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化技術(shù)與現(xiàn)代計(jì)算手段相結(jié)合使用的條件下才能得以實(shí)現(xiàn)。

50年代末,一個(gè)新的數(shù)學(xué)分支——數(shù)學(xué)規(guī)劃方法被用于工程優(yōu)化設(shè)計(jì),并成為優(yōu)化設(shè)計(jì)中求優(yōu)方法的基礎(chǔ)理論。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅速發(fā)展,特別是大型電子計(jì)算機(jī)的實(shí)現(xiàn)并應(yīng)用到工程設(shè)計(jì)領(lǐng)域后,促進(jìn)了優(yōu)化方法及其理論的發(fā)展,使優(yōu)化方法及其理論日趨完善。優(yōu)化設(shè)計(jì)的設(shè)計(jì)原理是尋求最優(yōu)設(shè)計(jì)方案,設(shè)計(jì)方法是數(shù)學(xué)規(guī)劃法為理論基礎(chǔ),設(shè)計(jì)手段是電子計(jì)算機(jī)及程序。1.2優(yōu)化設(shè)計(jì)基本概念

(1)定義優(yōu)化設(shè)計(jì)是根據(jù)最優(yōu)化原理和方法綜合各方面的因素,以“人機(jī)”配合方式或“自動(dòng)探索”方式,在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行半自動(dòng)或自動(dòng)設(shè)計(jì),以選出現(xiàn)有工程條件下的最佳設(shè)計(jì)方案的一種現(xiàn)代設(shè)計(jì)方法。

設(shè)計(jì)原則:最優(yōu)設(shè)計(jì);設(shè)計(jì)手段:計(jì)算機(jī)及計(jì)算程序設(shè)計(jì)方法:最優(yōu)化數(shù)學(xué)方法

(2)設(shè)計(jì)內(nèi)容

設(shè)計(jì)內(nèi)容包括以下兩部分內(nèi)容:

①將設(shè)計(jì)的物理模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型。

數(shù)學(xué)模型的正確與否決定了優(yōu)化設(shè)計(jì)的成敗。建立數(shù)學(xué)模型,要選擇設(shè)計(jì)變量、列出目標(biāo)函數(shù),給出約束條件。

目標(biāo)函數(shù)是設(shè)計(jì)問(wèn)題所要求的的最優(yōu)指標(biāo)與設(shè)計(jì)變量之間的函數(shù)關(guān)系式。

②采用適當(dāng)?shù)淖顑?yōu)化方法,求解數(shù)學(xué)模型。

可歸納為在給定條件下(如約束條件),求目標(biāo)函數(shù)的極值(極大值或極小值)問(wèn)題。產(chǎn)品的最優(yōu)設(shè)計(jì),就是在給定載荷或環(huán)境條件下,對(duì)產(chǎn)品的性態(tài)、幾何尺寸或其它因素的限制(約束)范圍內(nèi),選擇設(shè)計(jì)變量,建立目標(biāo)函數(shù),并使其獲得最優(yōu)值。(3)設(shè)計(jì)變量

①定義:設(shè)計(jì)變量是在設(shè)計(jì)過(guò)程中,需要優(yōu)先的獨(dú)立參數(shù),這些參數(shù)均可看成是變化的量。

如零件的幾何尺寸、材料的性質(zhì)等。

優(yōu)化設(shè)計(jì)的目的就是要尋求設(shè)計(jì)變量的最優(yōu)值。

②設(shè)計(jì)變量的維數(shù)設(shè)計(jì)變量的數(shù)目,稱為設(shè)計(jì)變量的維數(shù)。若有n個(gè)設(shè)計(jì)變量(n=1,2,┅,n),則稱為n維設(shè)計(jì)問(wèn)題。

設(shè)計(jì)變量的維數(shù),又表征為設(shè)計(jì)的自由度。為了使問(wèn)題簡(jiǎn)化,應(yīng)盡量減少設(shè)計(jì)變量的數(shù)目。

設(shè)n個(gè)設(shè)計(jì)變量為x1,x2,┅,xn,用矩陣可表示為:

③設(shè)計(jì)空間每一組設(shè)計(jì)變量,對(duì)應(yīng)著一個(gè)以坐標(biāo)原點(diǎn)為起點(diǎn)的矢量,矢量端點(diǎn)的坐標(biāo)值,就是這一組設(shè)計(jì)變量,一組設(shè)計(jì)變量代表一個(gè)參數(shù)方案,其矢量端點(diǎn)稱為設(shè)計(jì)點(diǎn),設(shè)計(jì)點(diǎn)的集合,稱為設(shè)計(jì)空間。N個(gè)獨(dú)立變量為坐標(biāo)軸組成

n維設(shè)計(jì)空間,用Rn表示。(4)目標(biāo)函數(shù)

設(shè)計(jì)變量確定后,設(shè)計(jì)所要達(dá)到的指標(biāo),如經(jīng)濟(jì)性指標(biāo)、性能指標(biāo)等,可以表示成設(shè)計(jì)變量的函數(shù):

稱為目標(biāo)函數(shù)。在優(yōu)化設(shè)計(jì)中,如果只有一個(gè)目標(biāo)函數(shù),稱為單目標(biāo)函數(shù);當(dāng)在同一設(shè)計(jì)中要提出多個(gè)目標(biāo)函數(shù)時(shí),這個(gè)問(wèn)題成為多目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)化問(wèn)題。在一般的優(yōu)化設(shè)計(jì)中,多目標(biāo)函數(shù)的情況較多。當(dāng)然目標(biāo)函數(shù)越多,優(yōu)化的綜合效果越好,但求解較復(fù)雜。多目標(biāo)函數(shù)可表示為:

綜合:

q為最優(yōu)化設(shè)計(jì)目標(biāo)的數(shù)目。在實(shí)際工程中,常常會(huì)遇到在多目標(biāo)函數(shù)的某些目標(biāo)之間存在矛盾的情況,這就要求設(shè)計(jì)者正確處理各目標(biāo)函數(shù)的關(guān)系。

多目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)化問(wèn)題的研究,不如單目標(biāo)函數(shù)成熟,但有時(shí)可用一個(gè)目標(biāo)函數(shù)表示若干個(gè)所需追求目標(biāo)的加權(quán)和,把多目標(biāo)轉(zhuǎn)化為單目標(biāo)求解,需要引入加權(quán)因子的概念,以平衡多項(xiàng)指標(biāo)(即多個(gè)目標(biāo)之間)的重要性,及它們?cè)诹烤V和量級(jí)的差別。

引入加權(quán)因子ω1,ω2,┅,后目標(biāo)函數(shù)可表示為:

(5)約束條件與可行域?qū)τ趯?shí)際問(wèn)題設(shè)計(jì)變量的取值,往往是有限的,稱為約束條件或設(shè)計(jì)約束。

約束

①性能約束條件性能約束邊界約束

表示為:設(shè)計(jì)變量X為自變量,要限制的性能參數(shù)為因變量的不等式、等式約束方程。這些約束的數(shù)學(xué)表達(dá)式總可以根據(jù)設(shè)計(jì)公式、或通過(guò)物理的、力學(xué)分析得到。性能約束的表現(xiàn)形式兩種:等式約束條件:不等式約束條件:或

X:設(shè)計(jì)變量;m:等式約束的數(shù)目;p:不等式約束的數(shù)目

②邊界約束邊界約束條件,用來(lái)限制設(shè)計(jì)變量本身的取值范圍,可記為:

③可行域設(shè)計(jì)變量:X=[x1,x2,┅,xn]T構(gòu)成了n維歐氏空間Rn,在該空間中,約束條件所限制的區(qū)域稱為設(shè)計(jì)可行域。如由下列條件確定的可行域:

待求的優(yōu)化點(diǎn)只能在此可行域內(nèi)。1.3優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型任何一個(gè)最優(yōu)化問(wèn)題均可歸納為如下描述:在滿足給定的約束條件(決定n維空間的可行域)下,選取適當(dāng)?shù)脑O(shè)計(jì)變量X,使其目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最優(yōu)值。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為:

設(shè)計(jì)變量:滿足約束條件:求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值:

目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值一般可用最小值來(lái)體現(xiàn)(最大值

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