空間點(diǎn)陣、原胞 晶胞

Page1§1.2密堆積配位數(shù):

在布喇菲格子中，離某一格點(diǎn)最近的格點(diǎn)，稱為該格點(diǎn)的最近鄰，由于布喇菲格子中格點(diǎn)相互等價(jià)，每一格點(diǎn)有相同的最近鄰數(shù)。

一個(gè)粒子周圍最近鄰的粒子數(shù)稱為配位數(shù)。用以描寫晶體中粒子排列的緊密程度。最大配位數(shù):

密堆積所對(duì)應(yīng)的配位數(shù)。密堆積:晶體中的原子（或離子）在沒有其他因素（例如價(jià)鍵的方向性、正負(fù)離子的相間排列等）的影響下，由于彼此之間的吸引力會(huì)盡可能地靠近，以形成空間密堆積排列的穩(wěn)定結(jié)構(gòu)?？臻g堆積的致密度用空間利用率（晶胞內(nèi)原子總體積占晶胞體積的百分?jǐn)?shù)）表示?！?.2密堆積Page3§1.2密堆積Page4§1.2密堆積Page5§1.2密堆積Page6§1.2密堆積六角密積ABAB鈹Be,Cd金屬六角結(jié)構(gòu)Page7立方密集按ABC型次序重復(fù)排列，就得出了另一種配位數(shù)也是12的密集結(jié)構(gòu)--面心立方結(jié)構(gòu)，。因此，ABCABC型密集排列又稱立方密集。§1.2密堆積Page8立方密集：層的垂直方向是立方體的空間對(duì)角線。面心立方處于原點(diǎn)頂角處的原子正好有12個(gè)處于面心的原子在其最近鄰的位置上，這12個(gè)面心正好在立方體對(duì)角線的方向形成ABC型的排列次序。

鋁、鈣、鎳、貴金屬以及低溫下的惰性氣體都具有面心立方結(jié)構(gòu)?！?.2密堆積

如果晶體不是由同一種原子構(gòu)成，那么相應(yīng)小球的體積不等，從而不可能形成密積結(jié)構(gòu)，因此配位數(shù)一定小于12。

考慮到周期性和對(duì)稱性的特點(diǎn)：晶體不可能具有配位數(shù)11、10和9，所以，次一個(gè)配位數(shù)應(yīng)該是8、6。配位數(shù)情況

§1.2密堆積

上述考慮是基于粒子間互作用為球?qū)ΨQ的假設(shè)，如果相互作用不是球?qū)ΨQ，則粒子根本不能看作小球，但關(guān)于配位數(shù)的概念仍然適用。

此時(shí)，晶體中最高的配位數(shù)仍是12，以下的配位數(shù)依次是8、6、4、3、2。

配位數(shù)是3的為層狀結(jié)構(gòu)，而配位數(shù)是2的則為鏈狀結(jié)構(gòu)。

晶體的配位數(shù)也不可能是5，則下一個(gè)配位數(shù)是4，為四面體。§1.2密堆積配位數(shù)與球半徑之間的關(guān)系

配位數(shù)r/R12181~0.7360.73~0.4140.41~0.2330.23~0.1620~0.16

下表給出部分配位數(shù)與球半徑之間的關(guān)系。

配位數(shù)12配位數(shù)8配位數(shù)4配位數(shù)6配位數(shù)2配位數(shù)31、同種粒子構(gòu)成的晶體

同種粒子組成的晶體可用等大剛球模型來描述。一般地，剛球模型只有在一些特殊情形下才近似反映粒子的真實(shí)情況。

對(duì)于金、銀、鋁、β-Fe等面心立方結(jié)構(gòu)晶體，由于每個(gè)粒子周圍有12個(gè)最近鄰粒子，故其配位數(shù)為12；

而對(duì)于α-Fe，鉻、鉬、鎢等體心立方結(jié)構(gòu)晶體，其配位數(shù)顯然為8。幾種實(shí)際晶體的配位數(shù)

§1.2密堆積

設(shè)Se粒子處在晶胞的體心，其半徑為r。Cl粒子處在立方體的8個(gè)頂角，其半徑為R，且R>r

。這種結(jié)構(gòu)的最緊密堆積是大和小球以及大球之間相切。此時(shí)立方體的邊長(zhǎng)為空間對(duì)角線長(zhǎng)度為

若要小球與大球相切，小球的半徑應(yīng)等于2、不同種粒子構(gòu)成的晶體

氯化銫結(jié)構(gòu)此時(shí)，配位數(shù)最大，等于8?！?.2密堆積時(shí)，兩種球?yàn)槁然C型；

若小球r變小:小球在中心的位置不固定，結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定，于是結(jié)構(gòu)取配位數(shù)較小的堆積，即配位數(shù)位6的堆積，此時(shí)就不是氯化銫結(jié)構(gòu)型。

如果小球r增大:大球?qū)⒉辉傧嗲?，但由于小球與大球仍相切，故結(jié)構(gòu)依然穩(wěn)定，配位數(shù)仍為8。所以當(dāng)§1.2密堆積

若氯粒子在體心，它與處于面心位置的6個(gè)鈉粒子構(gòu)成最近鄰，如圖所示。

若增大6個(gè)大球的半徑，直到大球R也相互相切時(shí)達(dá)到最緊堆積。氯化鈉結(jié)構(gòu)

當(dāng)處在中央的小球r與其左右上下前后的6個(gè)大球R相切時(shí)，無論大球R是否相切，結(jié)構(gòu)都是穩(wěn)定的，此時(shí)，配位數(shù)為6。

由圖可知，當(dāng)NaCl型達(dá)到最緊密堆積時(shí)，有即得

若6個(gè)大球的半徑繼續(xù)增大，當(dāng)?shù)叫∏騬不能與大球R都相切時(shí)，NaCl結(jié)構(gòu)將改變。BAO§1.3布喇菲空間點(diǎn)陣原胞晶胞空間點(diǎn)陣(晶格)定義：晶體的內(nèi)部結(jié)構(gòu)概括為是由一些相同的點(diǎn)子在空間有規(guī)則地作周期性的無限分布，這些點(diǎn)子的總體稱為點(diǎn)陣(晶格)。結(jié)點(diǎn)：代表結(jié)構(gòu)中相同的位置。每個(gè)結(jié)點(diǎn)周圍的情況都一樣，即每個(gè)結(jié)點(diǎn)都是等價(jià)的?；阂环N或數(shù)種原子構(gòu)成的基本的結(jié)構(gòu)單元，結(jié)點(diǎn)代表基元中任意的點(diǎn)子，通常代表基元的重心。點(diǎn)陣學(xué)說概括了晶體的周期性點(diǎn)陣晶體結(jié)構(gòu)基元§1.3布喇菲空間點(diǎn)陣原胞晶胞

布拉菲格子（Bravaislattice）：布拉菲格子是矢量§1.3布喇菲空間點(diǎn)陣原胞晶胞§1.3布喇菲空間點(diǎn)陣原胞晶胞原胞：晶體中最小的周期性重復(fù)單元，當(dāng)平移布喇菲格子所有的格點(diǎn)，將精確地填滿整個(gè)空間，沒有重疊也沒有遺漏。一個(gè)原胞沿三維方向的重復(fù)排列構(gòu)成晶體。可分為:固體物理學(xué)原胞:只要求反映周期性的特征（即只須概括空間三個(gè)方向上的周期大?。梢匀∽钚〉闹貜?fù)單元，結(jié)點(diǎn)只在頂點(diǎn)上，內(nèi)部和面上皆不含其他結(jié)點(diǎn)。結(jié)晶學(xué)原胞:

周期性和對(duì)稱性原胞的選取是不唯一的，原則上講只要是最小周期性單元都可以，但實(shí)際上各種晶格結(jié)構(gòu)已有習(xí)慣的原胞選取方式?！?.3布喇菲空間點(diǎn)陣原胞晶胞§1.3布喇菲空間點(diǎn)陣原胞晶胞WS原胞:

固體物理學(xué)原胞并不能反映晶格的全部宏觀對(duì)稱性，為此，威格納和塞茲提出了另一種原胞，稱為威格納—塞茲原胞，簡(jiǎn)寫為WS原胞。

如圖所示，若選定某一格點(diǎn)，從格點(diǎn)出發(fā)連接其它鄰近的格點(diǎn)并作這些連線的中垂面，則被這些中垂面所圍成的多面體就是WS原胞。

顯然，WS原胞也只包含一個(gè)格點(diǎn)，因此它與固體物理學(xué)原胞的體積一樣，也是最小周期性重復(fù)單元。原胞常取以基矢為棱邊的平行六面體，體積為：

上述取法只是原胞的習(xí)慣取法，但原則上原胞可以任意多種取法，只要滿足是晶體的最小重復(fù)單元這個(gè)條件。

無論如何選取，原胞均有相同的體積，每個(gè)原胞含有一個(gè)格點(diǎn)。對(duì)有限大的晶體（非理想晶體），所含原胞和格點(diǎn)數(shù)相等?！?.3布喇菲空間點(diǎn)陣原胞晶胞§1.3布喇菲空間點(diǎn)陣原胞晶胞艾舍爾荷蘭著名版畫大師§1.3布喇菲空間點(diǎn)陣原胞晶胞§1.3布喇菲空間點(diǎn)陣原胞晶胞定義：（１）布喇菲格子：基元只含有一個(gè)原子的晶格，或晶格中每個(gè)原子周圍情況都一樣。（２）復(fù)式格子：基元包含兩個(gè)或兩個(gè)以上原子的晶格，或晶格中至少有兩類原子，其周圍情況不一樣?！?.3布喇菲空間點(diǎn)陣原胞晶胞例：一維布喇菲格子

定義：由一種原子組成的一維無限周期性點(diǎn)列，周期為a。原胞：長(zhǎng)為a的一根直線段，原子在其兩端點(diǎn)。每個(gè)原胞含一個(gè)原子。原子晶格物理性質(zhì)周期性（平移對(duì)稱性）：

Γ(x+na)=Γ(x)上式表示原胞中任一處x的物理性質(zhì)，同另一原胞相應(yīng)處的物理性質(zhì)相同?！?.3布喇菲空間點(diǎn)陣原胞晶胞例：一維復(fù)式格子

定義：晶格中含有n(n≥2)類原子，其周圍情況不一樣，它們組成一維無限周期性點(diǎn)列，周期為a。晶體由同一種原子構(gòu)成，但原子周圍情況并不相同，亦是復(fù)式格子。原胞：長(zhǎng)為a的一根直線段，一類原子在其兩端點(diǎn)，其余原子在線段上。每個(gè)原胞含n個(gè)原子。周期性：Γ(x+na)=Γ(x)§1.3布喇菲空間點(diǎn)陣原胞晶胞ABaa我們具體討論三個(gè)具有不同“點(diǎn)對(duì)稱性”的三維布喇菲格子原胞:(1)簡(jiǎn)立方(2)體心立方(3)面心立方(1)簡(jiǎn)立方簡(jiǎn)單立方晶格的原子在立方體的頂角上，立方單元就是最小的周期性單元，晶格基矢沿三個(gè)立方邊，長(zhǎng)短相等，三個(gè)基矢可以寫成：a1＝ai,a2=aj,a3=ak

§1.3布喇菲空間點(diǎn)陣原胞晶胞

原胞體積：a3

。

自然界中幾乎沒有哪一種晶體原子是按簡(jiǎn)立方排列，卻有不少復(fù)式格子的晶體可以看作是由簡(jiǎn)立方結(jié)構(gòu)的子晶格穿套而成的。下面將要介紹的氯化銫結(jié)構(gòu)即為一典型的例子。§1.3布喇菲空間點(diǎn)陣原胞晶胞(2)體心立方

體心立方是一種布拉菲格子，位于頂角和體心上的同種原子是完全等價(jià)的，它們具有完全相同的周圍環(huán)境，實(shí)際晶體是立方單元的重復(fù)延伸。體心立方晶格的立方體單元不是最小的周期性單元。在體心立方晶格中，可以由一個(gè)立方體項(xiàng)點(diǎn)到最近的三個(gè)體心得到晶格基矢a1、a2、a3，，以它們棱形成的平行六面體構(gòu)成原胞?！?.3布喇菲空間點(diǎn)陣原胞晶胞原胞的體積為:

?=a1

?(a2xa3)=a3/2

為立方單元的一半。體心立方晶格中的一個(gè)立方單元體積中，包含有兩個(gè)原子，因而所構(gòu)成的平行六面體是最小周期性單元。

a1=a/2(-i+j+k)

a2=a/2(i-j+k)a3=a/2(i+j-k)三個(gè)晶格基矢可以寫成：

§1.3布喇菲空間點(diǎn)陣原胞晶胞

a1=a/2(i+j)a2=a/2(j+k)a3=a/2(k+i)(3)面心立方

面心立方也是一種布拉菲格子，因?yàn)樘幱诿嫘牡脑优c處于頂角的同種原子是完全等價(jià)的。通常取原胞基矢（如圖）為：它們是由一個(gè)頂角到同屬一個(gè)立方單元的三個(gè)相鄰面心的矢量。容易驗(yàn)證由這三個(gè)基矢圍成的原胞的體積?=a1

?(a2xa3)=a3/4，符合布拉菲格子原胞基矢的要求?！?.3布喇菲空間點(diǎn)陣原胞晶胞§1.3布喇菲空間點(diǎn)陣原胞晶胞§1.3布喇菲空間點(diǎn)陣原胞晶胞幾種典型的晶體結(jié)構(gòu)（復(fù)式格子）(1)氯化鈉結(jié)構(gòu)(2)氯化銫結(jié)構(gòu)(3)金剛石結(jié)構(gòu)(4)閃鋅礦結(jié)構(gòu)(5)碳60晶體結(jié)構(gòu)§1.3布喇菲空間點(diǎn)陣原胞晶胞(1)氯化鈉結(jié)構(gòu)（堿金屬鹵化物晶體）氯化鈉NaCl是由氯離子和鈉離子結(jié)合而成，是典型的離子晶體。它好象是一個(gè)立方晶格，但每一行上相間地排列著正鈉離子和負(fù)的氯離子。

固體物理學(xué)原胞基矢就是面心立方的基矢，原胞內(nèi)包含兩個(gè)異號(hào)離子（氯離子和鈉離子）。

注意：不要將這種結(jié)構(gòu)視為原胞邊長(zhǎng)為a/2的簡(jiǎn)立方，因?yàn)槁入x子和鈉離子是不等價(jià)的。

由氯離子和鈉離子組成的兩個(gè)面心立方晶格，彼此沿立方體邊錯(cuò)開a/2的距離而穿套。a為立方體邊長(zhǎng)。子晶格為面心立方的復(fù)式格子晶體結(jié)構(gòu)?！?.3布喇菲空間點(diǎn)陣原胞晶胞(2)氯化銫結(jié)構(gòu)

氯化銫（CsCl）晶胞是復(fù)式格子，與體心立方相仿，只是體心位置為一種離子，頂角為另一種離子。如果把整個(gè)晶格畫出來，體心位置和頂角位置實(shí)際上完全等效，各占一半，正好容納數(shù)目相等的正、負(fù)離子。氯化銫結(jié)構(gòu)是由兩個(gè)簡(jiǎn)立方的子晶格彼此沿立方體空間對(duì)角線位移1/2的長(zhǎng)度套構(gòu)而成，它的固體物理學(xué)原胞是簡(jiǎn)立方（原胞內(nèi)包含兩個(gè)異號(hào)離子），因此稱氯化銫結(jié)構(gòu)為簡(jiǎn)立方結(jié)構(gòu)?！?.3布喇菲空間點(diǎn)陣原胞晶胞注意：按固體物理的觀點(diǎn)，復(fù)式格子總是由若干相同結(jié)構(gòu)的子晶格互相位移套構(gòu)而成，說結(jié)構(gòu)，取原胞都是對(duì)布喇菲格子而言。因此:氯化鈉型的結(jié)構(gòu)是面心立方（而不是簡(jiǎn)立方）；氯化銫結(jié)構(gòu)是簡(jiǎn)立方（而不是體心立方）

。§1.3布喇菲空間點(diǎn)陣原胞晶胞(3)金剛石結(jié)構(gòu)典型的、也是極為重要的晶體結(jié)構(gòu)，因?yàn)橹匾陌雽?dǎo)體材料鍺和硅就具有這種形式的結(jié)構(gòu)。金剛石結(jié)構(gòu)也可以用一立方單元表達(dá)。結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：碳原子除去占有立方體的頂角與面心外，還有四個(gè)碳原子分別占據(jù)四條體對(duì)角線上距頂角處，即對(duì)角線長(zhǎng)度的1/4處，a為立方單元邊長(zhǎng)?！?.3布喇菲空間點(diǎn)陣原胞晶胞每個(gè)原子有四個(gè)最近鄰，這四個(gè)最近鄰原子處在正四面體的頂角上，這是金剛石結(jié)構(gòu)的一個(gè)突出特點(diǎn)。最近鄰原子間的距離正好也就是體對(duì)角線長(zhǎng)度的1/4。金剛石結(jié)構(gòu)并不是布拉菲格子，因?yàn)橄噜彽膬蓚€(gè)原子雖然相同卻并不等價(jià)。例如A和A‘原子。§1.3布喇菲空間點(diǎn)陣原胞晶胞整個(gè)晶體結(jié)構(gòu)可看作兩個(gè)面心立方子晶格沿立方體對(duì)角線平移1/4對(duì)角線長(zhǎng)度相互穿套而成。（位于立方體頂角與面心的原子等價(jià)，位于體對(duì)角線上的原子也是等價(jià)的。）金剛石的布拉菲格子是面心立方結(jié)構(gòu)所以稱金剛石的結(jié)構(gòu)是面心立方格子，一個(gè)晶胞內(nèi)包含8個(gè)原子。固體物理學(xué)原胞的取法同面心立方的布拉菲原胞的取法相同，原胞中包含兩個(gè)不等價(jià)的原子。§1.3布喇菲空間點(diǎn)陣原胞晶胞1/201/201/201/2003/41/43/41/4原子在金剛石結(jié)構(gòu)立方晶胞中的位置分布圖圖中分?jǐn)?shù)值表示以立方體邊長(zhǎng)為單位，其原子處在基面上方的高度。§1.3布喇菲空間點(diǎn)陣原胞晶胞(4)閃鋅礦（立方ZnS）型結(jié)構(gòu)如果在金剛石結(jié)構(gòu)中，頂角與面心處為硫離子，而在立方單元的內(nèi)部為鋅離子，就形成閃鋅礦型結(jié)構(gòu)。閃鋅礦型結(jié)構(gòu)為由硫離子和鋅離子各自構(gòu)成的面心立方子晶格沿立方體對(duì)角線平移1/4長(zhǎng)度相互錯(cuò)開穿套而成。其基由一對(duì)硫離子與鋅離子組成。

許多重要的化合物半導(dǎo)體，如銻化銦、砷化鎵等都是閃鋅礦型結(jié)構(gòu)。§1.3布喇菲空間點(diǎn)陣原胞晶胞(5)碳60晶體結(jié)構(gòu)（Fuller烯結(jié)構(gòu)）碳60是20世紀(jì)90年代初發(fā)現(xiàn)的由60個(gè)碳原子結(jié)合而成的分子