第四章有限元法

第四章有限元法及應(yīng)用

FEM(TheFiniteElementMethod)andApplication1教學(xué)目標(biāo)：理解有限元的特點(diǎn)、基本作用及分類；掌握有限元法的基本概念和有限元法的求解步驟。重點(diǎn)、難點(diǎn)：重點(diǎn)是有限元法的基本概念以及有限元法的求解步驟；難點(diǎn)是單元?jiǎng)偠染仃嚭涂傮w剛度矩陣的求解。2主要內(nèi)容

有限元法的基本概念(概述)

有限元法的分類有限元法的求解步驟（重點(diǎn)）常用有限元軟件簡(jiǎn)介3第一節(jié)概述為什么需要有限元？隨著生產(chǎn)的發(fā)展，不斷要求設(shè)計(jì)高質(zhì)量、高水平的大型、復(fù)雜和精密的機(jī)械和工程結(jié)構(gòu)。在實(shí)踐中人們也逐漸認(rèn)識(shí)到要達(dá)到正確的、高水平的設(shè)計(jì)，就必須預(yù)先通過有效的計(jì)算手段確切的了解即將誕生的機(jī)械和工程結(jié)構(gòu)在未來(lái)工作時(shí)的應(yīng)力、應(yīng)變及位移等情況，從多種可能的方案中去選擇合乎要求的方案。4但是，傳統(tǒng)的一些方法往往難于完成對(duì)工程實(shí)際問題的有效分析。如彈性力學(xué)的經(jīng)典理論對(duì)于幾何上復(fù)雜、不規(guī)則邊界、有裂縫或厚度突變以及幾何非線性、材料非線性等問題往往解決很困難；優(yōu)化設(shè)計(jì)、可靠性設(shè)計(jì)等也難或根本無(wú)法解決。5蓄水后大壩的位移與應(yīng)變情況、地震時(shí)大壩的位移與應(yīng)變情況等三峽大壩的受力情況

6航天飛機(jī)飛行中的受熱分析溫度場(chǎng)分布

7導(dǎo)彈、飛機(jī)飛行的流體動(dòng)力學(xué)分析流場(chǎng)分布

8磁場(chǎng)分布

分析衛(wèi)星、飛船在軌運(yùn)行時(shí)磁場(chǎng)的影響

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傳統(tǒng)方法在處理這類問題時(shí)，往往要對(duì)一個(gè)實(shí)際的物理系統(tǒng)作出多種假設(shè)，比如形狀假設(shè)、連續(xù)性假設(shè)、物體的各項(xiàng)同性假設(shè)，然后通過經(jīng)典理論方法得出問題的解析解，這種解析解從形式上看，可以得出關(guān)于實(shí)際問題的連續(xù)解。比如用方程描述三峽大壩某一點(diǎn)的位移和應(yīng)變，但這樣的解析解往往和實(shí)際情況有比較大的偏差。這對(duì)于精度要求不高的領(lǐng)域是可以的，但對(duì)于有些領(lǐng)域，就不能滿足實(shí)際的需要了。

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同時(shí)，實(shí)際中常常要遇到一些幾何上復(fù)雜、不規(guī)則邊界、有裂縫或厚度突變以及幾何非線性、材料非線性的物理系統(tǒng)，對(duì)這些系統(tǒng)經(jīng)典理論解決起來(lái)相當(dāng)困難，有時(shí)甚至無(wú)法解決，也就是無(wú)法求得解析解。因此，尋求離散數(shù)值分析法就成了必由之路。常用的數(shù)值分析法有兩種：差分法和有限元法。

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差分法是在傳統(tǒng)方法的基礎(chǔ)上，將傳統(tǒng)方法建立的微分方程中的微分dx、dy、dz變成差分Δx，Δy，Δz，從而把微分方程變成代數(shù)方程，用一步步迭代的方法，逐步求出物理系統(tǒng)中各個(gè)離散點(diǎn)的物理量，用差分離散解代替連續(xù)解。這種方法要求能建立微分方程，并能給出邊界條件的數(shù)學(xué)表達(dá)式，因此，對(duì)于一些不規(guī)則的幾何形狀和不規(guī)則的特殊邊界條件難以應(yīng)用。12一、有限元法的基本概念1.什么是有限元法

我們實(shí)際要處理的對(duì)象都是連續(xù)體，在傳統(tǒng)設(shè)計(jì)思維和方法中，是通過一些理想化的假定后，建立一組偏微分方程及其相應(yīng)的邊界條件，從而求出在連續(xù)體上任一點(diǎn)上未知量的值。因?yàn)辄c(diǎn)是無(wú)限多的，存在無(wú)限自由度的問題，很難直接求解這種偏微分方程用來(lái)解決實(shí)際工程問題，因此需要采用近似方法來(lái)處理。

13其中最主要的是離散化方法，把問題歸結(jié)為只求有限個(gè)離散點(diǎn)的數(shù)值，把無(wú)限自由度問題變成有限個(gè)自由度。什么是有限元法？？

把一個(gè)連續(xù)體分割成有限個(gè)單元，即把一個(gè)復(fù)雜的結(jié)構(gòu)看成由有限個(gè)通過節(jié)點(diǎn)相連的單元組成的整體，先進(jìn)行單元分析，然后再把這些單元組合起來(lái)代表原來(lái)的結(jié)構(gòu)，以得到復(fù)雜問題的近似數(shù)值解。這種方法稱為有限元法（TheFiniteElementMethod）。

14有限元法是一種以計(jì)算機(jī)為手段，通過離散化將研究對(duì)象變換成一個(gè)與原始結(jié)構(gòu)近似的數(shù)學(xué)模型，再經(jīng)過一系列規(guī)范化的步驟以求解應(yīng)力、應(yīng)變、位移等參數(shù)的數(shù)值計(jì)算方法。所謂離散化就是將一個(gè)連續(xù)體分割成若干個(gè)通過節(jié)點(diǎn)相連的單元，這樣一個(gè)有無(wú)限個(gè)自由度的結(jié)構(gòu)就變換成一個(gè)具有有限個(gè)自由度的近似結(jié)構(gòu)。

該過程還包括對(duì)單元和節(jié)點(diǎn)進(jìn)行編碼以及局部坐標(biāo)系和整體坐標(biāo)系的確定。15載荷載荷物理系統(tǒng)舉例16172.幾個(gè)基本概念1）單元（element）將求解的工程結(jié)構(gòu)看成是由許多小的、彼此用點(diǎn)聯(lián)結(jié)的基本構(gòu)件如桿、梁、板和殼組成的，這些基本構(gòu)件稱為單元。在有限元法中，單元用一組節(jié)點(diǎn)間相互作用的數(shù)值和矩陣（剛度系數(shù)矩陣）來(lái)描述。18單元具有以下特征：每一個(gè)單元都有確定的方程來(lái)描述在一定載荷下的響應(yīng)；模型中所有單元響應(yīng)的“和”給出了設(shè)計(jì)的總體響應(yīng)；單元中未知量的個(gè)數(shù)是有限的，因此稱為“有限單元”。192）節(jié)點(diǎn)（node）單元與單元之間的聯(lián)結(jié)點(diǎn)，稱為節(jié)點(diǎn)。在有限元法中，節(jié)點(diǎn)就是空間中的坐標(biāo)位置，它具有物理特性，且存在相互物理作用。3）有限元模型（model）

有限元模型真實(shí)系統(tǒng)理想化的數(shù)學(xué)抽象。由一些形狀簡(jiǎn)單的單元組成，單元之間通過節(jié)點(diǎn)連接，并承受一定載荷。

每個(gè)單元的特性是通過一些線性方程式來(lái)描述的。作為一個(gè)整體，所有單元的組合就形成了整體結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型。

20節(jié)點(diǎn):

空間中的坐標(biāo)位置，具有一定相應(yīng)，相互之間存在物理作用。單元:節(jié)點(diǎn)間相互作用的媒介，用一組節(jié)點(diǎn)相互作用的數(shù)值矩陣描述（稱為剛度或系數(shù)矩陣)。載荷載荷有限元模型由一些簡(jiǎn)單形狀的單元組成，單元之間通過節(jié)點(diǎn)連接，并承受一定載荷。21

對(duì)于一個(gè)具體的工程結(jié)構(gòu)，單元的劃分越小，求解的結(jié)果就越精確，同時(shí)，其計(jì)算工作量也就越大。梯子的有限元模型不到100個(gè)方程；在ANSYS分析中，一個(gè)小的有限元模型可能有幾千個(gè)未知量，涉及到的單元?jiǎng)偠认禂?shù)幾百萬(wàn)個(gè)。單元?jiǎng)澐值木?xì)程度，取決于工程實(shí)際對(duì)計(jì)算結(jié)果精確性的要求。224）有限元分析有限元分析就是利用數(shù)學(xué)近似的方法對(duì)真實(shí)物理系統(tǒng)（幾何和載荷工況）進(jìn)行模擬。并利用簡(jiǎn)單而又相互作用的元素（即單元），用有限數(shù)量的未知量去逼近無(wú)限未知量的真實(shí)系統(tǒng)。有限元分析是一種模擬設(shè)計(jì)載荷條件，并且確定在載荷條件下的設(shè)計(jì)響應(yīng)的方法。它是用被稱之為“單元”的離散的塊體來(lái)模擬設(shè)計(jì)的。23

幾何體

載荷

物理系統(tǒng)力電磁熱24二、有限元法的特點(diǎn)與作用1.有限元法的特點(diǎn)1）把連續(xù)體劃分成有限個(gè)單元，把單元間的連接點(diǎn)（節(jié)點(diǎn)）作為離散點(diǎn)；2）不考慮微分方程，而從單元本身特點(diǎn)進(jìn)行研究；

研究未知量在單元內(nèi)部及在單元節(jié)點(diǎn)上值的關(guān)系，從而導(dǎo)出單元節(jié)點(diǎn)響應(yīng)和對(duì)應(yīng)的載荷之間的關(guān)系，然后把它們組集起來(lái),以求解一個(gè)以各節(jié)點(diǎn)響應(yīng)為未知量的代數(shù)方程組。3）理論基礎(chǔ)簡(jiǎn)明，物理概念清晰，且可在不同的水平上建立起對(duì)該法的理解；254）具有靈活性和適用性，適應(yīng)性強(qiáng)

它可以把形狀不同、性質(zhì)不同的單元組集起來(lái)求解，故特別適用于求解由不同構(gòu)件組合的結(jié)構(gòu)，應(yīng)用范圍極為廣泛。它不僅能成功地處理如應(yīng)力分析中的非均勻材料、各向異性材料、非線性應(yīng)力應(yīng)變以及復(fù)雜的邊界條件等問題，且隨著其理論基礎(chǔ)和方法的逐步完善，還能成功地用來(lái)求解如熱傳導(dǎo)、流體力學(xué)及電磁場(chǎng)領(lǐng)域的許多問題。5）在具體推導(dǎo)運(yùn)算過程中，廣泛采用了矩陣方法。262.有限元法的作用1）減少模型試驗(yàn)的數(shù)量（計(jì)算機(jī)模擬允許對(duì)大量的假設(shè)情況進(jìn)行快速而有效的試驗(yàn)）；2）模擬不適合在原型上試驗(yàn)的設(shè)計(jì)（例如：器官移植、人造膝蓋）；3）節(jié)省費(fèi)用，降低設(shè)計(jì)與制造、開發(fā)的成本；4）節(jié)省時(shí)間，縮短產(chǎn)品開發(fā)時(shí)間和周期；

5）創(chuàng)造出高可靠性、高品質(zhì)的產(chǎn)品。

27三、有限元法的發(fā)展1.有限元法的產(chǎn)生有限元法分析的概念可以追溯到20世紀(jì)40年代。

1943年，柯朗特（Courant）第一次在他的論文中，取定義在三角形域上的分片連續(xù)函數(shù)，利用最小勢(shì)能原理研究了圣維南（St.Venant）的扭轉(zhuǎn)問題。然而，此方法發(fā)展很慢，幾乎過了十年才再次有人用這些離散化的概念。281956年Turner,Clough,Martin和Topp等人，在他們的經(jīng)典論文中第一次給出了用三角形單元求得的平面應(yīng)力問題的真正解答，他們利用彈性理論的方程求出了三角形單元的特性，并第一次介紹了今天人們熟知的確定單元特性的直接剛度法，其研究工作隨同當(dāng)時(shí)出現(xiàn)的數(shù)值計(jì)算機(jī)一起打開了求解復(fù)雜平面彈性問題的新局面。291960年美國(guó)的克勞夫(W.Clough)采用此方法進(jìn)行飛機(jī)結(jié)構(gòu)分析時(shí)首次將這種方法起名為“有限單元法”，簡(jiǎn)稱“有限元法”。此后有限元法在工程界獲得了廣泛的應(yīng)用。到20世紀(jì)70年代以后，隨著計(jì)算機(jī)和軟件技術(shù)的發(fā)展，有限元法也隨之迅速的發(fā)展起來(lái)，發(fā)表的論文猶如雨后春筍，學(xué)術(shù)交流頻繁，期刊、專著不斷出現(xiàn)，可以說進(jìn)入了有限元法的鼎盛時(shí)期，對(duì)有限元法進(jìn)行了全面而深入地研究。302.有限元法的應(yīng)用目前，有限元法廣泛應(yīng)用于固體力學(xué)、流體力學(xué)、熱傳導(dǎo)、電磁學(xué)、聲學(xué)、生物力學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域。1）可求解由桿、梁、板、殼、塊體等各類單元構(gòu)成的彈性（線性和非線性）、彈塑性或塑性問題（包括靜力和動(dòng)力問題）；2）可求解各類場(chǎng)分布問題的穩(wěn)態(tài)和瞬態(tài)問題；31

當(dāng)前，有限元法已經(jīng)成為結(jié)構(gòu)分析的有效方法和手段，它幾乎被用于所有連續(xù)介質(zhì)和場(chǎng)的問題。3）可求解水流管路、電路、潤(rùn)滑、噪聲以及固體、流體、溫度相互作用的問題。32結(jié)構(gòu)分析用于確定變形、應(yīng)變、應(yīng)力及反作用力。靜力分析用于靜態(tài)荷載.可以考慮結(jié)構(gòu)的線性及非線性行為，例如：大變形、大應(yīng)變、應(yīng)力剛化、接觸、塑性、超彈及蠕變等.超彈密封結(jié)構(gòu)分析33提供標(biāo)準(zhǔn)的隱式動(dòng)力學(xué)分析以外，還提供了顯式動(dòng)力學(xué)分析模塊。用于模擬非常大的變形，慣性力占支配地位，并考慮所有的非線性行為.它的顯式方程求解沖擊、碰撞、快速成型等問題，是目前求解這類問題最有效的方法.結(jié)構(gòu)分析（續(xù)）34可進(jìn)行顯示動(dòng)力分析模擬以慣性力為主的大變形分析。用于模擬沖擊、碰撞、快速成形等。35鋼材軋制過程模擬沖壓成形的模擬36熱分析熱分析用于確定物體中的溫度分布?？赡M三種熱傳遞方式：熱傳導(dǎo)、熱對(duì)流、熱輻射。穩(wěn)態(tài)分析忽略時(shí)間效應(yīng)瞬態(tài)分析確定以時(shí)間為函數(shù)的溫度值等。可模擬相變（熔化及凝固）37電飯煲熱分析仿真：分析電飯煲內(nèi)的米飯?jiān)诩訜嵬瓿珊蠓胖?個(gè)小時(shí)，鍋體及米飯的最終溫度。38電磁分析電磁分析用于計(jì)算電磁裝置中的磁場(chǎng)靜態(tài)磁場(chǎng)及低頻電磁場(chǎng)分析模擬由直流電源，低頻交流電或低頻瞬時(shí)信號(hào)引起的磁場(chǎng)。例如：螺線管制動(dòng)器、電動(dòng)機(jī)、變壓器磁場(chǎng)分析中考慮的物理量是：磁通量密度、磁場(chǎng)密度、磁力和磁力矩、阻抗、電感、渦流、能耗及磁通量泄漏等。39磁性元件電機(jī)磁場(chǎng)分布40流體分析計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)(CFD)用于確定流體中的流動(dòng)狀態(tài)和溫度。能模擬層流和湍流，可壓縮和不可壓縮流體，以及多組份流。應(yīng)用：航空航天，電子元件封裝，汽車設(shè)計(jì)。典型的物理量是：速度，壓力，溫度，對(duì)流換熱系數(shù)。41SC/Tetra—大型通用流體分析軟件42例：大型金屬鑄件熱應(yīng)力有限元分析1.熱—應(yīng)力分析理論根據(jù)熱彈性理論，熱傳導(dǎo)方程為：其中，k為傳導(dǎo)系數(shù)，a是擴(kuò)散系數(shù)，T為溫度，ε是應(yīng)變。此即計(jì)算熱應(yīng)力分析的基本公式。432.有限元分析此有限元分析過程分為兩部分：首先進(jìn)行瞬態(tài)熱分析，然后把計(jì)算結(jié)果中的溫度分布作為熱載荷施加在應(yīng)力分析中進(jìn)行計(jì)算。2.1有限元模型此金屬鑄件長(zhǎng)2.3米、高2米、厚1.1米，中間有開口，下部分是半圓形結(jié)構(gòu)，材料為鑄鐵，重量28噸左右。有限元模型如圖1，圖2是網(wǎng)格劃分圖，單元采用10節(jié)點(diǎn)的四面體單元。44452.2瞬態(tài)熱分析瞬態(tài)熱分析目的是計(jì)算鑄件從300℃恒溫場(chǎng)中突然放置在室溫空氣中不同時(shí)刻的溫度變化，并找出溫度梯度最大的時(shí)刻及溫度分布，為下一步應(yīng)力計(jì)算做準(zhǔn)備。對(duì)所有節(jié)點(diǎn)給一個(gè)初始300℃溫度。設(shè)置相應(yīng)的導(dǎo)熱系數(shù)、密度、比熱和對(duì)流換熱系數(shù)。計(jì)算不同時(shí)刻的溫度分布，經(jīng)計(jì)算在90分鐘時(shí)溫度梯度最大。此時(shí)的溫度分布如圖3。46472.3熱應(yīng)力分析熱應(yīng)力分析時(shí)分析某種溫度分布載荷下結(jié)構(gòu)的變形及應(yīng)力。此分析要設(shè)置相應(yīng)材料的彈性模量和泊松比，以及聯(lián)系熱分析與結(jié)構(gòu)分析的重要參數(shù)熱膨脹系數(shù)。第一步瞬態(tài)熱分析時(shí)的溫度分布作為載荷施加在此步的熱應(yīng)力分析中，并對(duì)上部邊緣做適當(dāng)?shù)奈灰萍s束。熱應(yīng)力的分析結(jié)果見圖4和5。4849一、結(jié)構(gòu)有限元法的分類

結(jié)構(gòu)有限元法可以分為兩類，即線彈性有限元法和非線性有限元法。其中線彈性有限元法是非線性有限元法的基礎(chǔ)，二者不但在分析方法和研究步驟上有類似之處，而且后者常常要引用前者的某些結(jié)果。第二節(jié)有限元法的分類501.線彈性有限元

線彈性有限元是以理想彈性體為研究對(duì)象的，所考慮的變形建立在小變形假設(shè)的基礎(chǔ)上。在這類問題中，材料的應(yīng)力與應(yīng)變呈線性關(guān)系，滿足廣義胡克定律；位移與應(yīng)變也是線性關(guān)系，線彈性問題可歸結(jié)為求解線性方程問題，所以只需要較少的計(jì)算時(shí)間。線彈性有限元一般包括線彈性靜力學(xué)分析與線彈性動(dòng)力學(xué)分析兩方面。512.非線性有限元非線性問題與線彈性問題的區(qū)別：非線性問題的方程是非線性的，一般需要迭代求解；非線性問題不能采用疊加原理；非線性問題不總有一致解，有時(shí)甚至沒有解。以上三方面的因素使得非線性問題的求解過程比線彈性問題更加復(fù)雜、費(fèi)用更高和更具有不可預(yù)知性。521）材料非線性問題材料的應(yīng)力和應(yīng)變是非線性的，但應(yīng)變與位移呈線性關(guān)系，這類問題屬于材料的非線性問題。由于從理論上還不能提供能普遍接受的應(yīng)力與應(yīng)變的函數(shù)關(guān)系，所以，一般材料的應(yīng)力與應(yīng)變之間的非線性關(guān)系要基于試驗(yàn)數(shù)據(jù)，有時(shí)非線性材料特性可用數(shù)學(xué)模型進(jìn)行模擬，盡管這些模型總有他們的局限性。在工程實(shí)際中較為重要的材料非線性問題有：非線性彈性（包括分段線彈性）、彈塑性、粘塑性及蠕變等。

532）幾何非線性問題幾何非線性問題是由于應(yīng)變與位移之間存在非線性關(guān)系引起的。當(dāng)物體的位移較大時(shí)，應(yīng)變與位移的關(guān)系是非線性關(guān)系。研究這類問題一般都是假定材料的應(yīng)力和應(yīng)變呈線性關(guān)系。它包括大位移大應(yīng)變及大位移小應(yīng)變問題。如結(jié)構(gòu)的彈性屈曲問題屬于大位移小應(yīng)變問題，橡膠部件形成過程為大應(yīng)變問題。

543）非線性邊界在加工、密封、撞擊等問題中，接觸和摩擦的作用不可忽視，接觸邊界屬于高度非線性邊界。平時(shí)遇到的一些接觸問題，如齒輪傳動(dòng)、沖壓成型、軋制成型、橡膠減振器、緊配合裝配等，當(dāng)一個(gè)結(jié)構(gòu)與另一個(gè)結(jié)構(gòu)或外部邊界相接觸時(shí)通常要考慮非線性邊界條件。實(shí)際的非線性可能同時(shí)出現(xiàn)上述兩種或三種非線性問題。55二、有限單元的類型

根據(jù)研究對(duì)象的不同，有限元法中采用的單元形式也不相同。

通常，按照單元結(jié)構(gòu)，可將單元?jiǎng)澐譃橐痪S單元（線單元）、二維單元（面單元）和三維單元。JIJKLI一維單元二維單元POMNKJIL三維單元56按照單元結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和受力特點(diǎn)，可將單元?jiǎng)澐譃椋?）桁架桿單元：主要應(yīng)用于受軸向力作用的桿和桿系，如桁架結(jié)構(gòu)；2）剛架桿單元：用于梁及剛架結(jié)構(gòu)分析；3）三角形平面單元：主要用于彈性力學(xué)中平面應(yīng)力和平面應(yīng)變問題的有限元分析；4）三棱圓環(huán)單元：用于軸對(duì)稱問題的有限元分析；5）等參數(shù)單元：用于一些具有曲線輪廓的復(fù)雜結(jié)構(gòu)。57第三節(jié)

有限元法的求解方法與步驟58一、有限元法求解的基本步驟1.結(jié)構(gòu)離散化：對(duì)整個(gè)結(jié)構(gòu)進(jìn)行離散化，將其分割成若干個(gè)單元，單元間彼此通過節(jié)點(diǎn)相連；2.求出各單元的剛度矩陣：

是由單元節(jié)點(diǎn)位移量求單元節(jié)點(diǎn)力向量的轉(zhuǎn)移矩陣，其關(guān)系式為；

3.集成總體剛度矩陣[K]并寫出總體平衡方程：[K]是由整體節(jié)點(diǎn)位移向量求整體節(jié)點(diǎn)力向量的轉(zhuǎn)移矩陣，其關(guān)系式為，這就是總體平衡方程；

594.引入邊界條件，求出各節(jié)點(diǎn)的位移

節(jié)點(diǎn)的邊界條件有兩種：一種是節(jié)點(diǎn)n沿某個(gè)方向的位移為零，另一種是節(jié)點(diǎn)n沿某個(gè)方向的位移為一給定值。5.求出各單元內(nèi)的應(yīng)力和應(yīng)變

60確定總體剛度矩陣[K]的辦法1）直接利用總體剛度系數(shù)的定義

在求出整體結(jié)構(gòu)中各節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)位移關(guān)系的基礎(chǔ)上獲得總體剛度矩陣。此方法只在簡(jiǎn)單情況下才能采用。2）集成法

將整體坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃囘M(jìn)行迭加而得。這里所說的迭加不是簡(jiǎn)單的相加，而是將下角標(biāo)相同的剛度系數(shù)相加，然后按總碼的順序?qū)μ?hào)入座。613）利用節(jié)點(diǎn)間的剛度系數(shù)直接寫出總體剛度矩陣

總體剛度矩陣對(duì)角線上的剛度系數(shù)等于在節(jié)點(diǎn)i匯交的幾個(gè)單元的剛度系數(shù)之和；非對(duì)角線上的剛度系數(shù)等于聯(lián)結(jié)節(jié)點(diǎn)i與節(jié)點(diǎn)j間幾個(gè)單元的剛度系數(shù)之和。62二、有限元法分析過程

有限元法分析過程大體可分為：前處理、分析、后處理三大步驟。1.前處理

對(duì)實(shí)際的連續(xù)體離散化后就建立了有限元分析模型，這一過程是有限元法的前處理過程。在這一階段，要構(gòu)造計(jì)算對(duì)象的幾何模型，要?jiǎng)澐钟邢拊W(wǎng)格，要生成有限元分析的輸入數(shù)據(jù)，這一步是有限元分析的關(guān)鍵。

632.有限元分析

有限元分析過程主要包括：?jiǎn)卧治?、整體分析、載荷移置、引入約束、求解約束方程等過程。這一過程是有限元分析的核心部分，有限元理論主要體現(xiàn)在這一過程中。

結(jié)構(gòu)有限元法包括三類：有限元位移法、有限元力法、有限元混合法。64

有限元位移法以節(jié)點(diǎn)位移作為基本未知量；

有限元力法以節(jié)點(diǎn)力作為未知量；

有限元混合法的一部分基本未知量為節(jié)點(diǎn)位移，另一部分基本未知量為節(jié)點(diǎn)力。有限元位移法計(jì)算過程的系統(tǒng)性、規(guī)律性強(qiáng)，特別適宜于編程求解。一般除板殼問題的有限元應(yīng)用一定量的混合法外，其余全部采用有限元位移法。

因此，一般不做特別聲明時(shí)，有限元法指的是有限元位移法。

653.有限元分析的后處理

有限元分析的后處理主要包括對(duì)計(jì)算結(jié)果的加工處理、編輯組織和圖形表示三個(gè)方面。它可以把有限元分析得到的數(shù)據(jù)，進(jìn)一步轉(zhuǎn)換為設(shè)計(jì)人員直接需要的信息，如應(yīng)力分布狀態(tài)、結(jié)構(gòu)變形狀態(tài)等，并且繪成直觀的圖形，從而幫助設(shè)計(jì)人員迅速的評(píng)價(jià)和校核設(shè)計(jì)方案。66三、有限元求解實(shí)例分析

【例1】一根由兩段組成的階梯軸，一端固定，另一端承受一個(gè)軸向載荷F3。這兩段的橫截面積分別為A(1)和A(2)，長(zhǎng)度分別為L(zhǎng)(1)和L(2)，彈性模量分別為E(1)和E(2)

，如圖所示。求出這兩段的應(yīng)力和應(yīng)變。已知數(shù)據(jù)分別為F3=100N，

671①2②3A(1)E(1)A(2)E(2)L(1)

L(2)

Φ1F2F3Φ2Φ3F1F3①②21368【解】1.離散化

把這根階梯軸看成是由兩個(gè)單元組成的，節(jié)點(diǎn)選在截面積突變處，兩個(gè)單元的連接處是一個(gè)節(jié)點(diǎn)，該階梯軸的兩端視為另外兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，所以整個(gè)結(jié)構(gòu)共有三個(gè)節(jié)點(diǎn)。這根軸是一維結(jié)構(gòu)，并只受軸向載荷，因此各單元內(nèi)只有軸向位移。三個(gè)節(jié)點(diǎn)位置的位移量分別記為、、。在整個(gè)結(jié)構(gòu)中節(jié)點(diǎn)載荷及節(jié)點(diǎn)位移均用大寫字母標(biāo)記，其角標(biāo)為節(jié)點(diǎn)在總體結(jié)構(gòu)中的編碼，簡(jiǎn)稱總碼。

①②21369

下面分析某等截面單元（e）。當(dāng)兩端分別承受兩個(gè)軸向力和作用時(shí)的位移情況。根據(jù)材料力學(xué)的知識(shí)可知，在兩端節(jié)點(diǎn)i、j處的位移量和與軸向力和的關(guān)系式為：2）求單元?jiǎng)偠染仃?0

在分析單元?jiǎng)偠染仃嚂r(shí)，載荷F和位移等參數(shù)的上角標(biāo)為該單元的編碼，下角標(biāo)為該單元內(nèi)節(jié)點(diǎn)的局部編碼。上兩式可寫成：或簡(jiǎn)寫為：注意:71式中——為單元?jiǎng)偠染仃嚮騿卧匦跃仃?，其階數(shù)等于單元中所包含的節(jié)點(diǎn)數(shù)；——為單元節(jié)點(diǎn)力向量（列陣）；72——為單元節(jié)點(diǎn)位移向量（列陣），也為單元自由度列陣；將單元?jiǎng)偠染仃嚫膶懗删仃嚨臉?biāo)準(zhǔn)形式，則73

該矩陣中任意一個(gè)元素都稱為單元?jiǎng)偠认禂?shù)，它表示：

該單元內(nèi)除節(jié)點(diǎn)j產(chǎn)生單位位移外，其余各節(jié)點(diǎn)的位移均為零時(shí)在節(jié)點(diǎn)i

處所引起的載荷。743.總體剛度矩陣的集成和總體平衡方程的寫出

該階梯軸上三個(gè)節(jié)點(diǎn)位移、、和三個(gè)節(jié)點(diǎn)軸向力分別組成該整體結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)位移向量和節(jié)點(diǎn)軸向力向量。

兩向量間的轉(zhuǎn)換關(guān)系可表示為或

①②21375

上式中的轉(zhuǎn)移矩陣稱為總體剛度矩陣或總體特性矩陣，其階數(shù)等于總體結(jié)構(gòu)中的節(jié)點(diǎn)總數(shù)。

[K]中的元素稱為總體剛度系數(shù)，它表示在整體結(jié)構(gòu)中除了節(jié)點(diǎn)j

產(chǎn)生單位位移外，其余各節(jié)點(diǎn)的位移均為零時(shí)在節(jié)點(diǎn)i處所引起的載荷。

76

求出總體剛度矩陣是進(jìn)行總體分析的主要任務(wù)，一旦獲得總體剛度矩陣，可以很容易地寫出總體平衡方程。求總體剛度矩陣[K]的方法主要由兩種：一是直接法，即根據(jù)總體剛度系數(shù)的定義求解；另一種方法是集成法，即由各單元?jiǎng)偠染仃嚽罂傮w剛度矩陣。

77

根據(jù)剛度系數(shù)的定義，當(dāng)本結(jié)構(gòu)中的節(jié)點(diǎn)2和節(jié)點(diǎn)3位移量均為零時(shí)，要使節(jié)點(diǎn)1產(chǎn)生單位位移，在節(jié)點(diǎn)1處所需施加的載荷為，此即為K11；當(dāng)節(jié)點(diǎn)1、3固定，節(jié)點(diǎn)2產(chǎn)生單位位移時(shí)，在節(jié)點(diǎn)1處所引起的載荷為，此即為K12；(1)直接法求總體剛度矩陣[K]①②21378

當(dāng)節(jié)點(diǎn)1、2固定，節(jié)點(diǎn)3產(chǎn)生單位位移時(shí)，在節(jié)點(diǎn)1處不會(huì)引起載荷，因此K13=0；當(dāng)節(jié)點(diǎn)1、3固定，節(jié)點(diǎn)2產(chǎn)生單位位移時(shí)，要在節(jié)點(diǎn)2施加的載荷為，此即為K22；還可以按此方法依次寫出其余各總體剛度系數(shù)。①②21379用直接法求總體剛度矩陣[K]

這種方法具有概念清晰的特點(diǎn)，但是在分析復(fù)雜結(jié)構(gòu)時(shí)運(yùn)算極其復(fù)雜，因而限制了它的應(yīng)用。

80(2)用集成法求總體剛度矩陣[K]

這種方法從單元?jiǎng)偠染仃嚦霭l(fā)，根據(jù)迭加原理，利用剛度系數(shù)集成的方法獲得總體剛度矩陣。這樣，首先要寫出各單元的剛度矩陣。局部碼1(1)2(1)1(2)2(2)總碼1223局部碼與總碼對(duì)應(yīng)關(guān)系81約定：82集成[K]的步驟為：1)將原單元?jiǎng)偠染仃囍械母飨禂?shù)總碼進(jìn)行標(biāo)記，則83總體平衡方程為：從上式可以看出，兩種方法獲得的總體剛度矩陣相同。2)將角標(biāo)相同的系數(shù)相加，并按總碼的順序排列，則總體剛度矩陣為844.引入支撐條件，計(jì)算節(jié)點(diǎn)位移

上式中的未知量仍不能求出，因?yàn)閇K]是一個(gè)奇異矩陣，必須引入支撐條件。在本例中支撐條件是節(jié)點(diǎn)1的位移為零，即這樣總體平衡方程簡(jiǎn)化為：

85

代入已知條件：

可求得：

865.求單元中的應(yīng)力及應(yīng)變單元1中的應(yīng)變：?jiǎn)卧?中的應(yīng)變：?jiǎn)卧?中的應(yīng)力：?jiǎn)卧?中的應(yīng)力：

87一般而言，剛度矩陣具有如下特性：1）對(duì)稱性

單元?jiǎng)偠染仃嚭涂傮w剛度矩陣都是對(duì)稱方陣，即由第j個(gè)節(jié)點(diǎn)單位位移引起的第i個(gè)節(jié)點(diǎn)載荷和由第i個(gè)節(jié)點(diǎn)單位位移引起的第j個(gè)節(jié)點(diǎn)載荷是相等的。這是彈性結(jié)構(gòu)一個(gè)共同的特點(diǎn)。這種對(duì)稱性可減少矩陣存儲(chǔ)運(yùn)算時(shí)的內(nèi)存量。

882）奇異性

單元?jiǎng)偠染仃嚭涂傮w剛度矩陣都是奇異矩陣，即它們的行列式都等于0，這樣，其逆陣就不存在。因此，對(duì)總體剛度矩陣要引入邊界條件進(jìn)行處理之后才能求解。3）稀疏性

總體剛度矩陣是零元素非常多的矩陣。結(jié)構(gòu)越大，零元素越多。大型結(jié)構(gòu)的總體剛度矩陣一般都是非常稀疏的矩陣。

89【例2】在光滑的水平面上有三個(gè)小車，他們彼此用四根彈簧相連，其連接方式如圖1-2所示。小車1又通過彈簧k1與墻壁固連。每個(gè)小車上的作用力分別為F1、F2、F3。求每個(gè)小車的位移。

9091

將每根彈簧都看成是一個(gè)單元，共有5個(gè)單元，將他們按彈簧的編號(hào)進(jìn)行單元編號(hào)。三個(gè)小車處為三個(gè)節(jié)點(diǎn)，編碼如圖。從前面的例子可以看出，對(duì)固定節(jié)點(diǎn)若無(wú)需求出其約束力時(shí)，可不予以考慮。解：(1)結(jié)構(gòu)的離散化92單元1：一端為固定約束，另一端節(jié)點(diǎn)總碼為1，則單元2：兩端節(jié)點(diǎn)總碼分別為1和2，則（2）各單元的剛度矩陣93單元3：兩端節(jié)點(diǎn)總碼也分別為1和2，則單元4：兩端節(jié)點(diǎn)總碼分別為1和3，則單元5：兩端節(jié)點(diǎn)總碼分別為2和3，則95（3）集成總體剛度矩陣96（4）由總體平衡方程求節(jié)點(diǎn)位移式中：97由此可求出三個(gè)節(jié)點(diǎn)即三個(gè)小車的位移。

98【例3】用有限元法求解某系統(tǒng)的過程中，將系統(tǒng)劃分成3個(gè)單元，這3個(gè)單元通過3個(gè)節(jié)點(diǎn)相連接，節(jié)點(diǎn)局部編碼與總體編碼的對(duì)照如下表所示，請(qǐng)寫出該系統(tǒng)的總體剛度矩陣。

局部碼1（1）1（2）2（2）1（3）2（3）總碼11223已知：

99100第四節(jié)

常用有限元軟件簡(jiǎn)介101一、通用有限元軟件的共同之處

有限元的高度通用性與實(shí)用性導(dǎo)致了有限元通用程序的發(fā)展。四十多年來(lái)，有限元通用軟件的發(fā)展在數(shù)量和規(guī)模上是驚人的。這些通用有限元軟件的共同之處可歸結(jié)為以下幾點(diǎn)：

1.功能強(qiáng)大。一般都可以進(jìn)行多種物理場(chǎng)分析，如結(jié)構(gòu)分析、溫度場(chǎng)分析、電磁場(chǎng)分析、流場(chǎng)分析、多場(chǎng)耦合分析等；

102

2.具有豐富的材料庫(kù)?？梢蕴幚矶喾N材料，如金屬、土壤、巖石、塑料、橡膠、木材、陶瓷、混凝土、復(fù)合材料等；

3.具有多種自動(dòng)網(wǎng)格劃分技術(shù)，自動(dòng)進(jìn)行單元形態(tài)、求解精度檢查及修正；

4.具有強(qiáng)大的后處理及圖像處理功能；

5.具有與多種CAD系統(tǒng)直接連接的接口；

6.具有良好的用戶開發(fā)環(huán)境；

7.具有良好的維護(hù)和培訓(xùn)能力（ＧＵＩ）。103二、幾個(gè)著名的通用有限元軟件簡(jiǎn)介ANSYSANSYS軟件是美國(guó)ANSYS公司的產(chǎn)品，該公司成立于1970年，公司總部位于美國(guó)賓夕法尼亞的匹茲堡。ANSYS軟件是融結(jié)構(gòu)、流體、電磁場(chǎng)、聲場(chǎng)和耦合場(chǎng)分析于一體的大型通用有限元軟件，可廣泛應(yīng)用于核工業(yè)、鐵道、石油化工、航空航天、機(jī)械制造、能源、汽車、國(guó)防軍工、電子、土木工程、造船、生物醫(yī)學(xué)、輕工、地礦、水利、日用家電等一般工業(yè)及科學(xué)研究。104

ANSYS公司在北京、上海、成都相繼成立了辦事處，構(gòu)成了ANSYS在中國(guó)完整的市場(chǎng)、銷售及售后服務(wù)體系。它的顯著特點(diǎn)是具有獨(dú)一無(wú)二的多場(chǎng)耦合分析功能，可處理高速變形和高度非線性問題（如沖擊、爆炸、碰撞、實(shí)體變形、板成形），邊界元流體動(dòng)力學(xué)問題（如水下結(jié)構(gòu)振動(dòng)、氣彈顫振分析）。1052.MSC.Marc

Marc軟件原為美國(guó)MARC公司的產(chǎn)品，該公司創(chuàng)建于1967年，他的創(chuàng)始人是美國(guó)著名的布朗大學(xué)教授、有限元分析的先驅(qū)者PedroMarcel。MARC公司致力于非線性有限元技術(shù)的研究、非線性有限元軟件的開發(fā)、銷售和售后服務(wù)。經(jīng)過三十多年的不懈努力，Marc軟件得到了學(xué)術(shù)界和工業(yè)界的大力推崇和廣泛應(yīng)用，建立了他在全球非線性有限元軟件行業(yè)的領(lǐng)導(dǎo)地位。1061999年6月，美國(guó)MSC公司收購(gòu)了MARC公司，相應(yīng)地將該軟件更名為MSC.Marc軟件。MSC公司創(chuàng)建于1963年，總部設(shè)在美國(guó)的洛杉磯。MSC.Marc軟件具有廣泛的應(yīng)用范圍，已成為解決復(fù)雜的工程問題，完成學(xué)術(shù)研究的高級(jí)通用有限元軟件。1073.ADIN