第一章 第1講 線性空間

矩陣理論李厚彪lihoubiao0189@163.co學科學學院一.引言1.方程組求解A非奇異第一章線性代數基礎1.線性空間1、什么是線性空間？3.與矩陣相關的四個基本子空間

（1）值域空間（2）行向量空間（3）核（4）左核這里討論長方陣A,m-by-n列向量空間解：證：2空間分解與維數定理定理1：設和是線性空間V的子空間，則且是唯一的，這個和就稱為直和,記為定義2:設和

是線性空間V的子空間,若對定理2：設是線性空間V的子空間,則下列命題等價（1）是直和：

（2）零向量表示法唯一；（3）例1：定義3：設是線性空間V的子空間，如果和中的每個向量的分解式是唯一的，這個和就稱為直和，記為相互等價：（2）零向量表示法唯一；定理3：設是線性空間V的子空間，則下列命題（1）是直和：（3）（4）3商空間定義1：性質1

反身律：性質2

對稱律：性質3

傳遞律：定義2：設則V的子集內的任一向量必與反之，必屬于為模M的一個同余類，稱為這

個同余類的代表.性質4：

性質5：

定義3：V的所有模M的同余類的全體組成的集合稱為V的商集，記為給商集定義如下的加法和數乘運算：（2）

（1）

下面證明如上定義的運算的合理性。（1)：（2)：

定理1商集關于上面定義的加法和數量乘法運算為數域上的一個線性空間，這個線性空間稱為V

對于子空間M的商空間，記為V/M.

定理2

設M是

V

的子空間，則

dim(V/M)=dim(V)-dim(M).證明：下面證明是商空間V/M

的一組基.(1):

先證（2-1）式在V/M內線性無關。(2):

再證任一都可由（2-1）式線性表出。由（1）和（2）知（2-1）式是商空間V/M的一組基，故dim(V/M)=dim(V)-dim(M)oyx那么，取則就是商空間V/M

的基，由就得到商空間V/M

的所有元素。

例1xoy平面向量的線性空間V的維數是dim(V)=2，而ox軸上所有向量形成V的一維子空間M，且有dim(M)=1,故，dim(V/M)=2-1=1因子空間M，可取基例2

設取M是ox軸的一維子空間，則dim(V/M)=3-1=2oxyz取

基，由就是商空間的就得到商空間的所有元素。4線性流形與凸閉包定義1：所謂線性空間的線性流形，即為其中，是V的子空間,是V的固定向量，的維數稱為線性流形P的維數。注：一維線性流形稱為直線，二維線性流形稱為平面，更高維的線性流形稱為超平面.證明：例1

任一秩為r的n元線性方程組Ax=b的解集合是組，使其解集合為P.n維向量空間的

維線性流形.反之,對任一d維線性流形P,存在一系數矩陣秩為

的n元線性方程Ax=b的解集是n維向量空間的線性流形。反之，設是的d維性流形,取一組基為作齊次方程組其中，的一組基為故此方程組的解空間是

維子空間.設記

作Ax=0

,故此方程組的解空間即為于是令則Ax=b即為所求方程組.定理1：設是的任意s+1個向量，且則形如的所有向量構成一個維數等于向量組的秩的線性流形P.證明:將（1-1）式改寫為則有相等充要條件是定理2：是V的子空間,而證明：必要性，（1）（2）同理，}充分性：定理3：中任意兩條直線包含在某個三維線性流形中。

證：{P就是三維線性流形，定理4：中兩條直線

位于一個平面內的充要條件是線性相關.證必要性：

位于平面P內，P平行于二維子空間線性相關.充分性：線性相關線性相關線性無關{線性相關線性無關

定理5

空間的兩個維數分別為k和h

的線性流形

P

和Q

包含在一個維數的線性流形中。證：設令