大學(xué)物理上剛體講座

大學(xué)物理主講教師：姜海麗E-mail：jianghaili@－－－剛體習(xí)題剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)

（2）、角量與線量的關(guān)系

（3）、勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)1、基本物理量（1）、角速度與角加速度2、力矩轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（1）、力矩（3）、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：，或平行軸定理：決定剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的三要素：（1）剛體的體密度；（2）剛體的幾何形狀；（3）轉(zhuǎn)軸的位置。（2）、轉(zhuǎn)動(dòng)定律：剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，剛體的角加速度與它所受的合外力矩成正比，與剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成反比。典型題形：1、已知受力，求轉(zhuǎn)動(dòng)參數(shù)（）2、已知一些轉(zhuǎn)動(dòng)參量，求其他轉(zhuǎn)動(dòng)參數(shù)。3、已知轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)，求力矩。4、利用牛頓定律和轉(zhuǎn)動(dòng)定律解決問題5、力學(xué)的綜合問題質(zhì)點(diǎn)和剛體的對(duì)應(yīng)關(guān)系質(zhì)點(diǎn)剛體S1、一飛輪以600rev/min的轉(zhuǎn)速旋轉(zhuǎn)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為2.5kg·m2，現(xiàn)加一恒定的制動(dòng)力矩使飛輪在1s內(nèi)停止轉(zhuǎn)動(dòng)，則該恒定制動(dòng)力矩的大小M＝_________．157N.m2、一作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的物體，對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J＝3.0kg·m2，角速度ω0＝6.0rad/s．現(xiàn)對(duì)物體加一恒定的制動(dòng)力矩M＝－12N·m，當(dāng)物體的角速度減慢到ω＝2.0rad/s時(shí)，物體已轉(zhuǎn)過了角度θ＝_________________．4.0rad3、半徑為R具有光滑軸的定滑輪邊緣繞一細(xì)繩，繩的下端掛一質(zhì)量為m的物體．繩的質(zhì)量可以忽略，繩與定滑輪之間無相對(duì)滑動(dòng)．若物體下落的加速度為a，則定滑輪對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J＝______________________．m(g－a)R2/a4、如圖所示，A、B為兩個(gè)相同的繞著輕繩的定滑輪．A滑輪掛一質(zhì)量為M的物體，B滑輪受拉力F，而且F＝Mg．設(shè)A、B兩滑輪的角加速度分別為βA和bB，不計(jì)滑輪軸的摩擦，則有(A)βA＝βB．(B)βA＞βB．(C)βA＜βB．(D)無法確定．答案：C5、物體A和B疊放在水平桌面上，由跨過定滑輪的輕質(zhì)細(xì)繩相互連接，如圖所示．今用大小為F的水平力拉A．設(shè)A、B和滑輪的質(zhì)量都為m，滑輪的半徑為R，對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J＝AB之間、A與桌面之間、滑輪與其軸之間的摩擦都可以忽略不計(jì)，繩與滑輪之間無相對(duì)的滑動(dòng)且繩不可伸長(zhǎng)．已知F＝10N，m＝8.0kg，R＝0.050m．求：(1)滑輪的角加速度；(2)物體A與滑輪之間的繩中的張力；(3)物體B與滑輪之間的繩中的張力．

B

A

Fv

R

各物體受力情況如圖．

F－T＝ma

T’＝ma

(T-T’)R＝

a＝Rb

由上述方程組解得：

b＝2F/(5mR)＝10rad/s2

T＝3F/5＝6.0N

T’＝2F/5＝4.0N6、質(zhì)量為M的勻質(zhì)圓盤，可繞通過盤中心垂直于盤的固定光滑軸轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Mr2/2，繞過盤的邊緣掛有質(zhì)量為m，長(zhǎng)為l的勻質(zhì)柔軟繩索（如圖）．設(shè)繩與圓盤無相對(duì)滑動(dòng)，試求當(dāng)圓盤兩側(cè)繩長(zhǎng)之差為S時(shí)，繩的加速度的大小．rSMar SMaOx2x112解：選坐標(biāo)如圖所示，任一時(shí)刻圓盤兩側(cè)的繩長(zhǎng)分別為x1、x2選長(zhǎng)度為x1、x2的兩段繩和繞著繩的盤為研究對(duì)象．設(shè)a為繩的加速度，β為盤的角加速度，r為盤的半徑，為繩的線密度，且在1、2兩點(diǎn)處繩中的張力分別為T1、T2，則

=m/l，a=r

①x2g－T2=x2

a

②

T1－x1

g=x1

a

③(T1－T2)r=

(1/2M＋r)r2β

④解上述方程，利用l=r＋x1＋x2，并取x2－x1

=S得

7、有一半徑為R的圓形平板平放在水平桌面上，平板與水平桌面的摩擦系數(shù)為μ，若平板繞通過其中心且垂直板面的固定軸以角速度ω0開始旋轉(zhuǎn)，它將在旋轉(zhuǎn)幾圈后停止？（18）解：在r處的寬度為dr的環(huán)帶面積上摩擦力矩為總摩擦力矩故平板角加速度

=M/J

設(shè)停止前轉(zhuǎn)數(shù)為n，則轉(zhuǎn)角

=2n

由

可得

8、一轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J的圓盤繞一固定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，起初角速度為ω0．設(shè)它所受阻力矩與轉(zhuǎn)動(dòng)角速度成正比，即M＝－kω(k為正的常數(shù))，求：圓盤的角速度從ω0變?yōu)闀r(shí)所需的時(shí)間．解：根據(jù)轉(zhuǎn)動(dòng)定律：Jd/dt=-k∴

兩邊積分：

得ln2=kt/J ∴t＝(Jln2)/k

3.力矩的累積效應(yīng)（1）空間累積：力矩的功動(dòng)能定理轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能：剛體的重力勢(shì)能：4.角動(dòng)量守恒定律當(dāng)時(shí)，有說明：(1)一個(gè)剛體說明是轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的量度。

(2)多個(gè)剛體（2）時(shí)間累積角動(dòng)量定理：(4)非剛體(3)質(zhì)點(diǎn)與剛體守恒式為質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律和剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律對(duì)比質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)速度角速度加速度角加速度質(zhì)量m轉(zhuǎn)動(dòng)慣量力力矩運(yùn)動(dòng)定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律動(dòng)量角動(dòng)量動(dòng)量定理角動(dòng)量定理動(dòng)量守恒時(shí)角動(dòng)量守恒時(shí)恒量＝恒量力矩的功動(dòng)能轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能力的功動(dòng)能定理動(dòng)能定理重力勢(shì)能重力勢(shì)能1、質(zhì)量為m、長(zhǎng)為l的棒，可繞通過棒中心且與棒垂直的豎直光滑固定軸O在水平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)(轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J＝m

l

2/12)．開始時(shí)棒靜止，現(xiàn)有一子彈，質(zhì)量也是m，在水平面內(nèi)以速度v

0垂直射入棒端并嵌在其中．則子彈嵌入后棒的角速度ω＝_____________________．3v0/(2l)2、一轉(zhuǎn)臺(tái)繞豎直固定光滑軸轉(zhuǎn)動(dòng)，每10s轉(zhuǎn)一周，轉(zhuǎn)臺(tái)對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為1200kg·m2．質(zhì)量為80kg的人，開始時(shí)站在臺(tái)的中心，隨后沿半徑向外跑去，問當(dāng)人離轉(zhuǎn)臺(tái)中心2m時(shí)，轉(zhuǎn)臺(tái)的角速度為__________________．0.496rad·s13.如圖所示，已知彈簧的倔強(qiáng)系數(shù)為k=20N/m，滑輪質(zhì)量M=2kg，半徑為R=0.1m，物體質(zhì)量m=1kg。開始時(shí)系統(tǒng)靜止，彈簧處于自然狀態(tài)。求：當(dāng)物體下落

h=0.2m時(shí)，物體速度的大小（設(shè)繩與輪間不打滑，忽略滑輪的摩擦阻力）。（17）4、在光滑水平桌面上有個(gè)彈簧（其倔強(qiáng)系數(shù)為k），彈簧一端固定，另一端連接一個(gè)質(zhì)量為m的小球，如圖。開始時(shí)，小球最初靜止于A點(diǎn)，彈簧處于自然狀態(tài)l0?，F(xiàn)有一質(zhì)量為m1的子彈以速度v0射入小球而不復(fù)出。求：此后當(dāng)彈簧的長(zhǎng)度為l時(shí)，小球速度大小和它的方向與彈簧軸線的夾角。（19）解：子彈射入小球過程動(dòng)量守恒，所以有此后角動(dòng)量守恒有機(jī)械能守恒有解得：5、在半徑為R的具有光滑豎直固定中心軸的水平圓盤上，有一人靜止站立在距轉(zhuǎn)軸為R/2處，人的質(zhì)量是圓盤質(zhì)量的1/10．開始時(shí)盤載人對(duì)地以角速度ω0勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，現(xiàn)在此人垂直圓盤半徑相對(duì)于盤以速率v沿與盤轉(zhuǎn)動(dòng)相反方向作圓周運(yùn)動(dòng)，如圖所示．求：（1）圓盤對(duì)地的角速度．（2）欲使圓盤對(duì)地靜止，人應(yīng)沿著R/2圓周對(duì)圓盤的速度的大小及方向？6、一根放在水平光滑桌面上的勻質(zhì)棒，可繞通過其一端的豎直固定光滑軸O轉(zhuǎn)動(dòng)。棒的質(zhì)量為m=1.5kg，長(zhǎng)度為l=1.0m，對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J=ml2/3。初始時(shí)棒靜止。今有一水平運(yùn)動(dòng)的子彈垂直地射入棒的另一端，并留在棒中，如圖所示。子彈的質(zhì)量為m’=0.020kg，速率為v=400m/s。試問：（1）棒開始和子彈一起轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)角速度ω有多大？（2）若棒轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)受到大小為Mr=4.0Nm的恒定阻力矩作用，棒能轉(zhuǎn)過多大角度？（21）7、質(zhì)量為M，長(zhǎng)度為l的均勻細(xì)棒，可繞垂直于棒的一端的水平軸O無摩擦地轉(zhuǎn)動(dòng)，它原來靜止在平衡位置上?，F(xiàn)有一質(zhì)量為m的彈性小球沿水平方向飛來，正好垂直與細(xì)棒的下端相撞。相撞后，使棒從水平位置擺到最大角度θ=30°處。（1）設(shè)碰撞為彈性碰撞