用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

習(xí)題課——用數(shù)學(xué)歸納法

證明不等式和整除性問(wèn)題一.復(fù)習(xí)回顧一般地,當(dāng)要證明一個(gè)命題對(duì)于不小于某正整數(shù)n0的所有正整數(shù)n都成立時(shí),可以用以下兩個(gè)步驟:(1)證明當(dāng)n=n0時(shí)命題成立;(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立,證明n=k+1時(shí)命題也成立.在完成了這兩個(gè)步驟后,就可以斷定命題對(duì)于不小于n0的所有正整數(shù)都成立.這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法.說(shuō)明：用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí),要分兩個(gè)步驟,兩者缺一不可.(1)證明了第一步,就獲得了遞推的基礎(chǔ),但僅靠這一步還不能說(shuō)明結(jié)論的正確性.(2)證明了第二步,就獲得了推理的依據(jù).僅有第二步而沒(méi)有第一步,則失去了遞推的基礎(chǔ);而只有第一步而沒(méi)有第二步,就可能得出不正確的結(jié)論,因?yàn)閱慰康谝徊?我們無(wú)法遞推下去,所以我們無(wú)法判斷命題對(duì)n0+1,n0+2,…,是否正確.在第二步中,n=k命題成立,可以作為條件加以運(yùn)用,而n=k+1時(shí)的情況則有待利用命題的已知條件,公理,定理,定義加以證明.完成一,二步后,最后對(duì)命題做一個(gè)總的結(jié)論.重點(diǎn)：兩個(gè)步驟、一個(gè)結(jié)論；注意：遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉?？煽偨Y(jié)為：題型一：用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式問(wèn)題例1.用數(shù)學(xué)歸納法證明:證:(1)當(dāng)n=2時(shí),左邊=不等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥2)時(shí)不等式成立,即有:

則當(dāng)n=k+1時(shí),即當(dāng)n=k+1時(shí),不等式也成立.由(1)、(2)原不等式對(duì)一切都成立.例2.證明不等式:證:(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=1,右邊=2,不等式顯然成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)不等式成立,即有:則當(dāng)n=k+1時(shí),即當(dāng)n=k+1時(shí),不等式也成立.根據(jù)(1)、(2)可知,原不等式對(duì)一切正整數(shù)都成立.即時(shí)提升證:(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=,右邊=,由于故不等式成立.(2)假設(shè)n=k()時(shí)命題成立,即

則當(dāng)n=k+1時(shí),即當(dāng)n=k+1時(shí),命題成立.由(1)、(2)原不等式對(duì)一切都成立.練習(xí)1.求證:題型二：用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問(wèn)題證明①當(dāng)n＝1時(shí)，f(1)＝(2×1＋7)×3＋9＝36，能被36整除．②假設(shè)n＝k時(shí)，f(k)能被36整除，即(2k＋7)·3k＋9能被36整除，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，f(k＋1)＝[2(k＋1)＋7]·3k＋1＋9＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1)，由歸納假設(shè)3[(2k＋7)·3k＋9]能被36整除，而3k－1－1是偶數(shù)，所以18(3k－1－1)能被36整除，所以f(k＋1)能被36整除．由①②可知，對(duì)任意的n∈N＋，f(n)能被36整除．

應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵是“湊項(xiàng)”，采用增項(xiàng)、減項(xiàng)、拆項(xiàng)和因式分解等方法，也可以說(shuō)將式子“硬提公因式”，即將n＝k時(shí)的項(xiàng)從n＝k＋1時(shí)的項(xiàng)中“硬提出來(lái)”，構(gòu)成n＝k的項(xiàng)，后面的式子相對(duì)變形，使之與n＝k＋1時(shí)的項(xiàng)相同，從而達(dá)到利用假設(shè)的目的．作業(yè)布置2.用數(shù)學(xué)歸納法證明62n－1＋1(n∈N*)能被7整除．【變式2】

用數(shù)學(xué)歸納法證明62n－1＋1(n∈N*)能被7整除． 證明

(1)當(dāng)n＝1時(shí)，62－1＋1＝7能被7整除．

(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*，且k≥1)時(shí)，62k－1＋1能被7整除． 那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，62(k＋1)－1＋1＝62k－1＋2＋1

＝36(62k－1＋1)－35. ∵62k－1＋1能被7整除，35也能被7整除， ∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，62(k＋1)－1＋1能被7整除． 由(1)，(2)知命題成立．練習(xí)3:已知求證：證:(1)當(dāng)n=2時(shí),,

不等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)