生醫(yī)信號(hào)處理課件1隨機(jī)信號(hào)數(shù)字特征

信自學(xué)院生醫(yī)系生物醫(yī)學(xué)信號(hào)處理第一章隨機(jī)信號(hào)分析21.1隨機(jī)信號(hào)概述1.1.1信號(hào)的一般分類一、確定性信號(hào)和隨機(jī)信號(hào)1、確定性信號(hào)：2、隨機(jī)信號(hào)（隨機(jī)過(guò)程）：3圖中每一條曲線代表隨機(jī)信號(hào)的一個(gè)樣本隨機(jī)信號(hào)X(t)二、周期信號(hào)與非周期信號(hào)三、連續(xù)時(shí)間信號(hào)與離散時(shí)間信號(hào)41.1.2隨機(jī)過(guò)程的分類5一、按照隨機(jī)信號(hào)X（t）的時(shí)間和狀態(tài)是連續(xù)還是離散來(lái)分類：

1、連續(xù)型隨機(jī)過(guò)程

2、連續(xù)隨機(jī)序列63、離散隨機(jī)過(guò)程

4、離散隨機(jī)序列

7二、按照隨機(jī)信號(hào)的樣本函數(shù)形式的不同來(lái)分類：1、確定的隨機(jī)信號(hào)：2、不確定的隨機(jī)信號(hào)：8三、

按照隨機(jī)過(guò)程的分布函數(shù)（或概率密度）的不同特性進(jìn)行分類9按照隨機(jī)過(guò)程的功率譜特性寬帶的和窄帶的白色的和有色的1.2單一隨機(jī)信號(hào)的基本特征10為了完整地描述隨機(jī)信號(hào)統(tǒng)計(jì)特征需要采用隨機(jī)信號(hào)各個(gè)時(shí)刻取值的高階概率密度函數(shù)，即每一時(shí)刻一階概率密度函數(shù)

每一時(shí)刻二階概率密度函數(shù)

每一時(shí)刻三階概率密度函數(shù)采用階數(shù)越高，描述越完整，但實(shí)際很難做到，處理計(jì)算太繁瑣，很少采用。通常用一階、二階統(tǒng)計(jì)特征描述，如均值、均方、自相關(guān)函數(shù)、功率譜等。1.2.1概率密度函數(shù)（概率分布）11概率密度函數(shù)是隨機(jī)變量分布函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，表示隨機(jī)變量取值的統(tǒng)計(jì)特性。隨機(jī)過(guò)程的概率分布函數(shù)一、

一維概率分布（一階概率密度）對(duì)于任意的時(shí)刻t，X(t)是一個(gè)一維隨機(jī)變量，設(shè)x為任意實(shí)數(shù)，定義為隨機(jī)過(guò)程X(t)的一維分布函數(shù)。12若的一階偏導(dǎo)數(shù)存在，則定義

為隨機(jī)過(guò)程X(t)的一維概率密度。13二、

二維概率分布（二階概率密度）對(duì)于隨機(jī)過(guò)程X(t)，在任意兩個(gè)時(shí)刻t1和t2可得到兩個(gè)隨機(jī)變量X(t1)和X(t2)，可構(gòu)成二維隨機(jī)變量{X(t1),X(t2)}，它的二維分布函數(shù)稱為隨機(jī)過(guò)程X(t)的二維概率分布函數(shù)。若對(duì)x1,x2的偏導(dǎo)數(shù)存在，則定義為隨機(jī)過(guò)程X(t)的二維概率密度。14三、n維概率分布（n階概率密度）對(duì)于任意的時(shí)刻t1,t2,…,tn，X(t1),X(t2),…,X(tn)是一組隨機(jī)變量，定義這組隨機(jī)變量的聯(lián)合分布為隨機(jī)過(guò)程X(t)的n維概率分布，即定義為隨機(jī)過(guò)程X(t)的n維概率分布函數(shù)。為隨機(jī)過(guò)程X(t)的n維概率密度。1.2.2隨機(jī)信號(hào)的數(shù)字特征15概率密度函數(shù)能完整地表現(xiàn)隨機(jī)變量和隨機(jī)信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性，但是實(shí)際中往往很難求其概率密度函數(shù)。處理后信號(hào)也并不需要了解其全部統(tǒng)計(jì)特性，這時(shí)只需了解隨機(jī)過(guò)程在某一時(shí)刻的平均值和實(shí)際值相對(duì)于這個(gè)平均值的分散程度，所以可以引用隨機(jī)變量的均值、方差等數(shù)字特征。隨機(jī)變量常用數(shù)字特征：隨機(jī)信號(hào)常用數(shù)字特征：一、

數(shù)學(xué)期望（均值）：反映隨機(jī)過(guò)程在各時(shí)刻的平均值16對(duì)于任意的時(shí)刻t，X(t)是一個(gè)隨機(jī)變量，將這個(gè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望定義為隨機(jī)過(guò)程的數(shù)學(xué)期望，記為mX(t)，即二、均方值（方差）17均方對(duì)于任意的時(shí)刻t，X(t)是一個(gè)隨機(jī)變量，該隨機(jī)變量X(t)的二階原點(diǎn)矩稱為隨機(jī)過(guò)程的均方。方差對(duì)于任意的時(shí)刻t，X(t)是一個(gè)隨機(jī)變量，該隨機(jī)變量X(t)的二階中心矩稱為隨機(jī)過(guò)程的方差，記為D[X(t)]，即1819

三、自相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)20數(shù)字特征表示單一時(shí)刻隨機(jī)變量的特征，自相關(guān)函數(shù)表征信號(hào)在不同時(shí)刻取值間的關(guān)聯(lián)程度。21

1、自相關(guān)函數(shù)——t1時(shí)刻隨機(jī)變量X(t1)和t2時(shí)刻隨機(jī)變量X(t2)乘積的統(tǒng)計(jì)均值。

222、自協(xié)方差函數(shù)——把均值（直流分量）除去后做剩余部分的相關(guān)函數(shù)。

設(shè)X(t1)和X(t2)是隨機(jī)過(guò)程X(t)在t1和t2二個(gè)任意時(shí)刻的狀態(tài)，稱X(t1)和X(t2)的二階聯(lián)合中心矩為X(t)的自協(xié)方差函數(shù)233、二者關(guān)系補(bǔ)充定理241、求極限與求數(shù)學(xué)期望次序可換2、隨機(jī)信號(hào)的積分運(yùn)算與數(shù)學(xué)期望運(yùn)算次序可換3、隨機(jī)信號(hào)導(dǎo)數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于其數(shù)學(xué)期望的導(dǎo)數(shù)4、隨機(jī)信號(hào)導(dǎo)數(shù)的自相關(guān)函數(shù)，等于可微隨機(jī)信號(hào)自相關(guān)函數(shù)的二階混合偏導(dǎo)數(shù)5、隨機(jī)信號(hào)積分運(yùn)算與數(shù)學(xué)期望運(yùn)算次序可換6、求隨機(jī)信號(hào)積分的相關(guān)函數(shù)，只要對(duì)隨機(jī)信號(hào)的相關(guān)函數(shù)作兩次積分即可1.3平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程和遍歷性過(guò)程

1.3.1平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程25一、嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程及其數(shù)字特征1、嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的定義：2、嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的一、二階概率密度函數(shù)及數(shù)字特征26二、寬平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)

1.3.2遍歷性過(guò)程27為了求X（t）的統(tǒng)計(jì)特性，需要知道X（t）無(wú)窮多個(gè)樣本，這在實(shí)際工作中顯然是不現(xiàn)實(shí)的。因?yàn)槲覀冊(cè)趯?shí)際工作中能得到的往往是一次實(shí)驗(yàn)記錄，也即一個(gè)樣本函數(shù)。既然平穩(wěn)隨機(jī)信號(hào)的均值與時(shí)間無(wú)關(guān)，自相關(guān)函數(shù)又與時(shí)間選取的位置無(wú)關(guān)，那么，能否用一次的實(shí)驗(yàn)記錄代替一族記錄來(lái)計(jì)算的均值和自相關(guān)函數(shù)呢？對(duì)一部分平穩(wěn)信號(hào)，答案是肯定的。一、遍歷性過(guò)程的定義1、隨機(jī)過(guò)程的兩種時(shí)間平均-----時(shí)間均值和時(shí)間相關(guān)函數(shù)2、嚴(yán)遍歷性過(guò)程的定義：各種時(shí)間平均依概率1收斂于相應(yīng)的集合平均28

293、寬遍歷性過(guò)程的定義30

其中滿足①稱X（t）的均值具有遍歷性；滿足②稱X（t）的自相關(guān)函數(shù)具有遍歷性。31隨機(jī)信號(hào)的各態(tài)遍歷特性(ergodicity)，使我們能由單一樣本函數(shù)的時(shí)間平均來(lái)代替集合（ensemble）平均。隨機(jī)信號(hào)的平穩(wěn)特性可使我們能從任意時(shí)間原點(diǎn)開始求取統(tǒng)計(jì)特征，使得在實(shí)際工作中，估計(jì)統(tǒng)計(jì)平均量成為可實(shí)現(xiàn)。思考題信號(hào)的取值在+1與-1之間均勻分布，但對(duì)每一個(gè)樣本，信號(hào)的值不隨時(shí)間變化。求：總體均值？時(shí)間均值？32思考題信號(hào)的取值是二值的（0或A)，每隔T秒變一次，但每次的具體取值是隨機(jī)且相互獨(dú)立的，取0和取A的概率各為1/2。問(wèn)其均值意義下是否平穩(wěn)？是否各態(tài)遍歷？331.3.3平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)34（4）（5）（6）35（7）（8）361.4隨機(jī)過(guò)程的聯(lián)合概率分布和互相關(guān)函數(shù)

1.4.1兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程的聯(lián)合概率分布設(shè)兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程X(t)和Y(t)，它們的概率密度分別為：則它們的n+m維聯(lián)合概率密度函數(shù)為3738隨機(jī)過(guò)程X(t)和Y(t)的四維聯(lián)合概率密度1.4.2互相關(guān)函數(shù)設(shè)有兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程X(t)和Y(t)，它們?cè)谌我鈨蓚€(gè)時(shí)刻t1、t2取值為隨機(jī)變量X(t1)和Y(t2)，則它們的互相關(guān)函數(shù)為：39互協(xié)方差函數(shù)設(shè)有兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程X(t)和Y(t)，它們?cè)谌我鈨蓚€(gè)時(shí)刻t1、t2取值為隨機(jī)變量X(t1)和Y(t2)，則它們的互協(xié)方差函數(shù)為：40兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程的幾種關(guān)系414、5、兩個(gè)寬平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程X(t)和Y(t)聯(lián)合寬平穩(wěn)（或稱寬平穩(wěn)相依）的條件：421.4.3聯(lián)合寬平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)43當(dāng)兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程聯(lián)合平穩(wěn)，時(shí)間互相關(guān)函數(shù)等于集合互相關(guān)函數(shù)時(shí)，稱兩者具有聯(lián)合寬遍歷性。441.5離散時(shí)間隨機(jī)過(guò)程

隨機(jī)信號(hào)的采樣定理：如果隨機(jī)信號(hào)x(t)的功率譜是限帶的，其最高頻率成分為fmax，當(dāng)采樣間隔Ts<1/(2fmax)時(shí)，則采樣值的加權(quán)和45可以保證：即在均方誤差意義下收斂于x(t)。1.6.1離散時(shí)間隨機(jī)過(guò)程的定義和概率分布一、定義：若參量t取離散值t1，t2，t3，…，tn時(shí)，這種隨機(jī)過(guò)程稱為離散時(shí)間隨機(jī)過(guò)程。二、概率分布4647數(shù)學(xué)特征是時(shí)間n的函數(shù)一、均值（數(shù)學(xué)期望）二、均方與方差1.6.2離散時(shí)間隨機(jī)過(guò)程的數(shù)字特征48三、自相關(guān)函數(shù)與自協(xié)方差函數(shù)若隨機(jī)過(guò)程是平穩(wěn)的，則定義49廣義平穩(wěn)離散時(shí)間隨機(jī)過(guò)程滿足：50四、遍歷性與時(shí)間平均量實(shí)離散時(shí)間隨機(jī)過(guò)程的時(shí)間均值為時(shí)間自相關(guān)函數(shù)為以上兩個(gè)時(shí)間平均量一般都是隨機(jī)變量51寬遍歷隨機(jī)序列：設(shè)X(n)是一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)序列，如果皆依概率1成立，則稱X(n)為寬遍歷隨機(jī)序列。5253實(shí)際中往往求均值和自相關(guān)函數(shù)的估值54兩個(gè)隨機(jī)序列具有聯(lián)合寬遍歷性的條件：1.6平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的譜分析

1.6.1隨機(jī)過(guò)程的譜分析一、隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度對(duì)于隨機(jī)過(guò)程來(lái)說(shuō)，由于它的持續(xù)期為無(wú)限長(zhǎng)，因而它的任何一個(gè)非零樣本函數(shù)都不滿足絕對(duì)可積與能量可積條件，所以它的傅立葉變換不存在。但是樣本函數(shù)的功率是有限的，即有因此研究隨機(jī)過(guò)程的功率譜是有意義的55令x(t)表示隨機(jī)過(guò)程X(t)的任一樣本函數(shù)，在x(t)中任意截取長(zhǎng)為2T的一段，記為56當(dāng)T為有限值時(shí)，截取函數(shù)滿足絕對(duì)可積的條件，因此其傅立葉變換存在，有定義隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度為：57兩個(gè)結(jié)論1、一般隨機(jī)過(guò)程平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程2、功率譜描述了隨機(jī)過(guò)程的功率在各個(gè)不同頻率上的分布。581.6.2平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程功率譜密度的性質(zhì)591.6.3功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系確定性信號(hào)與它的頻譜函數(shù)之間構(gòu)成傅立葉變換對(duì)。一般隨機(jī)信號(hào)：廣義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程：60常見(jiàn)確定性信號(hào)的傅立葉變換611.6.4聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的互譜密度62二、互譜密度與互相關(guān)函數(shù)的關(guān)系631、一般隨機(jī)信號(hào)：各自平穩(wěn)且聯(lián)合平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程：三、互譜密度的性質(zhì)641.6.5離散時(shí)間隨機(jī)信號(hào)的功率譜密度651.7幾種典型的隨機(jī)信號(hào)

1.7.1正態(tài)（高斯）隨機(jī)過(guò)程66一、正態(tài)（高斯）隨機(jī)過(guò)程的一般概念二、正態(tài)過(guò)程的性質(zhì)671.7.2白噪過(guò)程一、理想白噪