必修五 第三章 32 一元二次不等式的解法(全)

3.2一元二次不等式及其解法理解教材新知把握熱點(diǎn)考向應(yīng)用創(chuàng)新演練第三章不等式第一課時(shí)一元二次不等式的解法(1)考點(diǎn)一考點(diǎn)二考點(diǎn)三知識(shí)點(diǎn)一知識(shí)點(diǎn)二觀察下列不等式：(1)x2>0；(2)－x2－2x≤0；(3)x2－5x＋6>0.問(wèn)題1：上述不等式各有幾個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是多少？提示：各有一個(gè)未知數(shù)x，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2.問(wèn)題2：上述三個(gè)不等式在表達(dá)形式上有何共同特點(diǎn)？提示：形如ax2＋bx＋c>0(或≤0)，其中a，b，c為常數(shù)，且a≠0.

1.定義只含有

未知數(shù)，并且未知數(shù)的

的不等式，稱為一元二次不等式．

2.一般表達(dá)式一元二次不等式的一般表達(dá)形式是ax2＋bx＋c＞0(或ax2＋bx＋c＜0或ax2＋bx＋c≥0或ax2＋bx＋c≤0)，其中a、b、c為常數(shù)，a≠0．

一個(gè)最高次數(shù)是23.解與解集使一元二次不等式成立的

叫做一元二次不等式的

，所有的解所組成的

叫做一元二次不等式的

.x的值解集合解集已知一元二次不等式x2－2x＞0，一元二次函數(shù)y＝x2－2x，一元二次方程x2－2x＝0.問(wèn)題1：二次函數(shù)的圖像與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)是多少？提示：(0,0)，(2,0)．問(wèn)題2：一元二次方程的根是什么？提示：x1＝0，x2＝2.問(wèn)題3：?jiǎn)栴}1中的坐標(biāo)與問(wèn)題2中的根有何內(nèi)在聯(lián)系？提示：交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為方程的根．問(wèn)題4：x滿足什么條件，函數(shù)圖象在x軸上方？提示：x＞2或x＜0.問(wèn)題5：能否利用問(wèn)題4得出不等式x2－2x＞0的解集？提示：能．不等式的解集為{x|x＞2或x＜0}．問(wèn)題6：不等式x2－2x＜0的解集呢？提示：{x|0＜x＜2}．解一元二次不等式可以根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)與相應(yīng)一元二次方程根的關(guān)系，先求出一元二次方程的根，再根據(jù)函數(shù)圖象與x軸的相關(guān)位置確定一元二次不等式的解集．如下表：判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有兩相異實(shí)根x1，x2(x1<x2)有兩相等實(shí)根x1＝x2＝－沒有實(shí)數(shù)根二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集

ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集

??

{x|x<x1或x>x2}{x|x≠x1}{x|x1<x<x2}R1．對(duì)一元二次不等式概念的理解

(1)“只含一個(gè)未知數(shù)”，并不是說(shuō)在代數(shù)式中不能含有其他的字母類的量，只要明確指出這些字母所代表的量，哪一個(gè)是變量“未知數(shù)”，哪一些是“參數(shù)”就可以．

(2)“次數(shù)最高是2”，僅限于“未知數(shù)”，若還含有其他參數(shù)，則次數(shù)不受此條件限制．2．①當(dāng)Δ≥0(其中a＞0)時(shí)，相應(yīng)的一元二次方程有兩個(gè)實(shí)根，ax2＋bx＋c＞0的解集可簡(jiǎn)記為“判別式大于零，取兩邊”，ax2＋bx＋c＜0的解集可簡(jiǎn)記為“判別式大于零，取中間”；②當(dāng)Δ＜0(其中a＞0)時(shí)，方程無(wú)實(shí)根，一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是R，ax2＋bx＋c＜0的解集是?.第一課時(shí)一元二次不等式的解法(1)[例1]解下列不等式：(1)x2－5x－6>0；(2)－x2＋7x>6；(3)(2－x)(x＋3)<0；(4)4(2x2－2x＋1)>x(4－x)．[思路點(diǎn)撥]

首先將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為不等式的右邊是0，左邊為ax2＋bx＋c(a>0)的形式，再求出對(duì)應(yīng)方程的根，然后結(jié)合二次函數(shù)的圖象寫出解集．[精解詳析]

(1)方程x2－5x－6＝0的兩根為x1＝－1，x2＝6.結(jié)合二次函數(shù)y＝x2－5x－6的圖象知，原不等式的解集為{x|x<－1或x>6}．(2)原不等式可化為x2－7x＋6<0.解方程x2－7x＋6＝0，得x1＝1，x2＝6.結(jié)合二次函數(shù)y＝x2－7x＋6的圖象知，原不等式的解集為{x|1<x<6}．(3)原不等式可化為(x－2)(x＋3)>0.方程(x－2)(x＋3)＝0兩根為2和－3.結(jié)合二次函數(shù)y＝(x－2)(x＋3)的圖象知，原不等式的解集為{x|x<－3或x>2}．[一點(diǎn)通]

(1)解一元二次不等式一般按照“三步曲”進(jìn)行：第一步，化二次項(xiàng)的系數(shù)為正數(shù)；第二步是求解相應(yīng)的一元二次方程的根；第三步，根據(jù)根的情況結(jié)合圖象寫出一元二次不等式的解集．

(2)當(dāng)把二次項(xiàng)的系數(shù)化為正數(shù)，并求得相應(yīng)方程的根后，也可以直接按下列技巧寫解集，即“大于0取兩邊，小于0取中間”，意指“取根的兩邊”、“夾根的中間”．如(x－1)(x－2)>0?x<1或x>2；(x－1)(x－2)<0?1<x<2.1．不等式x>x2的解集是 (

)A．{x|x>1}

B．{x|x<0}C．{x|0<x<1} D．R解析：x>x2?x(x－1)<0?0<x<1.答案：C2．不等式x2＋6x＋10<0的解集是 (

)A．?

B．RC．{x|x>5} D．{x|x<2}解析：∵Δ＝36－40＝－4<0，∴方程x2＋6x＋10＝0無(wú)實(shí)根．結(jié)合二次函數(shù)y＝x2＋6x＋10的圖象知，不等式的解集為?.答案：A3．解下列不等式：(1)2＋3x－2x2＞0；(2)x(3－x)≤x(x＋2)－1；[一點(diǎn)通]

“三個(gè)二次”之間的內(nèi)在聯(lián)系4．關(guān)于x的不等式x2＋bx＋c>0的解集是{x|x<2或x>3}，則b＝________，c＝________.答案：－5

65．若關(guān)于x的不等式ax2－6x＋a2>0的解集為{x|1<x<m}，則a＝________，m＝________.答案：－2－2[例3]

(12分)解關(guān)于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0.[思路點(diǎn)撥]

先將不等式的左邊分解因式，就此得方程x2－(a＋a2)x＋a3＝0的兩根，然后就a的取值范圍比較兩根的大小，從而寫出不等式的解集．[精解詳析]

原不等式可化為(x－a)(x－a2)>0.方程x2－(a＋a2)x＋a3＝0的兩根為x1＝a，x2＝a2 .(2分)由a2－a＝a(a－1)可知:(1)當(dāng)a<0或a>1時(shí)，a2>a.∴x>a2或x<a. (5分)(2)當(dāng)0<a<1時(shí)，a2<a，∴x>a或x<a2. (8分)(3)當(dāng)a＝0時(shí)，原不等式為x2>0，∴x≠0.

(9分)(4)當(dāng)a＝1時(shí)，原不等式為(x－1)2>0，∴x≠1.

(10分)綜上可知：當(dāng)a<0或a>1時(shí)，原不等式的解集為{x|x<a或x>a2}；當(dāng)0<a<1時(shí)，原不等式的解集為{x|x<a2或x>a}；當(dāng)a＝0時(shí)，原不等式的解集為{x|x≠0}；當(dāng)a＝1時(shí)，原不等式的解集為{x|x≠1}. (12分)[一點(diǎn)通]

含參數(shù)的不等式的解題步驟為

(1)將二次項(xiàng)系數(shù)轉(zhuǎn)化為正數(shù)；

(2)判斷相應(yīng)方程是否有根(如果可以直接分解因式，可省去此步)；

(3)根據(jù)根的情況寫出相應(yīng)的解集(若方程有相異根，為了寫出解集還要分析根的大小)．另外，當(dāng)二次項(xiàng)含有參數(shù)時(shí)，應(yīng)先討論二次項(xiàng)系數(shù)是否為0，這決定不等式是否為二次不等式．7．當(dāng)a>－1時(shí)，關(guān)于x的不等式x2＋(a－1)x－a>0的解集是________．解析：原不等式可化為(x＋a)(x－1)>0∴方程(x＋a)(x－1)＝0.的兩根為－a,1.∵a>－1，∴－a<1，所以不等式的解集為{x|x<－a或x>1}．答案：{x|x<－a或x>1}8．解關(guān)于x的不等式x2－ax－2a2<0(a∈R).解：原不等式轉(zhuǎn)化為(x－2a)(x＋a)＜0.對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根為x1＝2a，x2＝－a.(1)當(dāng)a＞0時(shí)，x1＞x2，不等式的解集為{x|－a＜x＜2a}；(2)當(dāng)a＝0時(shí)，原不等式化為x2＜0，無(wú)解；(3)當(dāng)a＜0時(shí)，x1＜x2，不等式的解集為{x|2a＜x＜－a}．綜上所述，原不等式的解集為a＞0時(shí)，{x|－a＜x＜2a}；a＝0時(shí)，x∈?；a＜0時(shí)，{x|2a＜x＜－a}．1.解一元二次不等式的一般步驟是：①化為標(biāo)準(zhǔn)形式；②確定判別式Δ＝b2－4ac的符號(hào)；③若Δ≥0，則求出該不等式對(duì)應(yīng)的二次方程的根；若Δ＜0，則對(duì)應(yīng)的二次方程無(wú)根；④聯(lián)系二次函數(shù)的圖象得出不等式的解集．特別地，若一元二次不等式左邊的二次三項(xiàng)式能分解因式，則可立即寫出不等式的解集(在兩根之內(nèi)或兩根之外)．2.解含字母參數(shù)的一元二次不等式，與解一般的一元二次不等式的基本思路是一致的，但要注意分類討論思想的運(yùn)用．

3.解一元二次不等式，應(yīng)首先嘗試因式分解法．若能夠進(jìn)行因式分解，那么在解含參數(shù)的不等式時(shí)，就可以避免了對(duì)Δ進(jìn)行討論．[例2]

已知不等式ax2＋(a－1)x＋a－1＜0對(duì)于所有的實(shí)數(shù)x都成立，求a的取值范圍．[思路點(diǎn)撥]原不等式對(duì)所有的實(shí)數(shù)x都成立，即原不等式(關(guān)于x)的解集為R.注意到二次項(xiàng)的系數(shù)為參數(shù)a，故應(yīng)分a＝0與a≠0兩種情況分類討論.當(dāng)a≠0時(shí)，可借助于“三個(gè)二次”關(guān)系求解．[精解詳析]

若a＝0，則原不等式為－x－1<0，即x>－1，不合題意．故a≠0.令f(x)＝ax2＋(a－1)x＋a－1，∵原不等式對(duì)任意x∈R都成立，∴二次函數(shù)f(x)的圖象在x軸的下方．∴a<0且Δ＝(a－1)2－4a(a－1)<0,3．若關(guān)于x的不等式x2＋x＋k>0恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．4．設(shè)a≠0，對(duì)于函數(shù)f(x)＝log3(ax2－x＋a)，若定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．[例2]

某農(nóng)貿(mào)公司按每擔(dān)200元收購(gòu)某農(nóng)產(chǎn)品，并按每100元納稅10元(又稱征稅率為10個(gè)百分點(diǎn))，計(jì)劃可收購(gòu)a萬(wàn)擔(dān).政府為了鼓勵(lì)收購(gòu)公司多收購(gòu)這種農(nóng)產(chǎn)品，決定將征稅率降低x(x≠0)個(gè)百分點(diǎn)，預(yù)測(cè)收購(gòu)量可增加2x個(gè)百分點(diǎn)．(1)寫出稅收y(萬(wàn)元)與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)要使此項(xiàng)稅收在稅率調(diào)節(jié)后，不少于原計(jì)劃稅收的83.2%，試確定x的取值范圍．[思路點(diǎn)撥]

(1)按“稅收＝收購(gòu)總金額×稅率”可建立y與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)將不等關(guān)系用不等式表示，從而求解．[精解詳析]

(1)降低稅率后的稅率為(10－x)%，農(nóng)產(chǎn)品的收購(gòu)量為a(1＋2x%)萬(wàn)擔(dān)，收購(gòu)總金額為200a(1＋2x%)萬(wàn)元．依題意：y＝200a(1＋2x%)(10－x)%＝a(100＋2x)(10－x)(0<x<10)．

(5分)(2)原計(jì)劃稅收為200a·10%＝20a(萬(wàn)元)．依題意得a(100＋2x)(10－x)≥20a×83.2%， (9分)化簡(jiǎn)得x2＋40x－84≤0， (10分)∴－42≤x≤2.又∵0<x<10，∴0<x≤2.∴x的取值范圍是0<x≤2. (12分)[一點(diǎn)通]

解不等式應(yīng)用題，一般可按以下四步進(jìn)行

(1)閱讀理解、認(rèn)真審題，把握問(wèn)題中的關(guān)鍵量，找準(zhǔn)不等關(guān)系；

(2)引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，用不等式表示不等關(guān)系；

(3)解不等式；

(4)回代實(shí)際問(wèn)題．5．某產(chǎn)品的總成本y(萬(wàn)元)與產(chǎn)量x(臺(tái))之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝3000＋20x