第一章隨機事件及其概率

第一章隨機事件及其概率概率論的簡史概率論是一門研究隨機現(xiàn)象規(guī)律的數(shù)學(xué)分支,起源于17世紀中葉；刺激數(shù)學(xué)家思考概率論問題確是來自賭博問題。

布萊士·帕斯卡（BlaisePascal1623—1662）法國著名的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、哲學(xué)家和散文家。主要貢獻是在物理學(xué)上，發(fā)現(xiàn)了帕斯卡定律，并以其名字命名壓強單位。費馬(PierredeFermat，1601～1665）法國著名數(shù)學(xué)家，被譽為“業(yè)余數(shù)學(xué)家之王”。賭徒分賭金問題兩賭徒A、B下賭金后約定誰先贏滿6局，誰就獲得全部賭金，賭了半天，A贏了5局，B贏了2局，時間很晚了，他們都不想賭了。假設(shè)每一盤甲獲勝的概率為p，乙為1-p。

問：賭金應(yīng)該怎么分？Pascal和Fermat從不同理由出發(fā)，在1654年給出正確的解法。1657年，荷蘭數(shù)學(xué)家惠更斯亦用自己的方法解決這一問題，更寫成了《論賭博中的計算》一書，這就是概率論中最早的論著。三人提出的解法中都首先涉及到數(shù)學(xué)期望這一概念，并由此奠定了古典概率論的基礎(chǔ)。江山代有人才出，各領(lǐng)風騷數(shù)百年使概率論成為數(shù)學(xué)分支的另一奠基人是瑞士的數(shù)學(xué)家雅各布-伯努利（1654-1705）他的主要貢獻是建立了概率論中的第一個極限定理。我們稱之為“伯努利大數(shù)定理”。這一定理在他死后1713年發(fā)表在他的遺著《猜度論》中。1750年，法國數(shù)學(xué)家棣莫弗（1667-1754）出版其著作《分析雜論》，當中包含著名的“棣莫弗-拉普拉斯定理”，這就是概率論中第二個極限定理的原始初形。1812年法國數(shù)學(xué)家拉普拉斯（1749-1827）出版的《概率分析理論》

中，首先明確地對概率做了古典的定義。另一個在概率論史上的代表人物是法國數(shù)學(xué)家泊松（1781—1840），他推廣了伯努利形式下的大數(shù)定律，研究得出一種新的分布，即泊松分布。概率論即他們之后其中心課題則集中在推廣和改進伯努利大數(shù)定律及中心極限定理。1781年6月21日生于法國盧瓦雷省的皮蒂維耶，1840年4月25日卒于法國索鎮(zhèn)。1798年入巴黎綜合工科學(xué)校深造。1806年任該校教授，1812年當選為巴黎科學(xué)院院士。忽如一夜春風來千樹萬樹梨花開最早對概率論來嚴格化進行嘗試的，是俄國數(shù)學(xué)家伯恩斯坦（1880—1968）和奧地利數(shù)學(xué)家馮·米西斯（1883—1953）。他們都提出了一些公理來作為概率論的前提，但他們的公理理論都是不完善的。作為測度論的奠基人，博雷爾（Borel）在1905年指出概率論理論如果采用測度論術(shù)語來表述將會方便許多，并首先將測度論方法引入概率論重要問題的研究，特別是1909年他提出并在特殊情形下解決了隨機變量序列，服從強大數(shù)定律的條件問題。博雷爾的工作激起了數(shù)學(xué)家們沿這一嶄新方向的一系列探索，其中尤以原蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家科爾莫戈羅夫（1903—1987）的研究最為卓著．他給出了概率的公理化定義。概率論不僅是“數(shù)學(xué)之樹”的一龐大支條，而且還有若干強壯的根，直接扎在實際應(yīng)用環(huán)境的大地上．“芳草有情皆礙馬，好云無處不遮樓”。正如英國的邏輯學(xué)家和經(jīng)濟學(xué)家杰文斯（1835—1882）所說，概率論是“生活真正的領(lǐng)路人，如果沒有對概率的某種估計，我們就寸步難行，無所作為?！爆F(xiàn)實中有趣的概率的例子以1年365天計（不考慮閏年因素），你如果肯定在某人群中至少要有兩人生日相同，那么需要多少人？大家不難得到結(jié)果，366人，人數(shù)只要超過365人，必然會有人生日相同。但如果一個班有50人，他們中間有人生日相同的概率是多少？據(jù)統(tǒng)計，飛機旅行是目前世界上最安全的交通工具，它絕少發(fā)生重大事故，造成多人傷亡的事故率約為三百萬分之一，假如你每一天坐一次飛機，這樣飛上8200年，你才有可能會不幸遇到一次飛行事故，三百萬分之一的事故概率，說明飛機這種交通工具是最安全的，它甚至比走路和騎自行車都要安全。走路時被汽車撞死：危險概率是1／40000；騎自行車時死于車禍：危險概率是1／130000；死于車禍：危險概率是1／5000。“36選7”玩法的頭獎命中概率為1/8347680，七樂彩中一等獎的概率為203萬分之一，雙色球全中紅球的中獎概率為110萬分之一，而雙色球中一等獎的概率大概是1800萬分之一。有笑話說全世界的數(shù)學(xué)家都不會去買彩票，因為他們知道，在買彩票的路上被汽車撞死的概率遠高于中大獎的概率。科學(xué)日益發(fā)展，數(shù)學(xué)于生活中之應(yīng)用愈來愈廣，概率統(tǒng)計在我們的生活中幾乎無處不在，學(xué)好概率確是較難，可探究過程于我們卻是受益匪淺。第一章隨機事件及概率

隨機事件隨機事件的概率古典概率模型（等可能概率模型）條件概率隨機事件的獨立性§1.1隨機事件一、隨機試驗隨機現(xiàn)象：在一定條件下，并不總是出現(xiàn)相同結(jié)果的現(xiàn)象，稱為隨機現(xiàn)象。例：拋一枚硬幣，觀察出現(xiàn)正面或反面的情況。思考：隨機現(xiàn)象是否有規(guī)律？（3）試驗中一切可能出現(xiàn)的結(jié)果可以預(yù)先知道。－－必然性（統(tǒng)計規(guī)律性）隨機試驗必需滿足：（1）在相同條件下，可以進行大量次重復(fù)試驗。――可重復(fù)性（2）每次試驗中可以出現(xiàn)不同的結(jié)果，而不能預(yù)先知道發(fā)生哪種結(jié)果。――偶然性隨機試驗一般用字母E表示。例1E1：擲一枚硬幣，觀察其正面（H）和反面（T）出現(xiàn)的情況。試驗的條件是擲一枚硬幣，條件實現(xiàn)（一枚硬幣擲出）就完成一次試驗。例2E2：將一枚硬幣擲2次，觀察正、反面出現(xiàn)的情況。試驗的條件就是把硬幣擲2次，條件實現(xiàn)（硬幣擲了2次）就完成一次試驗。隨機事件：一個隨機試驗E中可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件稱為該試驗的隨機事件（簡稱事件）通常用字母A、B、C等表示。

基本事件：試驗E的每一可能的結(jié)果叫做樣本點，一般用ω表示，{ω}表示基本事件。樣本空間：基本事件的全體組成的集合稱為該試驗的樣本空間。

二、隨機事件必然事件：每次試驗中必然發(fā)生的事件稱為必然事件，記為Ω。不可能事件：每次試驗中不可能發(fā)生的事件稱為不可能事件，記為Φ。

（1）樣本空間的構(gòu)成是由試驗的條件和觀察的目的所決定。注意（2）基本事件是事件的一種，一般的事件是由若干個基本事件共同組成的，因而是樣本空間的子集，通常又稱其為復(fù)合事件。（3）隨機事件的另一個定義：樣本空間Ω的某個子集。事件A發(fā)生當且僅當試驗中出現(xiàn)A的某個基本事件。三、事件之間的關(guān)系和運算

定義：若事件A發(fā)生必導(dǎo)致事件B發(fā)生，則稱事件B包含事件A。記為:B

A或A

B。

（1）事件的包含關(guān)系結(jié)論：若事件A

B且A

B，則稱事件A和事件B相等，記為A＝B。即：事件A、B所包含的基本事件是一樣的。

定義：事件A，B至少有一個發(fā)生，稱為事件A與B的和（或稱為并），記為A∪B（2）事件的和定義：2個事件A，B都發(fā)生，稱為事件A與B的交（或積），記為A∩B（或AB）。

（3）事件的交定義：“事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生”也是一個事件，稱為A與B的差。記為A－B。

（4）事件的差

定義：在一次試驗中，若事件A、B不能同時發(fā)生，即AB＝Ф，則稱事件A、B是互不相容的事件。結(jié)論：從基本事件說，互不相容事件就是沒有公有的基本事件。顯然，在一次試驗中，兩個基本事件不能同時發(fā)生，所以任何兩個基本事件都是互不相容事件。

（5）事件的互不相容性定義：若A∪B＝Ω，AB＝Ф，則稱A、B為相互對立的事件（簡稱互逆），事件A的逆事件又可記為。結(jié)論：A、B互逆A、B互不相容；

A、B互不相容A、B互逆。

（6）逆事件(對立事件)交換律：A∪B＝B∪A，AB＝BA結(jié)合律：(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)，

(AB)C＝A(BC)分配律：(AB)∪C＝(A∪C)·(B∪C)，

(A∪B)C＝(AC)∪(BC)

（7）事件的運算規(guī)律德摩根公式：例1、在一個口袋里裝有紅、黃、白三種球，每種球都不止一個，一次任取兩個球，觀察它們的顏色。設(shè)A＝{兩個同色球}，B＝{至少一個紅色球}，問A∪B由哪些基本事件組成？例2、設(shè)A、B、C為三個事件，試將下列事件用A、B、C表示出來。（1）三個事件都發(fā)生；（2）三個事件都不發(fā)生；（3）三個事件至少有一個發(fā)生；（4）A發(fā)生，B、C不發(fā)生；（5）A、B都發(fā)生，C不發(fā)生；（6）三個事件中至少有兩個發(fā)生；（7）不多于一個事件發(fā)生；（8）不多于兩個事件發(fā)生。

§1.2隨機事件的概率一、事件的頻率定義：如果在n次重復(fù)隨機試驗中，事件A發(fā)生了nA次，那么就稱比值fn(A)為事件A發(fā)生的頻率，其中，nA稱為A在這n次試驗中發(fā)生的頻數(shù)。說明由頻率的定義可見，如果事件A發(fā)生的可能性愈大，頻率就愈大；另一方面，頻率還有穩(wěn)定性，即當n很大時，頻率穩(wěn)定在一個固定值附近擺動。二、概率的定義（1）概率的統(tǒng)計定義定義1：在同一組條件下所作的大量重復(fù)試驗中，如果事件A發(fā)生的頻率總是在一個確定的常數(shù)p

附近擺動，并且逐漸穩(wěn)定于p，那末數(shù)p就表示事件A發(fā)生的可能性大小，并稱它為事件A的概率，記作。（1）對任意事件A，。（2）。（3）對任意有限多個互不相容的事件A1、A2…Am

有。對任意隨機試驗E，頻率具有性質(zhì)：（2）概率的公理化定義定義2：設(shè)E是隨機試驗，Ω是E的樣本空間，對于E的每一個事件A對應(yīng)唯一的實數(shù)值，記為，稱為事件A的概率，如果集合函數(shù)

滿足下列條件：（1）非負性：（2）規(guī)范性：（3）可列可加性：是任意無窮多個互不相容的事件，有

這3條也是概率的三個基本性質(zhì)，此外概率還有一些其他性質(zhì)：概率的加法公式可推廣到有限個事件的并的情形。如：這個式子稱為“多除少補原理”.§1.3等可能概型等可能概型（古典概型）：如果一個隨機試驗E具有如下的特征，則稱為等可能概型。（1）樣本空間是由有限個基本事件組成的；（2）每一個基本事件在一次試驗中發(fā)生的可能性是相同的。定理：在古典概型中，若樣本空間包含的基本事件總個數(shù)為n，其中事件A包含的基本事件個數(shù)為k，則事件A的概率為

古典概型中概率的計算例1、盒中有a個黑球，b個白球，把球隨機地一只只取出（不放回），求事件A：“第k（1≤k≤a＋b）次取到黑球”的概率。

分析：考慮隨機試驗E：‘‘把a+b個球全部取出依次放在排列成一直線的a+b個位置上，觀察可能得到的a+b個球的全排列’’，事件A：‘‘第k次取到黑球’’，則排列的第k個位置上必定放的是黑球，這個黑球是a個黑球的任意一個黑球，一旦第k個位置上的黑球放定，而另外的a+b-1個位置應(yīng)該是剩下的a+b-1個球的全排列，故隨機事件A是由a（a+b-1）！個基本事件組成，故P(A)=a(a+b-1)!/(a+b)!=a/a+b發(fā)現(xiàn)：第k次取到黑球的概率與k無關(guān)。

抽簽與順序無關(guān)！例2、一盒中含有N－1個黑球，一個白球，每次從盒中隨機地取一只球，并還入一只黑球，這樣繼續(xù)下去，求事件A：“第k次取到黑球”的概率。

解：顯然，這是一個古典概型的問題，樣本空間的大小為；而要求概率的事件A所包含的基本事件個數(shù)就不容易計算了，但可考慮其逆事件，包含的基本事件數(shù)為：

§1.4條件概率與乘法公式一、條件概率的定義在實際問題中，除了要知道事件A的概率外，有時還要考慮在“已知事件B發(fā)生”的條件下，事件A發(fā)生的概率。一般情況下，兩者的概率是不相等的，為了區(qū)別所見，我們把后者稱為條件概率，記為：定義：A，B兩個事件，P(B)>0，稱為B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的條件概率。如：注意：（1）條件概率也是概率，所以，它滿足概率的一切性質(zhì)。（2）一般的，概率與條件概率之間沒有大小關(guān)系，但是有一種情況例外。（3）在古典概型中，設(shè)樣本空間是由n個基本事件組成，若事件B包含m個基本事件(m>0)，AB包含k個基本事件，則計算條件概率有兩個辦法：

1、縮小樣本空間；2、用公式計算。

例如：考慮兩個孩子的家庭

1.事件A=“家中至少有一個女孩”2.事件B=“家中至少有一個男孩”求：用兩個辦法例1：有10個產(chǎn)品，其中4個是次品，從中不放回的抽取2個，已知取出的一個是次品的條件下另外一個也是次品的概率。解：令A(yù)：“第一個的是次品”，B：“第二個是次品”，則所求的是P(B|A)，根據(jù)條件概率的求法，二、概率的乘法公式定理：兩個事件的交的概率等于其中一個事件的概率與另一事件在前一事件發(fā)生下的條件概率的乘積。即：P(AB)=P(B)P(A∣B)＝P(A)P(B∣A)這是兩個事件的交，我們可以推廣到求有限多個事件的交：例1、n根繩子的2n個端口任意兩兩連接，求：恰好形成n個圈的概率？令：“第i根繩子結(jié)成一個圈”，解例2：袋中有一個白球一個黑球，現(xiàn)每次從中取出一個球，若取出的是白球，則把白球放回且再另放入一個白球，直至取出黑球為止，求取了n次都是白球的概率。令：“第i次取出的是白球”，例3.判斷題（1）n張獎券中有k張有獎（k<n）,n個人依次抽獎，先抽的中獎概率大。（2）

若已知第一個人未中獎，則第二個人中獎的概率將增大。錯。對。例2：為了防止意外，礦井中裝有A，B兩種報警設(shè)備，已知A單獨使用時有效的概率為0.92，設(shè)備B單獨使用時有效的概率為0.93，在設(shè)備A失效的條件下，設(shè)備B有效的概率為0.85，求發(fā)生意外時至少有一個報警設(shè)備有效的概率。解：令A(yù)：“A設(shè)備有效”，B：“B設(shè)備有效”，已知：P(A)=0.92，P(B)=0.93,三、全概率公式和貝葉斯公式

1、劃分：設(shè)Ω為隨機試驗E的樣本空間，為E的一組事件，若

（1）（2）則稱為樣本空間的一個有窮劃分（或稱為完備事件組）。

設(shè)Ω為隨機試驗E的樣本空間，為樣本空間的一個劃分。則：

2、全概率公式與貝葉斯公式例3.某電子設(shè)備廠所用的晶體管由甲、乙、丙三家元件制造廠提供。三家制造廠提供的晶體管的數(shù)量比是1：2：3，三家制造廠生產(chǎn)的晶體管的次品率分別為4%，3.5%，3%。隨機的從設(shè)備廠所用的晶體管中抽取一只，求：

1.取出的晶體管是次品的概率。

2.若取出的晶體管是次品，則它是由甲廠生產(chǎn)的概率。例4、產(chǎn)品整箱出售，每箱20個。各箱有0，1，2個次品的概率分別為0.7，0.2，0.1。一位顧客欲購買一箱產(chǎn)品，在購買時，營業(yè)員隨機地取一箱，而顧客從中任取4只檢查，若無次品，則買下該箱產(chǎn)品，否則退貨，求（1）顧客買下該箱產(chǎn)品的概率；（2）已知顧客買下一箱產(chǎn)品，則該箱都是正品的概率為多少？例5、一種診斷某癌癥的試劑，經(jīng)臨床試驗有如下記錄：有癌癥陽性的概率為95%，無癌癥陰性的概率為95%。現(xiàn)用該試劑在某社區(qū)進行癌癥普查。設(shè)該社區(qū)癌癥發(fā)病率為0.5%，問某人反應(yīng)為陽性時，該人犯癌癥的概率。事件A＝“檢測結(jié)果是陽性”事件B＝“該人犯癌癥”一、兩個事件的獨立性§1.5事件的獨立性例1、在20個產(chǎn)品中有2個次品，從中接連抽兩個產(chǎn)品，第一個產(chǎn)品抽得后放回，再抽第二個產(chǎn)品，求（1）已知第一次取得次品的情況下，第二次取得次品的概率；（2）第二次取得次品的概率。解：設(shè)事件A＝{第一次抽到次品}，事件B＝{第二次抽到次品}，（1）因是有放回的：P(B|A)＝;（2）因是有放回的：P(B)＝P(B|A)＝所以，P(B|A)＝P(B)。定義:設(shè)事件A、B是某一隨機試驗的任意兩個事件，若滿足，則稱事件A、B互相獨立，記為i.d.。

思考：獨立和互不相容間的關(guān)系？定理：若事件A與B相互獨立，且獨立擴張定理：若事件A與B獨立，則、也相互獨立。二、多個隨機事件的獨立性

定義：設(shè)事件，若有則稱相互獨立