第一章 邏輯數(shù)據(jù)基礎(chǔ)

第一章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)數(shù)制與編碼二進(jìn)制數(shù)的運(yùn)算3邏輯代數(shù)的概念、公式、定理及規(guī)則4邏輯函數(shù)的表示方法及其相互轉(zhuǎn)換5邏輯函數(shù)的公式法化簡(jiǎn)與卡諾圖化簡(jiǎn)1數(shù)制與編碼1.1數(shù)制1.2數(shù)制轉(zhuǎn)換1.3編碼1.1.1概念(1)進(jìn)位制的含義：

在表示數(shù)時(shí)，僅用一位數(shù)碼往往不夠用，必須用進(jìn)位計(jì)數(shù)的方法組成多位數(shù)碼。多位數(shù)碼每一位的構(gòu)成以及從低位到高位的進(jìn)位規(guī)則稱為進(jìn)位計(jì)數(shù)制，簡(jiǎn)稱進(jìn)位制。(2)基數(shù)進(jìn)位制中多位數(shù)碼每一位的構(gòu)成數(shù)字的個(gè)數(shù)。(3)

位權(quán)進(jìn)位制中從低位到高位的進(jìn)位規(guī)則，即在某一進(jìn)位制的數(shù)中，每一位的大小都對(duì)應(yīng)著該位上的數(shù)碼乘上一個(gè)固定的數(shù)，這個(gè)固定的數(shù)就是這一位的權(quán)數(shù)。1.1數(shù)制1.1.2十進(jìn)制數(shù)碼為：0～9；基數(shù)是10。運(yùn)算規(guī)律：逢十進(jìn)一，即：9＋1＝10。十進(jìn)制數(shù)的權(quán)展開式：4５6.74×１０2＝4００５×１０1＝５０6×１０0＝6

7×１０-1＝０.

7

＝4

５6.7102、101、100、10-1稱為十進(jìn)制的權(quán)。各數(shù)位的權(quán)是10的冪。同樣的數(shù)碼在不同的數(shù)位上代表的數(shù)值不同。＋任意一個(gè)十進(jìn)制數(shù)都可以表示為各個(gè)數(shù)位上的數(shù)碼與其對(duì)應(yīng)的權(quán)的乘積之和，稱權(quán)展開式。又如：(209.04)D＝2×102

＋0×101＋9×100＋0×10－1＋4×10－2◆一般表達(dá)式位權(quán)系數(shù)

在數(shù)字電路中，計(jì)數(shù)的基本思想是要把電路的狀態(tài)與數(shù)碼一一對(duì)應(yīng)起來。顯然，采用十進(jìn)制是十分不方便的。它需要十種電路狀態(tài)，要想嚴(yán)格區(qū)分這十種狀態(tài)是很困難的。1.1.3二進(jìn)制數(shù)碼為：0、1；基數(shù)是2。運(yùn)算規(guī)律：逢二進(jìn)一，即：1＋1＝10。二進(jìn)制數(shù)的權(quán)展開式：例如(101.01)B＝1×22

＋0×21＋1×20＋0×2－1＋1×2－2

＝(5.25)D各數(shù)位的權(quán)是２的冪加法規(guī)則：0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=10乘法規(guī)則：00=0，01=0，10=0，11=1運(yùn)算規(guī)則1、易于電路實(shí)現(xiàn)---每一位數(shù)只有兩個(gè)值，可以用管子的導(dǎo)通或截止，燈泡的亮或滅、繼電器觸點(diǎn)的閉合或斷開來表示。

2、基本運(yùn)算規(guī)則簡(jiǎn)單二進(jìn)制的優(yōu)點(diǎn)：二進(jìn)制的缺點(diǎn)：

位數(shù)太多，不符合人的習(xí)慣，不能在頭腦中立即反映出數(shù)值的大小，一般要將其轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制后，才能反映?！粢话惚磉_(dá)式1.1.4八進(jìn)制數(shù)碼為：0～7；基數(shù)是8。運(yùn)算規(guī)律：逢八進(jìn)一，即：7＋1＝10。八進(jìn)制數(shù)的權(quán)展開式：例如(27.04)O＝2×81

＋7×80＋0×8－1＋4×8－2=(23.0625)D各數(shù)位的權(quán)是8的冪◆一般表達(dá)式1.1.5十六進(jìn)制數(shù)碼為：0-9，A(10),B(11),C(12),D(13),E(14),F(15)

；基數(shù)是16。運(yùn)算規(guī)律：逢十六進(jìn)一，即：F＋1＝10。十六進(jìn)制數(shù)的權(quán)展開式：例如(D8.A)H＝13×161

＋8×160＋10×16－1＝(216.625)D各數(shù)位的權(quán)是16的冪◆一般表達(dá)式

十六進(jìn)制在數(shù)字電路中，尤其在計(jì)算機(jī)中得到廣泛的應(yīng)用，因?yàn)椋?/p>

1、與二進(jìn)制之間的轉(zhuǎn)換容易；

2、計(jì)數(shù)容量較其它進(jìn)制都大。假如同樣采用四位數(shù)碼，二進(jìn)制最多可計(jì)至1111B=15D；八進(jìn)制可計(jì)至7777O=14095D；十進(jìn)制可計(jì)至9999D；十六進(jìn)制可計(jì)至FFFFH=65535D，即64K。其容量最大。

3、計(jì)算機(jī)系統(tǒng)中，大量的寄存器、計(jì)數(shù)器等往往按四位一組排列。故使十六進(jìn)制的使用獨(dú)具優(yōu)越性。十六進(jìn)制的優(yōu)點(diǎn)：1.2數(shù)制轉(zhuǎn)換1.2.1各種數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制

二進(jìn)制、八進(jìn)制、十六進(jìn)制轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制只需要按權(quán)值展開，求出各加權(quán)系數(shù)的和，就可以轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制。

例如：

(172.01)O=(1×82＋7×81＋2×80＋0×8－1＋1×8－2)D=(122.015625)D(4C2)H＝(4×162＋12×161＋2×160)D=(1218)D1.2.2十進(jìn)制轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制

方法：將整數(shù)部分和小數(shù)部分分別進(jìn)行轉(zhuǎn)換。整數(shù)部分采用除2取余法，小數(shù)部分采用乘2取整法。轉(zhuǎn)換后再合并。舉例：(44.375)D＝(？)B(1)整數(shù)部分采用除2取余法，先得到的余數(shù)為低位，后得到的余數(shù)為高位。所以：(44)D＝(101100)B(2)小數(shù)部分采用乘2取整法，先得到的整數(shù)為高位，后得到的整數(shù)為低位。所以：(0.375)D＝(0.011)B(3)綜合所得：(44.375)D＝(101100.011)B例如:(63)D=(?)B故(63)D=(111111)B

若十進(jìn)制數(shù)較大時(shí)，不必逐位去除2，可算出2的冪與十進(jìn)制對(duì)比，如：

（261)D=(?)B∵28=256，261–256=5，(5)D=(101)B,∴(261)D=(100000101)B6321131531711112222余數(shù)201課堂練習(xí)請(qǐng)將(10.706)D轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)，要求其誤差不大于2-10。

解答：若要求誤差不大于2-10則要求轉(zhuǎn)換后的小數(shù)點(diǎn)后10位都是精確數(shù)字，因?yàn)槲覀兛梢宰C明在滿足此條件后的最大誤差為：

2-11+2-12+2-13+….=2-10(2-1+2-2+2-3+…)≤2-10×2-1/(1-2-1)=2-10

因此我們只要轉(zhuǎn)換到第10位即可。答案：1010.1011010010思考問題:如何保證其誤差不大于2-10？1.2.3二進(jìn)制與八進(jìn)制的相互轉(zhuǎn)換(1)二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為八進(jìn)制數(shù)：將二進(jìn)制數(shù)由小數(shù)點(diǎn)開始，整數(shù)部分向左，小數(shù)部分向右，每3位分成一組，不夠3位補(bǔ)零，則每組二進(jìn)制數(shù)便是一位八進(jìn)制數(shù)。(2)八進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)：將每位八進(jìn)制數(shù)用3位二進(jìn)制數(shù)表示。1101010.01000＝(152.2)O=

011111100.010110(374.26)O1.2.4二進(jìn)制與十六進(jìn)制的相互轉(zhuǎn)換(1)二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制數(shù)：將二進(jìn)制數(shù)由小數(shù)點(diǎn)開始，整數(shù)部分向左，小數(shù)部分向右，每4位分成一組，不夠4位補(bǔ)零，則每組二進(jìn)制數(shù)便是一位十六進(jìn)制數(shù)。(2)十六進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制數(shù)：將每位十六進(jìn)制數(shù)用4位二進(jìn)制數(shù)表示。1101010.01000＝(6A.4)H(AF4.76)H=101011110100.011101101.3二進(jìn)制數(shù)的運(yùn)算一、真值與機(jī)器數(shù)

真值：直接用正號(hào)“+”和負(fù)號(hào)“-”表示帶符號(hào)的二進(jìn)制數(shù)，叫做符號(hào)數(shù)的真值。

（原始形式，機(jī)器不能識(shí)別）

機(jī)器數(shù)：符號(hào)數(shù)值化后的二進(jìn)制數(shù)。0表示正數(shù)，1表示負(fù)數(shù)。（數(shù)字系統(tǒng)中所有的算術(shù)都用機(jī)器數(shù)進(jìn)行）二、機(jī)器數(shù)的三種形式：原碼、反碼、補(bǔ)碼算術(shù)運(yùn)算：二進(jìn)制數(shù)的0/1可以表示數(shù)量，進(jìn)行 加，減，乘，除…等運(yùn)算加法規(guī)則：0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=10減法規(guī)則：0-0=0，1-0=1，1-1=0，

0-1=-1運(yùn)算規(guī)則2.反碼：首位為符號(hào)位，對(duì)于正數(shù)，符號(hào)位為0數(shù)值位不變；對(duì)于負(fù)數(shù)，符號(hào)位為1，數(shù)值位求反。N1=+1001[N2]反=10110[N1]反=01001N2=-10013.補(bǔ)碼：首位為符號(hào)位，對(duì)于正數(shù)，符號(hào)位為0數(shù)值位不變；對(duì)于負(fù)數(shù)，符號(hào)位為1，數(shù)值位求反后加1。N1=+1001[N2]補(bǔ)=10111N2=-1001[N1]補(bǔ)=01001[N1]原=01001

N1=+1001

[N2]原=11001N2=-10011.原碼：將真值的符號(hào)數(shù)值化，數(shù)值位保持不變所構(gòu)成的數(shù)碼已知[N]補(bǔ)=10110，求[N]原，[N]反和NN=-1010[N]原=11010[N]反=10101三、機(jī)器數(shù)的加、減運(yùn)算補(bǔ)碼運(yùn)算：符號(hào)位參加運(yùn)算，如果符號(hào)位產(chǎn)生進(jìn)位，丟棄。補(bǔ)碼運(yùn)算規(guī)則：

[N1+N2]補(bǔ)=[N1]補(bǔ)+[N2]補(bǔ)

[N1-N2]補(bǔ)=[N1]補(bǔ)+[-N2]補(bǔ)[N1]補(bǔ)=10100[N2]補(bǔ)=11101[-N2]補(bǔ)=0001110100

+1110110001∴

[N1+N2]補(bǔ)=1000110100

+0001110111∴[N1-N2]補(bǔ)=101111n1+n2=-1111(-15)n1-n2=-1001(-9)例如：n1=-12，n2=-3，利用二進(jìn)制補(bǔ)碼計(jì)算n1+n2，n1-n2解：N1=-1100N2=-0011先求[N1+N2]補(bǔ)和[N1-N2]補(bǔ)補(bǔ)碼運(yùn)算的溢出及判別：

（1）12+3=+15

01100

+00011

01111

0

（2）12+5=17

01100

+00101

10001

（3）-12-3=-15

10100

+11101

10001

10

（4）-12-5=-17

10100

+11011

01111

1+15-15-15+15溢出當(dāng)符號(hào)位和進(jìn)位符號(hào)不同時(shí)，則出現(xiàn)溢出解決方法：增加位數(shù)即可001100+000101

010001+171.4編碼(1)代碼：數(shù)字不僅可以表示數(shù)量的大小，而且還能表示不同的事物。當(dāng)這些數(shù)碼不再表示數(shù)量的大小的差別，只是事務(wù)的代號(hào)時(shí)，我們稱這些數(shù)碼為代碼。

(2)碼制：為了便于記憶和查找，編制代碼時(shí)總要遵循一定的規(guī)律，這些規(guī)則叫做碼制。

(3)編碼：建立二進(jìn)制代碼與十進(jìn)制數(shù)值、字母、符號(hào)等的一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系稱為編碼。

需要編碼的信息為N項(xiàng)，則需要二進(jìn)制數(shù)碼的位數(shù)n應(yīng)滿足：

數(shù)字系統(tǒng)中的信息分兩類：數(shù)值碼代碼(研究數(shù)值表示的方法)1.4.1概念

用二進(jìn)制數(shù)碼對(duì)事物進(jìn)行表示，稱為二進(jìn)制代碼。

◆常見的代碼有：

也稱自然權(quán)碼，其排列簡(jiǎn)單，完全符合二～十進(jìn)制數(shù)之間的轉(zhuǎn)換規(guī)律。當(dāng)用四位二進(jìn)制碼時(shí)，有0000～1111十六種組合，分別代表0～15的十進(jìn)制數(shù)。當(dāng)用五位二進(jìn)制碼時(shí)，有00000～11111三十二種組合，分別代表0～31的十進(jìn)制數(shù)。（1）自然二進(jìn)制碼例如：7011119100112010100（2）BCD碼BCD碼又稱二～十進(jìn)制碼，通常用四位二進(jìn)制碼表示一位十進(jìn)制數(shù)，只取十個(gè)狀態(tài)，而且每四個(gè)二進(jìn)制碼之間是“逢十進(jìn)一”。

有多種可能，故而便產(chǎn)生了多種BCD碼，其中使用最多的是8421BCD碼(簡(jiǎn)稱8421碼)。

四位二進(jìn)制碼可產(chǎn)生16個(gè)數(shù)0000～1111，而表示十進(jìn)制數(shù)只需要十個(gè)代碼，其余六個(gè)成為多余。選擇哪十個(gè)，丟棄哪六個(gè)？8421碼是按順序取四位二進(jìn)制碼中的前十種狀態(tài)，即0000～1001，代表十進(jìn)制的0～9，而1010～1111棄之不用。例如：7011119000110012000100000

除此之外，還可取四位二進(jìn)制碼的前五種和后五種狀態(tài)，代表十進(jìn)制的0～9，中間六個(gè)狀態(tài)不用，這就構(gòu)成了2421碼，它也是一種有權(quán)碼，其權(quán)依次為2、4、2、1。例如：0011=0+0+2+1=31110=2+4+2+0=88421碼是一種有權(quán)碼，從高位到低位的權(quán)依次為8、4、2、1，按權(quán)相加，即可得到所代表的十進(jìn)制數(shù)，如：例如：1001＝8+0+0+1=90110＝0+4+2+0=6

另外還有5421碼和余3碼等（余3碼為無權(quán)碼，它是8421碼加0011得來的）。b3b2b1b023222120代碼對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)自然二進(jìn)制碼二～十進(jìn)制數(shù)8421碼2421碼余3碼00000001001000110100010101100111100010011010101111001101111011110123456789101112131415012345678901234567890123456789表1.4.1幾種常見的碼（P26）（3）格雷碼

格雷碼是一種無權(quán)碼，其編碼如表所示。二進(jìn)制碼b3b2b1b0格雷碼G3G2G1G000000001001000110100010101100111100010011010101111001101111011110000000100110010011001110101010011001101111111101010101110011000

編碼特點(diǎn)是：任何兩個(gè)相鄰代碼之間僅有一位不同。

該特點(diǎn)是其它所有碼不具備的,常用于模擬量的轉(zhuǎn)換。當(dāng)模擬量發(fā)生微小變化，而可能引起數(shù)字量發(fā)生變化時(shí)，格雷碼僅僅改變一位，這與其它碼同時(shí)改變2位或更多的情況相比，更加可靠。例如，8421碼中的0111和1000是相鄰碼，當(dāng)7變到8時(shí)，四位均變了。若采用格雷碼，0100和1100是相鄰碼，僅最高一位變了。補(bǔ)充：如何用自然二進(jìn)制碼轉(zhuǎn)換為格雷碼某二進(jìn)制數(shù)為：其對(duì)應(yīng)的格雷碼為：其中：最高位保留——其他各位——i=0，1，2，…，n-2例：二進(jìn)制數(shù)為

10110格雷碼為異或運(yùn)算：相同為0相異為111101

（4）ASCII碼ASCII碼是美國(guó)標(biāo)準(zhǔn)信息交換碼，它是用七位二進(jìn)制碼表示。它共有128個(gè)代碼，可以表示大、小寫英文字母、十進(jìn)制數(shù)、標(biāo)點(diǎn)符號(hào)、運(yùn)算符號(hào)、控制符號(hào)等，普遍用于計(jì)算機(jī)、鍵盤輸入指令和數(shù)據(jù)等。請(qǐng)分別用自然二進(jìn)制碼，8421BCD碼、余3碼、格雷碼表示（138）D（1100110）B課后作業(yè)P37

1.2.2(3)1.2.3(2)1.2.5(2)

1.3.3(3)1.4.1(3)1.4.2(4)

1.機(jī)器數(shù)及其運(yùn)算：原碼、反碼、補(bǔ)碼補(bǔ)碼的運(yùn)算：復(fù)習(xí)

[N1+N2]補(bǔ)=[N1]補(bǔ)+[N2]補(bǔ)

[N1-N2]補(bǔ)=[N1]補(bǔ)+[-N2]補(bǔ)當(dāng)符號(hào)位和進(jìn)位符號(hào)不同時(shí)，則出現(xiàn)溢出2.代碼（1）自然二進(jìn)制碼（2）BCD碼:8421碼，2421碼，余3碼（3）格雷碼請(qǐng)分別用自然二進(jìn)制碼，8421BCD碼、余3碼、格雷碼表示（138）D（1100110）B(138)D=(128+10)D=(10001010)B=(000100111000)8421BCD=(010001101011)余3碼(10001010)B=(11001111)GRAY(1100110)B=(102)D=(000100000010)8421BCD=(010000110101)余3碼(1100110)B=(1010101)GRAY約定：格雷碼由自然二進(jìn)制碼轉(zhuǎn)換；

BCD碼由十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換。2邏輯代數(shù)的概念、公式、定理及規(guī)則

2.1邏輯代數(shù)的基本概念2.2邏輯代數(shù)的基本公式、定理和規(guī)則

邏輯代數(shù)——

研究邏輯電路的數(shù)學(xué)工具。

由英國(guó)數(shù)學(xué)家George·Boole提出的，所以又稱布爾代數(shù)。

邏輯，指的是條件和結(jié)果的關(guān)系，電路的輸入信號(hào)即條件，輸出信號(hào)即結(jié)果。

條件滿足和結(jié)果發(fā)生用“1”表示，反之用“0”表示。此時(shí)的“1”和“0”，只表示兩個(gè)對(duì)立的邏輯狀態(tài)，而不表示數(shù)值的大小。2.1.1概念(1)邏輯代數(shù)可以表示為：(2)邏輯常量與邏輯變量邏輯變量的取值只有兩種，即邏輯0和邏輯1，0和1稱為邏輯常量，并不表示數(shù)量的大小，無大小、正負(fù)之分，而是表示兩種對(duì)立的邏輯狀態(tài)。2.1邏輯代數(shù)的基本概念L={A；0，1；與，或，非}邏輯變量邏輯常量邏輯基本運(yùn)算0矛盾的否定面、反面

1矛盾的肯定面、正面

“與運(yùn)算”、“或運(yùn)算”、“非運(yùn)算”1.真值表---描述邏輯關(guān)系的表格

2.邏輯表達(dá)式---輸入信號(hào)為自變量，輸出為函數(shù)的數(shù)學(xué)表達(dá)方式

3.邏輯符號(hào)---在畫電路時(shí)使用的符號(hào)這三種基本的邏輯運(yùn)算可用“真值表”、“邏輯表達(dá)式”和“邏輯符號(hào)”來描述2.1.2邏輯基本運(yùn)算－用開關(guān)串聯(lián)電路實(shí)現(xiàn)圖1.5.1與邏輯運(yùn)算開關(guān)A、B控制燈泡L，只有當(dāng)A和B同時(shí)閉合時(shí)，燈泡才能點(diǎn)亮1.與運(yùn)算AB

燈不通不通通通不通通不通通不亮不亮不亮亮ABL&ABL=A·BABL000ABL001101010001=A·B定義：某事件有若干個(gè)條件，只有當(dāng)所有條件全部滿足時(shí)，這件事才發(fā)生。

－用開關(guān)并聯(lián)電路實(shí)現(xiàn)只要開關(guān)A和B中有一個(gè)閉合，或兩個(gè)都閉合，燈泡就會(huì)亮。圖1.5.2或邏輯運(yùn)算定義：某事件有若干個(gè)條件，只要其中一個(gè)或一個(gè)以上的條件得到滿足，這件事就發(fā)生。

2.或運(yùn)算圖1.5.3非邏輯運(yùn)算

下圖表示一個(gè)簡(jiǎn)單的非邏輯電路，當(dāng)開關(guān)閉合，燈泡熄滅；開關(guān)斷開，燈泡點(diǎn)亮。定義：一某事件的產(chǎn)生取決于條件的否定，這種關(guān)系稱為非邏輯。

圖1.5.3非邏輯運(yùn)算3.非運(yùn)算圖1.5.4非邏輯門電路的符號(hào)非運(yùn)算的其它邏輯符號(hào)：2.1.3常用邏輯運(yùn)算由邏輯基本運(yùn)算構(gòu)成的其他邏輯運(yùn)算。(1)與非運(yùn)算：邏輯表達(dá)式為：(2)或非運(yùn)算：邏輯表達(dá)式為：(3)異或運(yùn)算：邏輯表達(dá)式為：(4)同或運(yùn)算：邏輯表達(dá)式為：(5)與或非運(yùn)算：邏輯表達(dá)式為：2.2邏輯代數(shù)的基本公式、定理和規(guī)則2.2.1邏輯代數(shù)的公式、定理(1)常量之間的關(guān)系(2)基本公式分別令A(yù)=0及A=1代入這些公式，即可證明它們的正確性。(3)基本定理如何證明?舉例：證明等式由于該等式兩邊的真值表完全相同，所以等式成立。證明等式成立也可以利用其它的定理來證明課堂練習(xí)證明序號(hào)公式序號(hào)公式基本公式0+A=A0*A=0吸收律A+AB=A1+A=11*A=AA(A+B)=AA+A=AA*A=AA+AB=A+BA+A=1A*A=0(A+B)(A+C)=A+BC分配律A+B=B+AAB=BA冗余律AB+AC+BC=AB+AC結(jié)合律A+(B+C)=(A+B)+CA(BC)=(AB)CAB+AC+BCD=AB+AC分配律A(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)(A+C)反演律AB=A+BA+B=AB邏輯代數(shù)定律和恒等式(1)代入規(guī)則任何一個(gè)含有變量A的等式，如果將所有出現(xiàn)A的位置都用同一個(gè)邏輯式代替，則等式仍然成立。這個(gè)規(guī)則稱為代入規(guī)則。舉例1：

A+BC

=(A+B)(A+C)

A+B(CD)=(A+B)(A+CD)

2.2.2邏輯代數(shù)的基本規(guī)則舉例2：由代入規(guī)則可證明，摩根定理可以擴(kuò)展到多變量的情況。(2)反演規(guī)則注意：

(1)應(yīng)保留原來的運(yùn)算優(yōu)先級(jí)；

(2)除反變量的非號(hào)發(fā)生變化外，其余的非號(hào)保持不變。對(duì)于任何一個(gè)邏輯表達(dá)式Y(jié)，如果將表達(dá)式中的所有“·”換成“＋”，“＋”換成“·”，“0”換成“1”，“1”換成“0”，原變量換成反變量，反變量換成原變量，那么所得到的表達(dá)式就是函數(shù)Y的反函數(shù)Y（或稱補(bǔ)函數(shù)）。這個(gè)規(guī)則稱為反演規(guī)則。(3)對(duì)偶規(guī)則對(duì)于任何一個(gè)邏輯表達(dá)式Y(jié)，如果將表達(dá)式中的所有“·”換成“＋”，“＋”換成“·”，“0”換成“1”，“1”換成“0”，那么所得到的表達(dá)式就是函數(shù)Y的對(duì)偶式，記為Y′。這個(gè)規(guī)則稱為對(duì)偶規(guī)則。注意：

(1)對(duì)偶規(guī)則告訴我們?nèi)绻粋€(gè)式子成立，其對(duì)偶式也成立；

(2)對(duì)偶規(guī)則與反演規(guī)則的區(qū)別在于原變量與反變量不發(fā)生變化。我們也不能改變其本身的優(yōu)先級(jí)。課堂練習(xí)求的反函數(shù)和對(duì)偶式。

答案：除了變量正好互補(bǔ)外，表達(dá)式的結(jié)構(gòu)完全相同。課后作業(yè)P642.1.1(1)2.1.3(3)

3邏輯函數(shù)的表示方法及其相互轉(zhuǎn)換3.1邏輯函數(shù)的概念3.2邏輯函數(shù)與邏輯問題的描述3.3邏輯函數(shù)表示方法及相互轉(zhuǎn)換3.1邏輯函數(shù)的概念邏輯函數(shù)：如果對(duì)應(yīng)于輸入邏輯變量A、B、C、…的每一組確定值，輸出邏輯變量Y就有唯一確定的值，則稱Y是A、B、C、…的邏輯函數(shù)。記為：在邏輯表達(dá)式中，等式右邊的字母A、B、C、D等稱為輸入邏輯變量，等式左邊的字母Y稱為輸出邏輯變量，字母上面沒有非運(yùn)算符的叫做原變量，有非運(yùn)算符的叫做反變量。3.2.2舉例如何運(yùn)用邏輯函數(shù)來描述邏輯問題運(yùn)用邏輯變量表示不同的事件，規(guī)定0，1代表該事件的兩種相反狀態(tài)。列舉真值表。把邏輯函數(shù)值為1對(duì)應(yīng)的各變量的與組合相加，便得到標(biāo)準(zhǔn)的與-或邏輯式。3.2邏輯函數(shù)與邏輯問題的描述3.2.1概念

邏輯問題：運(yùn)用邏輯變量構(gòu)成的邏輯函數(shù)來描述實(shí)際的工程問題，稱為邏輯問題。舉例

圖1.6.1是一個(gè)控制樓梯照明燈的電路。為了省電，人在樓下開燈，上樓后可關(guān)燈；反之亦然。A、B是兩個(gè)單刀雙擲開關(guān)，A裝在樓上，B裝在樓下。只有當(dāng)兩個(gè)開關(guān)同時(shí)向上或向下時(shí)，燈才被點(diǎn)亮。試用一個(gè)邏輯函數(shù)來描述開關(guān)A、B與照明燈之間的關(guān)系。

(1)設(shè)開關(guān)A、B為輸入變量：開關(guān)接上面為“1”，開關(guān)接下面為“0”設(shè)電燈L為輸出變量，燈亮L=1，燈滅L=0。(2)列出A、B所有狀態(tài)及對(duì)應(yīng)輸出L的狀態(tài)，獲得真值表。(3)根據(jù)真值表，寫出邏輯表達(dá)式：ABL001

010101101解：

把對(duì)應(yīng)函數(shù)值為“1”的變量組合挑出（即第1、4）組合，寫成一個(gè)乘積項(xiàng)；凡取值為“1”的寫成原變量A，取值為“0”的寫成反變量A；最后，將上述乘積項(xiàng)相加，即為所求函數(shù)：

該式表明：A、B兩變量取值相同的所有組合，使函數(shù)為“1”，也就是說，當(dāng)開關(guān)A、B都向上或都向下時(shí)，燈亮，否則不亮。該函數(shù)還稱為同或函數(shù)。其邏輯符號(hào)為：ABL2.邏輯代數(shù)的基本定理復(fù)習(xí)

“與運(yùn)算”、“或運(yùn)算”、“非運(yùn)算”1.邏輯基本運(yùn)算3.邏輯代數(shù)的3大規(guī)則：代入規(guī)則反演規(guī)則對(duì)偶規(guī)則4.邏輯問題的邏輯函數(shù)的描述：運(yùn)用邏輯變量表示不同的事件，規(guī)定0，1代表該事件的兩種相反狀態(tài)。列舉真值表。把邏輯函數(shù)值為1對(duì)應(yīng)的各變量的與組合相加，便得到標(biāo)準(zhǔn)的與-或邏輯式。(1)真值表這種把所有可能的條件組合及其對(duì)應(yīng)結(jié)果一一列出來的表格叫做真值表。輸入變量ABC….輸出Y1Y2….遍歷所有可能的輸入變量的取值組合輸出對(duì)應(yīng)的取值(2)邏輯表達(dá)式將輸入/輸出之間的邏輯關(guān)系用與/或/非的運(yùn)算式表示就得到邏輯式。3.3.1邏輯函數(shù)的表示方法(1)真值表(2)邏輯式(3)邏輯圖(4)波形圖(5)卡諾圖3.3邏輯函數(shù)表示方法及相互轉(zhuǎn)換(4)波形圖將輸入變量所有取值可能與對(duì)應(yīng)輸出按時(shí)間順序排列起來畫成時(shí)間波形。(3)邏輯圖用邏輯圖形符號(hào)表示邏輯運(yùn)算關(guān)系，與邏輯電路的實(shí)現(xiàn)相對(duì)應(yīng)。3.3.2真值表與邏輯函數(shù)表達(dá)式的相互轉(zhuǎn)換真值表邏輯式：把輸入變量取值的所有組合逐個(gè)邏輯式中求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，列表后即可得真值表真值表邏輯式：(1)找出真值表中使函數(shù)值等于1的輸入變量取值組合；(2)每組輸入變量取值對(duì)應(yīng)一個(gè)乘積項(xiàng)，其中取值為1的寫原變量，取值為0的寫反變量；(3)將乘積項(xiàng)相加即得邏輯式。邏輯式邏輯圖：用圖形符號(hào)代替邏輯式中的邏輯運(yùn)算符，即可得邏輯圖。11&&≥1ABL舉例：畫出邏輯函數(shù)對(duì)應(yīng)的邏輯圖。

邏輯式邏輯圖(1)用邏輯運(yùn)算符號(hào)代替邏輯圖中的圖形符號(hào)；(2)從輸入到輸出逐級(jí)寫出每個(gè)圖形符號(hào)對(duì)應(yīng)的邏輯函數(shù)表達(dá)式。

課堂練習(xí)將下列邏輯函數(shù)式分別用真值表、邏輯圖表示

答：（1）將A、B、C的各種取值組合對(duì)應(yīng)的函數(shù)值全部填在對(duì)應(yīng)的表格中即得到真值表00000000010011010010101100111001001101100111001011110000（2）邏輯圖即用邏輯符號(hào)代替邏輯運(yùn)算符后，所得到的電路圖11&&≥1ABLC1&課后作業(yè)P652.1.8

4邏輯函數(shù)的公式法化簡(jiǎn)與卡諾圖化簡(jiǎn)4.1邏輯函數(shù)的公式法化簡(jiǎn)4.2邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)4.3含有無關(guān)項(xiàng)的卡諾圖化簡(jiǎn)4.1邏輯函數(shù)的公式法化簡(jiǎn)4.1.1邏輯函數(shù)的多種表現(xiàn)形式說明同一個(gè)邏輯函數(shù)表達(dá)式存在多個(gè)的邏輯圖。即實(shí)現(xiàn)方式為多種多樣的?！芭c或”

“或與”

“與非—與非”

“或非—或非”

“與或非”

4.1.2最簡(jiǎn)與或表達(dá)式采用最簡(jiǎn)與或表達(dá)式的原因：第一：可以由真值表直接寫出；第二：轉(zhuǎn)換為邏輯圖時(shí)，我們較常用與非門，而與或表達(dá)式轉(zhuǎn)換為與非門只需要一步即可，也就是運(yùn)用反演律進(jìn)行變換。(2)最簡(jiǎn)與或邏輯表達(dá)式的特點(diǎn)：第一：包括的與項(xiàng)(乘積項(xiàng))的個(gè)數(shù)最少；第二：每個(gè)乘積項(xiàng)中變量的個(gè)數(shù)最少。

注意：在沒有特別注明化簡(jiǎn)成什么形式的時(shí)候，我們通常將邏輯函數(shù)表達(dá)式化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)與或表達(dá)式。4.1.3邏輯函數(shù)的公式法化簡(jiǎn)方法：反復(fù)應(yīng)用基本公式和定理，消去多余的乘積項(xiàng)和多余的因子?；?jiǎn)后電路簡(jiǎn)單、可靠性高例1：請(qǐng)將Y化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)與或表達(dá)式課堂練習(xí)化簡(jiǎn)解答：課后作業(yè)P642.1.4(4)(6)(8)代數(shù)法化簡(jiǎn)在使用中遇到的困難1.邏輯代數(shù)與普通代數(shù)的公式易混淆，化簡(jiǎn)過程要求對(duì)所有公式熟練掌握；2.代數(shù)法化簡(jiǎn)無一套完善的方法可循，它依賴于人的經(jīng)驗(yàn)和靈活性；3.用這種化簡(jiǎn)方法技巧強(qiáng)，較難掌握。特別是對(duì)代數(shù)化簡(jiǎn)后得到的邏輯表達(dá)式是否是最簡(jiǎn)式判斷有一定困難。所以，介紹另一種方法---卡諾圖化簡(jiǎn)法。4.2邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)4.2.1最小項(xiàng)的定義及性質(zhì)最小項(xiàng)：如果一個(gè)函數(shù)的某個(gè)乘積項(xiàng)包含了函數(shù)的全部變量，其中每個(gè)變量都以原變量或反變量的形式出現(xiàn)，且僅出現(xiàn)一次，則這個(gè)乘積項(xiàng)稱為該函數(shù)的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)積項(xiàng)，通常稱為最小項(xiàng)。舉例：兩變量A，B的最小項(xiàng)：三個(gè)變量A，B，C他的最小項(xiàng)有哪些？最小項(xiàng)中只能是每個(gè)變量單個(gè)的以原變量或反變量的形式進(jìn)行與運(yùn)算三個(gè)變量的所有最小項(xiàng)的真值表

m0m1m2m3m4m5m6m7最小項(xiàng)的表示：通常用mi表示最小項(xiàng)，m表示最小項(xiàng),下標(biāo)i為最小項(xiàng)編號(hào)。

0001000000000101000000010001000001000000100001100010000101000001001100000001011100000001舉例：一個(gè)四變量的邏輯函數(shù)，變量分別為：A，B，C，D它對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)為m10，請(qǐng)寫出最小項(xiàng)表達(dá)式。解答：10對(duì)應(yīng)的二進(jìn)制數(shù)為1010，所以對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)表達(dá)式為：ABC0001000000000101000000010001000000110001000010000001000101000001001100000001011100000001

對(duì)于任意一個(gè)最小項(xiàng)，只有一組變量取值使得它的值為1；不同的最小項(xiàng)，使它的值為1的那一組變量取值也不同；對(duì)于變量的任一組取值，任意兩個(gè)最小項(xiàng)的乘積為0；對(duì)于變量的任一組取值，全體最小項(xiàng)之和為1。(2)最小項(xiàng)的性質(zhì)若兩個(gè)的最小項(xiàng)只有一個(gè)因子不同，它們的和可以合并，消去一對(duì)因子，留下公共因子。例如：邏輯相臨4.2.2邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式：把邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)成最小項(xiàng)之和的形式。方法：利用來補(bǔ)充不存在的變量，將所有的乘積項(xiàng)都轉(zhuǎn)換為最小項(xiàng)的形式。舉例：4.2.3邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡(jiǎn)(1)卡諾圖的實(shí)質(zhì)與特點(diǎn)實(shí)質(zhì)：將邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)之和的以圖形的方式表示出來以2n個(gè)小方塊分別代表n變量的所有最小項(xiàng)，并將它們排列成矩陣，而且使幾何位置相鄰的兩個(gè)最小項(xiàng)在邏輯上也是相鄰的（只有一個(gè)變量不同），就得到表示n變量全部最小項(xiàng)的卡諾圖。將邏輯函數(shù)用卡諾圖表示的目的，即幾何位置的相鄰也是邏輯的相鄰的目的在于可以方便的利用公式合并。利用卡諾圖我們可以遵循一定的規(guī)律獲得最簡(jiǎn)與或表達(dá)式?？ㄖZ圖化簡(jiǎn)是最常用邏輯函數(shù)表達(dá)式化簡(jiǎn)方法之一2變量卡諾圖(2)最小項(xiàng)與卡諾圖的對(duì)應(yīng)關(guān)系3變量卡諾圖4變量卡諾圖這樣排列就可以使位置相鄰的邏輯也相鄰每一小方格代表一個(gè)最小項(xiàng)如果通過最小項(xiàng)編號(hào)記憶卡諾圖，需要注意此順序?yàn)楦呶辉谇暗臀辉诤蟮臈l件下的順序。(3)邏輯函數(shù)的卡諾圖表示方法將函數(shù)表示為最小項(xiàng)之和的形式在卡諾圖上與這些最小項(xiàng)對(duì)應(yīng)的位置上添入1，其余地方添0。舉例：用卡諾圖表示邏輯函數(shù)解：對(duì)應(yīng)最小項(xiàng)編號(hào)為1，4，6，8，9，10，11，15的方格中填1；其余的方格中填0。課堂練習(xí)解答：舉例：用卡諾圖表示邏輯函數(shù)111000002.邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)：公式法卡諾圖法復(fù)習(xí)真值表邏輯式邏輯圖波形圖卡諾圖1.邏輯函數(shù)的表示方法及相互轉(zhuǎn)換卡諾圖化簡(jiǎn)方法(最簡(jiǎn)與或式)將邏輯函數(shù)轉(zhuǎn)換為最小項(xiàng)形式，用卡諾圖表示運(yùn)用畫圈原則，將所有的1用圈包圍根據(jù)合并最小項(xiàng)的特點(diǎn)，寫出乘積項(xiàng)：乘積項(xiàng)可根據(jù)圈中對(duì)應(yīng)的相同因子直接寫出。將乘積項(xiàng)相加，得到化簡(jiǎn)結(jié)果4.一個(gè)包圍圈的方格數(shù)要盡可能多,包圍圈的數(shù)目要可能少。3.同一方格可以被不同的包圍圈重復(fù)包圍多次，但新增的包圍圈中一定要有原有包圍圈未曾包圍的方格。包圍圈內(nèi)的方格數(shù)一定是2n個(gè)，且包圍圈必須呈矩形。2.循環(huán)相鄰特性包括上下底相鄰，左右邊相鄰和四角相鄰。畫包圍圈時(shí)應(yīng)遵循的原則X舉例1：請(qǐng)運(yùn)用卡諾圖化簡(jiǎn)

解：第一步：將邏輯函數(shù)表達(dá)式轉(zhuǎn)換為最小項(xiàng)和的形式第二步：將邏輯函數(shù)表達(dá)式用卡諾圖表示1010110100ABC第三步：運(yùn)用畫圈原則，將相鄰的可以合并的方格畫圈11111100101111110010110100ABC畫圈方案一：第四步：將乘積項(xiàng)相加得到化簡(jiǎn)結(jié)果，所以結(jié)果為：畫圈方案二：101111110010110100ABC同樣滿足化簡(jiǎn)原則，結(jié)果為：注意：只要滿足化簡(jiǎn)原則，結(jié)果可以不一樣！根據(jù)合并最小項(xiàng)的特點(diǎn)，寫出乘積項(xiàng)乘積項(xiàng)可根據(jù)圈中對(duì)應(yīng)的相同因子直接寫出。思考101111110010110100ABC這樣圈對(duì)嗎？舉例2：請(qǐng)運(yùn)用卡諾圖化簡(jiǎn)：

第一步：將邏輯函數(shù)表達(dá)式轉(zhuǎn)換為最小項(xiàng)和的形式解：第二步：將邏輯函數(shù)表達(dá)式用卡諾圖表示0010110100ABCD011110第三步：運(yùn)用畫圈原則，將相鄰的可以合并的方格畫圈第四步：將乘積項(xiàng)相加得到化簡(jiǎn)結(jié)果，所以結(jié)果為：1111111111110000思考本題若用例1的方法將邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)為最小項(xiàng)和的形式非常麻煩，如何能夠減少麻煩呢？我們可以直接在卡諾圖中表示邏輯函數(shù)。100110010010110100ABCD11111111011110例3用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)11111111111111111111

用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)1111111111課堂練習(xí)化簡(jiǎn)依據(jù)：

合并最小項(xiàng)的特點(diǎn)：兩個(gè)相鄰最小項(xiàng)可合并為一項(xiàng)，消去一對(duì)因子四個(gè)排成矩形的相鄰最小項(xiàng)可合并為一項(xiàng)，消去兩對(duì)因子八個(gè)相鄰最小項(xiàng)可合并為一項(xiàng)，消去三對(duì)因子具有相鄰性的最小項(xiàng)可合并，消去不同因子回顧思考，加深印象相鄰的含義

對(duì)于兩個(gè)變量，相鄰指左右相鄰，上下相鄰；于三個(gè)變量，除了以上情況最左邊與最右邊同行的也算相鄰；101111101010110100ABC對(duì)于四個(gè)變量，除了以上情況，四角也算相鄰。101111010010110100ABCD10111101011110注意卡諾圖化簡(jiǎn)最簡(jiǎn)與或非式用卡諾圖表示邏輯函數(shù)運(yùn)用畫圈原則，將所有的0用圈包圍寫出與項(xiàng)：找到圈中相同因子或后即可得到，1對(duì)應(yīng)原變量，0對(duì)應(yīng)反變量。將與項(xiàng)相或非后，得到最簡(jiǎn)與或非表達(dá)式

實(shí)質(zhì)上是圈0后得到反函數(shù)的最簡(jiǎn)與或式，取非后得到原變量即得到最簡(jiǎn)與或非式

例：化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)與或非表達(dá)式

0010110100ABCD0111101111111111110000∵

∴

卡諾圖化簡(jiǎn)最簡(jiǎn)或與式用卡諾圖表示邏輯函數(shù)運(yùn)用畫圈原則，將所有的0用圈包圍寫出或項(xiàng)：找到圈中相同因子或后即可得到，0對(duì)應(yīng)原變量，1對(duì)應(yīng)反變量。將或項(xiàng)相與，得到最簡(jiǎn)或與表達(dá)式例用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)成最簡(jiǎn)或與表達(dá)式000001011101110010110100ABCD01111011一、無關(guān)項(xiàng)的概念某些最小項(xiàng)取0或取1并不影響邏輯電路的概念功能，或者根本不可能出現(xiàn)，這些最小項(xiàng)稱為任意項(xiàng)，也稱為無關(guān)項(xiàng)，約束項(xiàng)。它們通常用“d”或“×”或“Φ”表示。舉例：用8421BCD碼表示十進(jìn)制數(shù)中的0~9這10個(gè)數(shù)字。

8421BCD碼十進(jìn)制數(shù)00000000110010200113010048421BCD碼十進(jìn)制數(shù)01015011060111710008100198421BCD碼十進(jìn)制數(shù)101010111100110111101111無關(guān)項(xiàng)4.3具有無關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)及其化簡(jiǎn)dddddd例:要求設(shè)計(jì)一個(gè)邏輯電路，能夠判斷一位十進(jìn)制數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)，當(dāng)十進(jìn)制數(shù)為奇數(shù)時(shí)，電路輸出為1，當(dāng)十進(jìn)制數(shù)為偶數(shù)時(shí)，電路輸出為0。11111110110111001011101011001010001011100110101010010010011000101000100000LABCD解:(1)列出真值表(2)畫出卡諾圖(3)卡諾圖化簡(jiǎn)化簡(jiǎn)方法基本上與學(xué)過的方法一樣；區(qū)別在于無關(guān)項(xiàng)的處理。無關(guān)項(xiàng)的處理方法由于無關(guān)項(xiàng)的取值對(duì)于邏輯函數(shù)的結(jié)果并無實(shí)質(zhì)影響，因此我們可以對(duì)它取值為0也可以取值為1，關(guān)鍵在于是否能夠使化簡(jiǎn)結(jié)果更加簡(jiǎn)單：即乘積項(xiàng)個(gè)數(shù)最少，乘積項(xiàng)中的因子最少。

三、含有無關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)0010110100ABCD011110000111110ddd