Ch15 勒讓德多項(xiàng)式 球函數(shù)

第十五章勒讓德多項(xiàng)式2/5/20231拉普拉斯方程的解稱為調(diào)和函數(shù)。如果用球坐標(biāo)和圓柱坐標(biāo)來表示拉普拉斯方程,則分別得到球面調(diào)和函數(shù)和圓柱調(diào)和函數(shù),或者簡稱為球面函數(shù)和圓柱函數(shù)，球面函數(shù)中含有勒讓德多項(xiàng)式，圓柱函數(shù)中包括貝塞耳函數(shù)本章將介紹特殊函數(shù)。先導(dǎo)出它的常微分方程,然后用冪級數(shù)解法求出特殊函數(shù),再通過母函數(shù)來討論各階特殊函數(shù)之間的遞推關(guān)系。最后證明特殊函數(shù)的正交性和歸一性,并敘述展開定理2/5/20232§1勒讓德微分方程及勒讓德多項(xiàng)式§15.1.1.勒讓德微分方程的導(dǎo)出在第十一章中,我們對球形區(qū)域曾經(jīng)提出過狄利克雷問題(15.1)(15.2)其中得到球坐標(biāo)系統(tǒng)下的拉普拉斯方程其中R為已知正數(shù)，引入球坐標(biāo)變換2/5/20233而邊界條件(15.2)變?yōu)?15.2)’用乘之,并移項(xiàng),得令代入方程(15.1)’得對電場中導(dǎo)體球的討論,即可歸結(jié)為這樣的定解問題2/5/20234于是有(15.3)(15.4)其中λ為泛定常數(shù),(15.4)的解與半徑r無關(guān),故稱為球面函數(shù),或簡稱為球函數(shù)兩端乘以并移項(xiàng),再令得再令代入(15.4)得2/5/20235于是我們有(15.5)(15.6)(15.6)’方程(15.6)’稱為連帶勒讓德微分方程,取m=0,則得所謂的勒讓德微分方程習(xí)慣上常令于是方程(15.6)變?yōu)?/5/20236(15.7)§15.1.2.冪級數(shù)解和勒讓德多項(xiàng)式的定義在常微分方程的解析理論中,一個標(biāo)準(zhǔn)形式的二階線性常微分方程的系數(shù)p(z)和q(z)如果都在某點(diǎn)z0解析,則z0稱為方程的常點(diǎn);只要p(z)和q(z)之一在z0點(diǎn)不解析,則z0就稱為方程的奇點(diǎn)可以證明,當(dāng)z0為常點(diǎn)時,方程具有線性無關(guān)的兩個整冪級數(shù)解.其收斂半徑等于與z0最近的方程的奇點(diǎn)到z0的距離2/5/20237(15.8)把(15.7)改寫為2/5/20238并稱之為n階勒讓德微分方程，如果再把它化為標(biāo)準(zhǔn)形式,立即看出x=0是方程的常點(diǎn),因此,在x=0的領(lǐng)域內(nèi),方程的解可以表示為冪級數(shù)形式(15.9)(15.10)(15.11)把(15.9),(15.10)和(15.11)代入方程(15.8),得到其中ck為待定系數(shù).對(15.9)逐項(xiàng)求導(dǎo),得2/5/20239因上式對x是一個恒等式,故x的各次冪的系數(shù)均必須為零,遂得從而得ck的循環(huán)公式2/5/202310(15.12)將(15.12)代入(15.9),則得方程(15.8)的含有兩個任意常數(shù)c0和c1的通解(15.13)利用循環(huán)公式(15.12)立即得級數(shù)y0(x)和y1(x)的收斂半徑2/5/202311容易看出,當(dāng)n為偶數(shù)時,y0(x)是一個多項(xiàng)式,可以證明y1(±1)發(fā)散.此時,取c1=0,則得微分方程在閉區(qū)間[-1,1]上的有界非零解,或者滿足自然邊界條件的非零解.同理,當(dāng)n為奇數(shù)時,y1(x)是一個多項(xiàng)式,可以證明y1(±1)發(fā)散.此時,取c0=0,亦得在[-1,1]上的有界非零解,或者滿足自然邊界條件的非零解通常把這種多項(xiàng)式的最高次方冪xn的系數(shù)規(guī)定然后稱之為勒讓德多項(xiàng)式，并用Pn(x)表示之.Pn(x)的表達(dá)式可以如下導(dǎo)出：由(15.12)，令k=n-2,得2/5/202312同樣,得2/5/202313借用數(shù)學(xué)歸納法,可證(15.14)下面給出前六個勒氏多項(xiàng)式的明顯表達(dá)式，并畫出P1(x),P2(x),P3(x)和P4(x)的圖形(x=cos)其中[n/2]表示不大于n/2的最大整數(shù)，于是得2/5/202314總結(jié)以上敘述,勒讓德方程(15.7)和解在x=±1有界的自然邊界條件構(gòu)成一個常微分方程的邊值問題,n(n+1)(n=0,1,2,…)即是該問題的特征值，勒讓德多項(xiàng)式即是相應(yīng)的特征函數(shù),也就是我們所求的有界非零解?？梢宰C明，n階勒讓德方程的與Pn(x)線性無關(guān)的所有其他解，當(dāng)x=±1時必為無窮大顯然2/5/202315§15.1.3.勒讓德多項(xiàng)式的微分表達(dá)式—洛德利格公式為了討論問題和計算上的方便,我們介紹勒氏多項(xiàng)式的另一種表示法,即所謂的洛德利格公式證

按二項(xiàng)式展開,有因此2/5/2023162/5/202317§15.1.4.勒讓德多項(xiàng)式的施列夫積分表達(dá)式設(shè)由哥西積分公式(3.9),得因?yàn)楣?/5/202318于是得勒氏多項(xiàng)式的施列夫利積分表達(dá)式或簡稱為施氏積分2/5/202319§2勒讓德多項(xiàng)式的母函數(shù)及其遞推公式§15.2.1.勒讓德多項(xiàng)式的母函數(shù)本節(jié)我們用另一種方法—母函數(shù)數(shù)方法—來產(chǎn)生勒氏多項(xiàng)式。由于勒氏多項(xiàng)式從拉普拉斯方程而來,因此,不妨從拉普拉斯方程的基本解出發(fā)考慮問題,如下圖(變點(diǎn))(定點(diǎn))令則現(xiàn)在討論函數(shù)2/5/202320其中z為復(fù)變數(shù),而x為絕對值不大于1的參數(shù)，因此,G(x,z)在單位圓|z|<1內(nèi)是解析函數(shù)。由復(fù)變函數(shù)論可知,當(dāng)|z|<1時,有作自變量代換它把復(fù)變數(shù)z變?yōu)閺?fù)數(shù)u,C是單位圓內(nèi)包圍原點(diǎn)z=0的封閉曲線.由于1/r是拉普拉斯方程的解,而cn(x)又只與x(或者說,只與θ)有關(guān),故cn(x)似應(yīng)為勒氏多項(xiàng)式.事實(shí)上,可以嚴(yán)格推證如下其中2/5/202321顯然,z平面上的點(diǎn)O對應(yīng)于u平面上的點(diǎn)x,z沿C走一圈時,對應(yīng)地,u圍繞點(diǎn)x也沿某條封閉曲線C’走一圈,因此,于是有2/5/202322(15.16)所以,人們把G(x,z)(或者1/r)稱為勒讓德多項(xiàng)式的母函數(shù),這里補(bǔ)充說明，在前節(jié)中，把勒氏方程的多項(xiàng)式解的最高次冪的系數(shù)規(guī)定為正好使與(15.16)式中的展開系數(shù)完全一致借助于(15.16),也可以推出Pn(x)的表達(dá)式,例如2/5/202323§15.2.2.勒讓德多項(xiàng)式的遞推公式利用展開式(15.16),不難證明勒氏多項(xiàng)式滿足以下的遞推公式(15.17)(15.18)(15.19)(15.20)(15.21)證

首先,對(15.16)式的兩端先后關(guān)于z,x求導(dǎo),得2/5/202324乘(15.20)以z,乘(15.21)以(x-z),然后相減,得此式兩端關(guān)于z的同次冪項(xiàng)的系數(shù)應(yīng)相等,于是當(dāng)時,有即(15.18)式.

其次,用(1-2xz+z2)乘(15.20),得比較兩端的系數(shù),即得(15.17)式.在(15.17)中,對x求導(dǎo),得用n乘(15.18),再與此式相加,約去因子(n+1)之后,即得(15.19)式2/5/202325§3按勒讓德多項(xiàng)式展開我們在討論付氏級數(shù)時,曾經(jīng)注意到,一個三角函數(shù)序列的正交性和歸一性是使它成為一個坐標(biāo)函數(shù)系的兩個重要性質(zhì).同理,要討論一類函數(shù)按勒氏多項(xiàng)式的付氏展開問題時,也必須首先考察勒氏多項(xiàng)式的正交性和歸一性2/5/202326§15.3.1.勒讓德多項(xiàng)式的正交性

定理15.1.勒氏多項(xiàng)式序列在區(qū)間[-1,1]上正交,即(15.22)用Pn乘前式,Pm乘后式,然后相減,并積分,得

證分別滿足方程2/5/202327因故2/5/202328§15.3.2.勒讓德多項(xiàng)式的歸一性定理15.2.(15.23)

證

今用數(shù)學(xué)歸納法加以證明，因?yàn)楣蕁=1時,(15.23)式成立.今設(shè)n=m時成立,則由遞推公式(15.17)得2/5/202329再在(15.17)中,令n=m+1,得故代入上式,則得2/5/202330即(15.23)式當(dāng)n=m+1時亦成立.又n=0時(15.23)是明顯成立的,于是整個定理得證.故稱為Pn(x)的歸一因子，勒氏多項(xiàng)式乘上歸一因子之后,即得一個在區(qū)間[-1,1]