
C.
D.參考答案:B略8.在△ABC中,b2=ac,且a+c=3,cosB=,則?=()A. B.﹣ C.3 D.﹣3參考答案:B【考點】余弦定理;平面向量數(shù)量積的運算.【專題】解三角形.【分析】利用余弦定理列出關(guān)系式,再利用完全平方公式變形,把已知等式及cosB的值代入求出ac的值,原式利用平面向量的數(shù)量積運算法則變形,將各自的值代入計算即可求出值.【解答】解:∵在△ABC中,b2=ac,且a+c=3,cosB=,∴由余弦定理得:cosB=====,即ac=2,則?=﹣cacosB=﹣.故選:B.【點評】此題考查了余弦定理,平面向量的數(shù)量積運算,熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵.9.已知數(shù)列滿足(A)
(B)
(C)
(D)參考答案:C10.設(shè),,,則(
)A. B. C. D.參考答案:D【分析】根據(jù)對數(shù)運算將變形為和,根據(jù)真數(shù)相同的對數(shù)的大小關(guān)系可比較出三個數(shù)之間的大小.【詳解】;又
本題正確選項:【點睛】本題考查利用對數(shù)函數(shù)的圖象比較大小的問題,關(guān)鍵是能利用對數(shù)運算將三個數(shù)轉(zhuǎn)化為統(tǒng)一的形式.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)為等差數(shù)列的前項和,若,則
.參考答案:【知識點】等差數(shù)列的性質(zhì)及等差數(shù)列的前n項和.
D2【答案解析】36
解析:由,得,即,所以.【思路點撥】根據(jù)等差數(shù)列的通項公式,等差數(shù)列的性質(zhì)以及等差數(shù)列的前n項和公式,求得結(jié)論.12.已知拋物線y2=4x上一點M與該拋物線的焦點F的距離|MF|=4,則點M的橫坐標x=________.參考答案:313.若集合A={x|x≤2}、B={x|x≥a}滿足A∩B={2},則實數(shù)a=
.參考答案:【解析】由答案:14.已知參考答案:略15.某所學(xué)校計劃招聘男教師名,女教師名,和須滿足約束條件,則該校招聘的教師最多是
名.參考答案:1016.如題15圖所示,過拋物線的焦點F作直線交C于A、B兩點,過A、B分別向C的準線作垂線,垂足為,已知四邊形的面積分別為15和7,則的面積為
。參考答案:提示:首先證,然后有題意有兩式作積得解這個方程得
17.右圖是一個算法的流程圖,最后輸出的k=
▲
.參考答案:11略三、解答題:本大題共5小題,共72分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟18.(13分)已知函數(shù)f(x)=2cosx(sinx+cosx)+2(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的最小正周期與單調(diào)遞減區(qū)間;(Ⅱ)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,]上的最大值和最小值.參考答案:【考點】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用;正弦函數(shù)的圖象.【分析】(Ⅰ)由三角函數(shù)化簡可得f(x)=2sin(2x+)+3,由周期公式可得,解不等式2kπ+≤2x+≤2kπ+可得單調(diào)遞減區(qū)間;(Ⅱ)由x∈結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)逐步計算可得2sin(2x+)+3∈[2,5],可得最值.【解答】解:(Ⅰ)化簡可得=?2sinxcosx+2cos2x+2=sin2x+cos2x+1+2=2sin(2x+)+3,∴函數(shù)f(x)的最小正周期T==π,由2kπ+≤2x+≤2kπ+可得kπ+≤x≤kπ+∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+,kπ+](k∈Z);(Ⅱ)∵x∈,∴2x+∈[,],∴sin(2x+)∈[,1],∴2sin(2x+)∈[﹣1,2],∴2sin(2x+)+3∈[2,5],∴函數(shù)的最大值和最小值分別為5,2.【點評】本題考查三角函數(shù)恒等變換,涉及三角函數(shù)的周期性和單調(diào)性及最值,屬中檔題.19.在某次水下科研考察活動中,需要潛水員潛入水深為60米的水底進行作業(yè),根據(jù)以往經(jīng)驗,潛水員下潛的平均速度為v(米/單位時間),每單位時間的用氧量為(升),在水底作業(yè)10個單位時間,每單位時間用氧量為0.9(升),返回水面的平均速度為(米/單位時間),每單位時間用氧量為1.5(升),記該潛水員在此次考察活動中的總用氧量為y(升).(1)求y關(guān)于v的函數(shù)關(guān)系式;(2)若c≤v≤15(c>0),求當下潛速度v取什么值時,總用氧量最少.參考答案:【考點】函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用.【分析】(1)分別計算潛入水底用時、用氧量;水底作業(yè)時用氧量;返回水面用時、用氧量,即可得到總用氧量的函數(shù);(2)利用基本不等式可得,時取等號,再結(jié)合c≤v≤15(c>0),即可求得確定下潛速度v,使總的用氧量最少.【解答】解:(1)由題意,下潛用時(單位時間),用氧量為(升),水底作業(yè)時的用氧量為10×0.9=9(升),返回水面用時(單位時間),用氧量為(升),∴總用氧量(v>0).(2),令y'=0得,在時,y'<0,函數(shù)單調(diào)遞減,在時,y'>0,函數(shù)單調(diào)遞增,∴當時,函數(shù)在上遞減,在上遞增,∴此時時用氧量最少.當時,[c,15]上遞增,此時v=c時,總用氧量最少.20.(本小題滿分14分)已知函數(shù),其中.(Ⅰ)當時,求曲線在原點處的切線方程;(Ⅱ)求的單調(diào)區(qū)間;(Ⅲ)若在上存在最大值和最小值,求的取值范圍.參考答案:解:(Ⅰ)當時,,.
………………2分由,得曲線在原點處的切線方程是.……3分
(Ⅱ).
………………4分①當時,.所以在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.
……5分當,.②當時,令,得,,與的情況如下:↘↗↘
故的單調(diào)減區(qū)間是,;單調(diào)增區(qū)間是.………7分③當時,與的情況如下:↗↘↗
所以的單調(diào)增區(qū)間是,;單調(diào)減區(qū)間是…9分(Ⅲ)由(Ⅱ)得,時不合題意.
……10分
當時,由(Ⅱ)得,在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,所以在上存在最大值.設(shè)為的零點,易知,且.從而時,;時,.若在上存在最小值,必有,解得.所以時,若在上存在最大值和最小值,的取值范圍是.12分
當時,由(Ⅱ)得,在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,所以在上存在最小值.若在上存在最大值,必有,解得,或.所以時,若在上存在最大值和最小值,的取值范圍是.
綜上,的取值范圍是.
………………14分21.已知函數(shù)f(x)=是R上的單調(diào)遞增函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍.參考答案:【考點】5B:分段函數(shù)的應(yīng)用.【分析】分段函數(shù)f(x)=是R上的單調(diào)遞增函數(shù),則每一段均為增函數(shù),且當x=1時,左段函數(shù)值不大于右段函數(shù)值,進而可得實數(shù)a的取值范圍.【解答】解:根據(jù)函數(shù)f(x)=是R上的單調(diào)遞增函數(shù),可得:每一段均為增函數(shù),且當x=1時,左端函數(shù)值不大于右端函數(shù)值,所以,解得4≤a<8.故實數(shù)a的取值范圍為[4,8).22.空氣質(zhì)量問題,全民關(guān)注,有需求就有研究,某科研團隊根據(jù)工地常用高壓水槍除塵原理,制造了霧霾神器﹣﹣﹣霧炮,雖然霧炮不能徹底解決問題,但是能在一定程度上起到防霾、降塵的作用,經(jīng)過測試得到霧炮降塵率的頻率分布直方圖:若降塵率達到18%以上,則認定霧炮除塵有效.(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計霧炮除塵有效的概率;(2)現(xiàn)把A市規(guī)劃成三個區(qū)域,每個區(qū)域投放3臺霧炮進行除塵(霧炮之間工作互不影響),若在一個區(qū)域內(nèi)的3臺霧炮降塵率都低于18%,則需對該區(qū)域后期追加投入20萬元繼續(xù)進行治理,求后期投入費用的分布列和期望.參考答案:【考點】離散型隨機變量的期望與方差;離散型隨機變量及其分布列.【分析】(1)估計霧炮除塵有效的概率P=5×0.05+5×0.04+5×0.03+5×0.01.(2)由(1)可得:在一個區(qū)域內(nèi)的3臺霧炮降塵率都低于18%,則需對該區(qū)域后期追加投入20萬元繼續(xù)進行治理,因此在一個區(qū)域內(nèi)需對該區(qū)域后期追加投入20萬元繼續(xù)進行治理的概率P==.后期投入?yún)^(qū)域X~B.后期投入費用ξ=20X(萬元).利用P(ξ=20k)=P(X=k)=即可得出.【解答】解:(1
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