流體力學(xué)-08繞流運動

第八章繞流運動§8-1無旋流動§8-2平面無旋流動§8-3幾種簡單的平面無旋流動§8-4勢流疊加§8-6繞流運動與附面層基本概念§8-10曲面附面層的分離現(xiàn)象與卡門渦街2/5/2023§8-1無旋流動如果流體流動時所有流體微團僅作平移和變形運動，沒有旋轉(zhuǎn)運動，即，則稱該流動為無旋流動（勢流）。2/5/2023因此，無旋運動無旋流動的前提條件是：（8—1）式（8—1）是為某一勢函數(shù)的全微分的充分必需條件，其中t為參變量，必有又因說明無旋必有勢故（8—3）（8—2）2/5/2023圓柱坐標系（8—4）球坐標系（8—5）2/5/2023證

流速勢函數(shù)的性質(zhì)：

（8—8）1、對于任意方向的方向?qū)?shù)等于該方向的分速，即2/5/2023流速勢函數(shù)等于常數(shù)的曲面積為等勢面。在其面上位于等勢面上的線稱為等勢線。所以式中—速度向量；—等勢面上微元弧向量。2、等勢線與流線正交定義：說明：速度u與ds正交。等勢線既是過流斷面線。一族流線與等勢線構(gòu)成相互正交的流網(wǎng)。2/5/20233、流速勢函數(shù)沿流線s方向增大。

從而得由性質(zhì)1得沿流線方向的速度為沿流線方向速度，所以，即說明值增大的方向與s方向相同。2/5/20234、流速勢函數(shù)是調(diào)和函數(shù)

代入不可壓縮流體的連續(xù)方程中得從而得或者（8—9）（8—10)上式說明流速勢函數(shù)滿足拉普拉斯方程式，在數(shù)學(xué)上稱滿足拉普拉斯方程式的函數(shù)為調(diào)和函數(shù)，所以流速勢函數(shù)是調(diào)和函數(shù)。平面勢流中2/5/2023§8-2平面無旋流動一、平面無旋流動的勢函數(shù)在不可壓縮流體平面流動中，旋轉(zhuǎn)角速度只可能有ωz的分量，如果ωz為零，即：則為平面無旋流動。平面無旋流動的速度勢函數(shù)為：在流場中，某一方向(取作z軸方向)流速為零，uz＝0，而另兩方向的流速ux、uy與上述軸向坐標z無關(guān)的流動，稱為平面流動。2/5/2023例如工業(yè)液槽的邊側(cè)吸氣，沿長形液槽兩邊，設(shè)置狹縫吸風口。氣流由吸風口a吸出，在液槽上方造成x—y平面上的速度場。沿長度方向，即垂直于紙面方向，流速為零。而且沿此方向取任一x—y平面，它的速度場完全一致，這就是平面流動的具體例子(圖8—2)。2/5/2023并滿足拉普拉斯方程：不可壓縮流體平面流動的速度ux，uy可以用下式表示：一切不可壓縮流體的平面流動，無論是有旋流動或是無旋流動都存在流函數(shù)，但是，只有無旋流動才存在勢函數(shù)。所以。對于平面流動問題，流函數(shù)具有更普遍的性質(zhì)，它是研究平面流動的一個重要工具。下面我們具體討論下流函數(shù)。直角坐標：極坐標：2/5/2023二、平面無旋流動的流函數(shù)（8—11）即它是使成為某一函數(shù)的全微分的充要條件，則有故（8—12）對于不可壓縮流體的平面流動，其連續(xù)方程式為2/5/2023就稱為不可壓縮流體平面流動的流函數(shù)。類似地可證，在極坐標中（8—13）因為流函數(shù)存在的條件是要求流動滿足不可壓縮流體的連續(xù)方程式，而連續(xù)方程式是任何流動都必須滿足的，所以說任何平面流動中一定存在著一個流函數(shù)。2/5/2023三、流函數(shù)的基本性質(zhì)因為即為流線方程。1、等流函數(shù)線為流線2/5/20232、在平面無旋流動中流函數(shù)滿足拉普拉斯方程，是調(diào)和函數(shù)。證：平面無旋流動需滿足則因為代入上式，平面無旋流動的流函數(shù)和流速勢函數(shù)之間的關(guān)系式為：2/5/2023在數(shù)學(xué)分析中，這個關(guān)系式稱為柯西—黎曼條件，滿足這個條件的兩個調(diào)和函數(shù)稱共軛調(diào)和函數(shù)，已知其中一個函數(shù)就可以求出另一個函數(shù)。2/5/2023證：考察通過任意一條曲線AB（z方向為單位長度）的流量。（圖8—2）對于通過微元矢量的流量則通過AB兩點的任意連線AB的流量（8—14）3、兩條流線間通過的流量等于兩條流線的流函數(shù)之差。圖8—2流函數(shù)與流量的關(guān)系2/5/20234、等流函數(shù)線（流線）與等勢線正交說明流函數(shù)的梯度與速度勢的梯度（即速度）正交，故分別與它們垂直的等流函數(shù)線（即流線）與等勢線正交。這是因為5、流網(wǎng)中每一網(wǎng)格的相鄰邊長維持一定的比例。由于等流函數(shù)值線（即流線）和等勢函數(shù)值線（簡稱等勢線）相互垂直，我們可以把流線和等勢線繪入同一流場中，得出相應(yīng)的一系列等勢線。這兩簇曲線構(gòu)成正交曲線網(wǎng)格，稱之為流網(wǎng)。2/5/2023四、流場中流網(wǎng)的繪制流場中的流網(wǎng)．可以利用流線和等勢線相互正交，形成曲線正方網(wǎng)格的特性，直接在流場中徒手繪出。具體繪法是用一張繪圖紙，先繪出流場。根據(jù)流動的大致方向，試繪一系列流線以及垂直于流線的等勢線，形成正交網(wǎng)格。初繪之后，檢查不符合流網(wǎng)的特性的地方，用橡皮擦去，重新修改，逐漸形成互相垂直的正方形網(wǎng)格。最后繪成基本上符合流網(wǎng)特性的兩簇曲線〔圖8-5)。繪制時，抓住邊界條件是重要的。一般說來，固體邊界都是邊界流線；過水斷面或勢能相等的線，都是邊界等勢線。對于給定流場，繪出邊界等勢線和邊界流線，就確定了流網(wǎng)的范圍。2/5/2023§8-3幾種簡單的平面無旋流動一、均勻直線流

設(shè)液體作平行直線等速流動，流場中各點速度的大小和方向均相同，即均為定值。而流函數(shù)為由于于是，速度勢為又（8—17）（8—17）2/5/2023圖8—3平行等速流變?yōu)闃O坐標方程為：速度勢與流函數(shù)在直角坐標上表示如下圖：2/5/2023流體從某一點徑向流出稱為源，如圖8—4（a）所示。流體從某一點徑向流入稱為匯，如圖8—4（b）所示。設(shè)半徑r方向水層的厚度為1，源（匯）的流量為Q，則由此（a）（b）圖8—4源與匯二、源流和匯流定義：2/5/2023由于源匯只有徑向流動，所以圓周方向的速度分量。在極坐標中，由式（8—7）積分得（8—18）據(jù)流函數(shù)得：積分得式中分別是關(guān)于的積分常數(shù)，根據(jù)上面兩個應(yīng)該相等，得2/5/2023式中分別是關(guān)于的積分常數(shù)，由兩個應(yīng)該相等，得（8—19）故假定流出流量為正，則源流取“”號，匯流取“-”號。源匯流的等勢線為一組同心圓。2/5/2023現(xiàn)在我們來研究流體的圓周運動，即只有圓周方向速度，而徑向速度。如圖8—5所示，并且定義速度在圓周切線上的線積分為速度環(huán)量（環(huán)流強度），即三、環(huán)流所以由式（8—6）（8—20）積分得2/5/2023由此得積分得（8—21）等勢線是一族射線。圖8—4（a）環(huán)流應(yīng)當注意，環(huán)流是圓周流動，但卻不是有旋流動。因為，除了原點這個特殊的奇點之外，各流體質(zhì)點均無旋轉(zhuǎn)角速度。2/5/2023四、直角內(nèi)的流動假設(shè)無旋流動的速度勢為：則流函數(shù)全微分為2/5/2023§8-4勢流的疊加由于勢流的速度滿足拉普拉斯方程，而拉普拉斯方程又是線性的，故幾個勢流的速度勢疊加后仍滿足拉普拉斯方程。設(shè)有兩個勢流，其速度勢分別為，則（8—24）此時，兩個速度勢之和將代表一個新的不可壓縮流體平面勢流，其速度勢（8—25）2/5/2023因為（8—26）即速度勢疊加結(jié)果，代表一新的復(fù)合流動，其速度分量（8—27）同理可證明，新的復(fù)合流動的流函數(shù)（8—28）2/5/2023疊加兩個或多個勢流組成一新的復(fù)合勢流，只需將各原始勢流的速度勢或流函數(shù)簡單地相加，其速度將是各原始勢流速度的矢量和。勢流的疊加原理：2/5/2023一、均勻直線流中的源流將源流和水平勻速直線流相加，坐標原點選在源點，則流函數(shù)：由此可以用極坐標畫出流速場，如圖8-12。這是繞某特殊形狀物體前部的流動。在源點0，流速極大。離開源點．流速迅速降低。離源點較遠之處，流速幾乎不受影響，保持勻速v0。但在離源點前其一距離xs，必然存在著某一點s，勻速流速和源流在該點所造成的速度，大小相等，方向相反，使該點流速為零，這一點稱為駐點。它的位置xs可以根據(jù)勢流疊加原理來確定：2/5/2023二、勻速直線流中的等強源匯流在勻速直線流中，沿x軸疊加一對強度相等的源和匯，這樣的疊加勢流，可以用以描述下圖所示的繞朗金橢圓的流動。勻速直線流中的等強源匯流的流函數(shù)為：駐點在物體的前后，它流速為零的條件為：得出：2/5/2023若將位于點，強度為Q的源與位于B點等強度的匯疊加（圖8—5）令分別為源與匯的速度勢和流函數(shù)，則疊加后某點的速度勢（8—22）流函數(shù)（8—23）三、偶極流繞柱體的流動圖8—5源與匯2/5/2023源流和環(huán)流相加，使流體既作旋轉(zhuǎn)運動，又作徑向流動，稱為源環(huán)流。這種流動的流函數(shù)：四、源環(huán)流零流線方程，ψ＝0。得出：表明流線是對數(shù)螺旋線簇，如圖8-16。這種在半徑為r1的內(nèi)圓周到半徑為r2的外圓周的流動，對工程上有重要意義。從內(nèi)向外流速不斷減少，則壓強不斷增大。徑向流速和輻向流速為：2/5/2023本章主要研究平板上的邊界層，因為流線體繞流與平板繞流相接近。粘性流體運動時的解析近似解至今在兩種情況下才能獲得，一種是時，可忽略慣性力，使基本方程線性化，這就是所謂蠕流理論；另一種是時，求解物體繞流阻力的邊界層理論，它對流體的粘性僅局限于邊界內(nèi)考慮，而邊界層之外的廣大主流區(qū)，可當作理想流體的勢流?！?-6

繞流運動與附面層基本概念

2/5/2023

粘性流體與理想流體的根本區(qū)別：粘性流體具有粘滯性。當粘性流體在靜止固定邊界上流動時，流體在固定邊界上的速度為零，隨與固體邊界距離的增大，固體邊界或粘性對流動的影響逐漸減小，流速逐漸增大，最后接近來流流速。

當來流的雷諾數(shù)較高時，具有速度變化的范圍只限于靠近固體邊界的極薄的一層內(nèi)，此薄層稱為邊界層。流速由0增加到0.99處流體的厚度稱為邊界層的厚度。

定義：邊界層的基本概念2/5/2023飛機和艦船的摩擦阻力確定；溢流壩面理論流速系數(shù)值的確定；陡槽中高速水流摻氣點的確定；水流阻力與水頭損失的確定。1、邊界層的厚度與物體的特征長度相比是非常小的，，即邊界層極薄。因為隨著平板長度的增加，摩擦損失亦增加，流體內(nèi)部的能量減少，流速亦減少，為了滿足連續(xù)條件，邊界層的厚度增大。

邊界層理論在實際工程中的應(yīng)用：

邊界層的特點：

2、邊界層的厚度δ在平板上沿流動方向增加。2/5/2023

3、邊界層中也存在著層流區(qū)、過渡區(qū)和紊流區(qū)，過渡區(qū)和紊流區(qū)下面也存在一個層流底層。如圖8—18所示。層流邊界層過渡區(qū)紊流邊界層層流底層圖8—18邊界層結(jié)構(gòu)2/5/2023隨著邊界層厚度的增加，粘性對邊界層內(nèi)流體的約束作用減小，而慣性作用增大。當粘性作用控制不住水質(zhì)點的運動時，就和流體在圓管中流動一樣，由層流轉(zhuǎn)變成紊流，此現(xiàn)象稱為邊界層轉(zhuǎn)捩，并且在過渡區(qū)和紊流區(qū)下面存在一層流底層。假設(shè)主流中流速為，到平板前端的距離為xk

，這時的雷諾數(shù)為（8—20）一般取轉(zhuǎn)捩點的雷諾數(shù)為（8—21）2/5/2023