第3章：多自由度振動3

§3.3頻率方程的零根和重根情形看右圖示例子，其剛度矩陣和質(zhì)量矩陣為一.零根情形代入頻率方程可解得請你思考：造成固有頻率為零的數(shù)學(xué)原因和物理原因是什么？一般說來，將代入頻率方程導(dǎo)出可見，從數(shù)學(xué)的角度來看，造成頻率方程有零根的充分必要條件是由于剛度矩陣的行列式值等于零，所以此時(shí)剛度矩陣為奇異矩陣，即：此時(shí)柔度矩陣Ｆ不存在。仔細(xì)觀察剛才的系統(tǒng)，發(fā)現(xiàn)它沒有外界的約束，系統(tǒng)可以含有任意的剛體位移，因此，要求系統(tǒng)的柔度矩陣是不可能的。因此，從物理的角度來看，造成頻率方程有零根的充分必要條件是：系統(tǒng)含有剛體位移。上述系統(tǒng)稱為半正定系統(tǒng)。假定相應(yīng)的主坐標(biāo)方程為積分得表明此主振動轉(zhuǎn)化為隨時(shí)間t勻速增大的剛體位移系統(tǒng)的剛體自由度可以利用模態(tài)的正交性條件消除設(shè)為零固有頻率對應(yīng)的剛體位移模態(tài)正交性條件要求為系統(tǒng)的除剛體位移之外的其它模態(tài)將上式各項(xiàng)乘以與相應(yīng)的主坐標(biāo)并對i=2至n求和令為系統(tǒng)消除剛體位移后的自由振動，導(dǎo)出以下約束條件利用此約束條件可消去系統(tǒng)的一個(gè)自由度，得到不含剛體位移的縮減系統(tǒng)?？s減系統(tǒng)的剛度矩陣不再奇異

例4

討論兩端自由的軸上三個(gè)圓盤的扭轉(zhuǎn)振動。各盤繞轉(zhuǎn)動軸的轉(zhuǎn)動慣量分別為J，2J和J，軸的抗扭剛度均為k。

解

以，，為廣義坐標(biāo)，系統(tǒng)的動能和勢能分別為代入拉氏方程，導(dǎo)出動力學(xué)方程為其中直接驗(yàn)證可知?jiǎng)偠染仃嚍榘胝ㄏ到y(tǒng)的本征方程為解出固有頻率并可計(jì)算出相應(yīng)模態(tài)其中與零頻率對應(yīng)的一階模態(tài)為剛體轉(zhuǎn)動，其模態(tài)示意圖見下面系統(tǒng)模態(tài)1111-111-1為消去剛體轉(zhuǎn)動自由度，將剛體轉(zhuǎn)動模態(tài)代入導(dǎo)出如下的約束條件解出將解出的再代入系統(tǒng)的動能和勢能得到代入拉氏方程，縮減系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣和剛度矩陣縮減后的剛度矩陣為正定矩陣，對應(yīng)的本征方程為解出縮減系統(tǒng)的頻率和模態(tài)為縮減系統(tǒng)與未縮減系統(tǒng)的計(jì)算結(jié)果完全相同注：縮減系統(tǒng)的動力學(xué)方程也可以將約束方程直接代入原來的未縮減系統(tǒng)動力學(xué)平衡方程得到二.重根情形在復(fù)雜系統(tǒng)中會出現(xiàn)某些特征值非常接近甚至相等的現(xiàn)象，如柔性航天結(jié)構(gòu)。下面討論特征值重根時(shí)系統(tǒng)的模態(tài)和其正交問題不失一般性，假設(shè)則在計(jì)算與該頻率相對應(yīng)的模態(tài)時(shí)，振幅方程組中會有兩個(gè)方程不獨(dú)立將A的最后兩個(gè)元素的有關(guān)項(xiàng)移至等號右端和任意給定，兩組線性獨(dú)立的值，和，比如令從前面方程組解出其余n-2個(gè)的兩組解記作此組合的第1、第2階模態(tài)顯然不是唯一的,也不是正交的。為

保證它們之間滿足正交性條件，令也是原方程組的解顯然與令正交解出待定常數(shù)從而得到相互獨(dú)立且正交的第1、第2階模態(tài)。思考：這樣求得的前兩階模態(tài)與其余的n-2個(gè)模態(tài)是否正交？為什么？例

討論圖示由等剛度彈簧支承的質(zhì)點(diǎn)的平面運(yùn)動，設(shè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m

，彈簧的剛度均為k/2。解

系統(tǒng)的動力學(xué)方程為本征方程為固有頻率為取模態(tài)為滿足正交性條件取模態(tài)為也滿足正交性條件§3.4多自由度系統(tǒng)在簡諧激勵(lì)下的受迫振動回顧:單自由度系統(tǒng)的受迫振動或穩(wěn)態(tài)解為其中若不考慮阻尼,則穩(wěn)態(tài)解為設(shè)n自由度系統(tǒng)沿各個(gè)廣義坐標(biāo)均受到頻率和相位相同的廣義簡諧力的激勵(lì)，為簡單起見，先不計(jì)阻尼影響系統(tǒng)的受迫振動方程其中x為位移向量.為激勵(lì)頻率

為廣義激勵(lì)力的幅值向量設(shè)動力方程的穩(wěn)態(tài)解為其中X為受迫振動振幅組成的列陣代入動力方程導(dǎo)出記一.按剛度法求解于是有結(jié)論

因?yàn)橄到y(tǒng)的特征方程而故:激勵(lì)頻率接近系統(tǒng)的任何一個(gè)固有頻率都會使受迫振動的振幅無限增大而引起共振在求得結(jié)構(gòu)的振幅之后，若要計(jì)算結(jié)構(gòu)的最大內(nèi)力，可將最大慣性力和最大干擾力同時(shí)作用在結(jié)構(gòu)上，然后按靜力問題求解例設(shè)剛度系數(shù)為的彈簧支承的物體上受到簡諧力此物體上安裝由小物體和剛度系數(shù)為試證明在一定條件下吸振器能消除物體的受迫振動的激勵(lì)。的彈簧組成的吸振器解動力方程為:令:代入動力方程后得到計(jì)算復(fù)頻響應(yīng)矩陣其中導(dǎo)出受迫振動的振幅顯然,當(dāng)和滿足如下條件時(shí)可以得到這表明:處于共振狀態(tài)的吸振器,激勵(lì)力平衡，從而吸收了外界激勵(lì)的全部能量，使物體的振動抑制為零。的慣性力恰好與例題三層剛架。質(zhì)量、側(cè)移剛度及動荷載如圖所示，p(t)=100sintkN。每分鐘振動200次。略去橫梁變形。試求該剛架各層振幅值及各層柱的剪力幅值。解：（一）求各樓層的振幅：（二）求動內(nèi)力值：44.5947.61617.492Q圖（kN)位移（cm.)動M圖（kN.m)二.按柔度法求解運(yùn)動方程設(shè)達(dá)到穩(wěn)態(tài)后，各質(zhì)點(diǎn)按干擾力頻率作簡諧振動：代入動力方程得也可寫成若動力荷載不是直接作用在結(jié)點(diǎn)上，則以代替在平穩(wěn)階段,各質(zhì)點(diǎn)作簡諧振動,振動頻率與荷相同各質(zhì)點(diǎn)的慣性力為各質(zhì)點(diǎn)的慣性力的幅值為慣性力的幅值向量為代入方程整理得利用以上二式可以求得結(jié)構(gòu)振動的振幅向量和慣性力的幅值向量與剛度法一樣，若要計(jì)算結(jié)構(gòu)的最大內(nèi)力，可將最大慣性力和最大干擾力同時(shí)作用在結(jié)構(gòu)上，然后按靜力問題求解例：求圖示體系的穩(wěn)態(tài)振幅、動彎矩幅值圖。已知：解：利用對稱性可簡化計(jì)算對稱荷載反對稱荷載質(zhì)量1處的靜位移質(zhì)量1的位移動力系數(shù)質(zhì)量1處的靜彎矩質(zhì)量1的彎矩動力系數(shù)結(jié)論

在多自由度體系中，沒有一個(gè)統(tǒng)一的動力系數(shù)。?10.8.5?10.8.6?10.8.6?10.8.7直接解法:只適合于外部激勵(lì)為同步的簡諧激勵(lì)模態(tài)疊加法:適合于外部激勵(lì)為任意激勵(lì)動力方程坐標(biāo)變換主坐標(biāo)

幾何坐標(biāo)向量

振型矩陣

其中荷載向量

§3.5多自由度系統(tǒng)在任意激勵(lì)下的受迫振動坐標(biāo)變換式代入動力方程，并兩邊左乘得到其中主坐標(biāo)形式的動力學(xué)方程顯然是解耦的，即可利用杜哈梅積分求出各主坐標(biāo)的受迫振動特解模態(tài)疊加（振型分解)法計(jì)算步驟1.確定體系的自振頻率和主振型；2.求廣義質(zhì)量，廣義荷載；3.求廣義坐標(biāo)；4.求質(zhì)點(diǎn)位移。例：求圖示結(jié)構(gòu)在突加荷載作用下的位移解確定自振頻率和主振型主振型求廣義質(zhì)量、廣義荷載求廣義坐標(biāo)求質(zhì)點(diǎn)位移可見，第一主振型對位移的影響遠(yuǎn)大于第二主振型的影響。多自由度體系位移計(jì)算時(shí)，由于高階振型分量影響很小，故通常只計(jì)算前2～3個(gè)振型的影響即可。例.求圖示體系在突加荷載作用下的位移反應(yīng).解:m1m2已知:加荷前靜止?！?.6有阻尼的受迫振動一.多自由度系統(tǒng)的阻尼阻尼力的機(jī)理很復(fù)雜，難以給出恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)描述通常等效為粘性阻尼粘性阻尼系數(shù)系統(tǒng)僅沿第j個(gè)坐標(biāo)有單位速度時(shí)，沿第i個(gè)坐標(biāo)必須施加的力二.動力學(xué)方程利用拉格朗日方程，可以得到系統(tǒng)的動力學(xué)方程寫成矩陣形式仍然利用振型疊加法主坐標(biāo)

幾何坐標(biāo)向量

振型矩陣

其中荷載向量

結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣

結(jié)構(gòu)阻尼矩陣

結(jié)構(gòu)剛度矩陣

三.方程求解Rayleigh阻尼將代入動力學(xué)方程并兩邊左乘得到其中一般情況下，振型關(guān)于阻尼矩陣不具有正交性,因此，此時(shí)的動力學(xué)方程無法求解為便于求解，通常假定阻尼矩陣C為質(zhì)量矩陣M和剛度矩陣K的線性組合式中，a和b為兩個(gè)待定系數(shù)此時(shí)即變成對角矩陣令模態(tài)阻尼矩陣原動力學(xué)方程組