知識(shí)講解-數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法-基礎(chǔ)

數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法編稿：張希勇審稿：李霞【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.掌握數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示方法，能處理簡(jiǎn)單的數(shù)列問題.2.掌握數(shù)列及通項(xiàng)公式的概念，理解數(shù)列的表示方法與函數(shù)表示方法之間的關(guān)系.3.了解數(shù)列的通項(xiàng)公式的意義并能根據(jù)通項(xiàng)公式寫出數(shù)列的任一項(xiàng).4.理解數(shù)列的順序性、感受數(shù)列是刻畫自然規(guī)律的數(shù)學(xué)模型，體會(huì)數(shù)列之間的變量依賴關(guān)系.【學(xué)習(xí)策略】數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊的離散函數(shù)，因此，學(xué)習(xí)數(shù)列，可類比函數(shù)來理解。關(guān)于數(shù)列的一些問題也常通過函數(shù)的相關(guān)知識(shí)和方法來解決 .【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、數(shù)列的概念數(shù)列概念：按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列 .要點(diǎn)詮釋：⑴數(shù)列的數(shù)是按一定次序排列的，因此，如果組成兩個(gè)數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同，那么它們就是不同的數(shù)列；⑵定義中并沒有規(guī)定數(shù)列中的數(shù)必須不同，因此，同一個(gè)數(shù)在數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn) .數(shù)列的項(xiàng)：數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng) .各項(xiàng)依次叫做這個(gè)數(shù)列的第 1項(xiàng)，第2項(xiàng)，?；排在第 n位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第 n項(xiàng).其中數(shù)列的第 1項(xiàng)也叫作首項(xiàng) .要點(diǎn)詮釋：數(shù)列的項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)是兩個(gè)不同的概念。數(shù)列的項(xiàng)是指數(shù)列中的某一個(gè)確定的數(shù)，而項(xiàng)數(shù)是指這個(gè)數(shù)在數(shù)列中的位置序號(hào).類比集合中元素的三要素，數(shù)列中的項(xiàng)也有相應(yīng)的三個(gè)性質(zhì)：1）確定性：一個(gè)數(shù)是否數(shù)列中的項(xiàng)是確定的；2）可重復(fù)性：數(shù)列中的數(shù)可以重復(fù)；3）有序性：數(shù)列中的數(shù)的排列是有次序的.數(shù)列的一般形式：數(shù)列的一般形式可以寫成： a1,a2,a3, ,an, ，或簡(jiǎn)記為{an}.其中an是數(shù)列的第 n項(xiàng).要點(diǎn)詮釋：{an}與an的含義完全不同， {an}表示一個(gè)數(shù)列， an表示數(shù)列的第 n項(xiàng).要點(diǎn)二、數(shù)列的分類根據(jù)數(shù)列項(xiàng)數(shù)的多少分：有窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列.例如數(shù)列1，2，3，4，5，6是有窮數(shù)列無窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列.例如數(shù)列1，2，3，4，5，6，?是無窮數(shù)列根據(jù)數(shù)列項(xiàng)的大小分：遞增數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列。遞減數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列。常數(shù)數(shù)列：各項(xiàng)相等的數(shù)列。擺動(dòng)數(shù)列：從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列.要點(diǎn)三、數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和數(shù)列的通項(xiàng)公式如果數(shù)列an的第n項(xiàng)an與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式anf(n)來表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式 .如數(shù)列：0,1,2,3,...的通項(xiàng)公式為ann1（nN*）；1,1,1,1,...的通項(xiàng)公式為an1（nN*）；1,1,1,1,...的通項(xiàng)公式為an1（nN*）；234n要點(diǎn)詮釋：⑴并不是所有數(shù)列都能寫出其通項(xiàng)公式；⑵一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式有時(shí)是不唯一的。如數(shù)列：1，0，1，0，1，0，?它的通項(xiàng)公式可以是an1(1)n1，也可以是an|cosn1|.22⑶數(shù)列通項(xiàng)公式的作用：①求數(shù)列中任意一項(xiàng)；②檢驗(yàn)?zāi)硵?shù)是否是該數(shù)列中的一項(xiàng).（4）數(shù)列的通項(xiàng)公式具有雙重身份，它表示了數(shù)列的第n項(xiàng)，又是這個(gè)數(shù)列中所有各項(xiàng)的一般表示．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和：指數(shù)列{an}的前n項(xiàng)逐個(gè)相加之和，通常用Sn表示，即Sna1a2...an；an與Sn的關(guān)系當(dāng)n1時(shí)aS；11當(dāng)n2時(shí)，an(a1a2...an1an)(a1a2...an1)SnSn1故anS1,n1.SnSn1,n2且nN*要點(diǎn)四、數(shù)列的表示方法通項(xiàng)公式法（解析式法） ：數(shù)列通項(xiàng)公式反映了一個(gè)數(shù)列項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的函數(shù)關(guān)系。給了數(shù)列的通項(xiàng)公式，代入項(xiàng)數(shù)就可求出數(shù)列的每一項(xiàng)．反之，根據(jù)通項(xiàng)公式，可以判定一個(gè)數(shù)是否為數(shù)列中的項(xiàng)。列表法相對(duì)于列表法表示一個(gè)函數(shù)，數(shù)列有這樣的表示法：用a1表示第一項(xiàng)，用a2表示第二項(xiàng)，??，用an表示第n項(xiàng)，??，依次寫出得數(shù)列{an}．12?n?a1??a2an圖象法：數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，可以用函數(shù)圖象的畫法畫數(shù)列的圖形．具體方法：以項(xiàng)數(shù)n為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的項(xiàng)an為縱坐標(biāo)，即以(n,an)為坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中做出點(diǎn)。所得的數(shù)列的圖形是一群孤立的點(diǎn)，因?yàn)闄M坐標(biāo)為正整數(shù)，所以這些點(diǎn)都在 y軸的右側(cè)，而點(diǎn)的個(gè)數(shù)取決于數(shù)列的項(xiàng)數(shù)．從圖象中可以直觀地看到數(shù)列的項(xiàng)隨項(xiàng)數(shù)由小到大變化而變化的趨勢(shì)．遞推公式法遞推公式：如果已知數(shù)列

an

的第

1項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且任一項(xiàng)

an與它的前一項(xiàng)

an1（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，那么這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的遞推公式。遞推公式也是給出數(shù)列的一種方法。如：數(shù)列：-3，1，5，9，13，?，可用遞推公式：a13,anan14(n2)表示。數(shù)列：3，5，8，13，21，34，55，89，?，可用遞推公式：a13,a25,anan1an2(n3)表示。要點(diǎn)五、數(shù)列與函數(shù)（1）數(shù)列是一個(gè)特殊的函數(shù)，其特殊性主要體現(xiàn)在定義域上。數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N（或它的有限子集{1,2,3,...,n}）為定義域的函數(shù)anf(n)，當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值。反過來，對(duì)于函數(shù)yf(x),如果f(i)（i1,2,3,...,n,...）有意義，那么我們可以得到一個(gè)數(shù)列 f(1)，f(2)，f(3)，?，f(n)，?；2）數(shù)列的通項(xiàng)公式實(shí)際上就是相應(yīng)函數(shù)的解析式。數(shù)列的項(xiàng)是函數(shù)值，序號(hào)是自變量，數(shù)列的通項(xiàng)公式就是相應(yīng)函數(shù)的解析式。數(shù)列通項(xiàng)公式反映了一個(gè)數(shù)列項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的函數(shù)關(guān)系。給了數(shù)列的通項(xiàng)公式，代入項(xiàng)數(shù)就可求出數(shù)列的每一項(xiàng)．反之，根據(jù)通項(xiàng)公式，可以判定一個(gè)數(shù)是否為數(shù)列中的項(xiàng)。（3）數(shù)列的圖象是落在 y軸右側(cè)的一群孤立的點(diǎn)數(shù)列

an

f(n)的圖象是以項(xiàng)數(shù)

n為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的項(xiàng)

an為縱坐標(biāo)的一系列孤立的點(diǎn)

(n,an)，這些點(diǎn)都落在函數(shù)

y

f(x)的圖象上。因?yàn)闄M坐標(biāo)為正整數(shù)，所以這些點(diǎn)都在

y軸的右側(cè)，從圖象中可以直觀地看到數(shù)列的項(xiàng)隨項(xiàng)數(shù)由小到大變化而變化的趨勢(shì)．（4）跟不是所有的函數(shù)都有解析式一樣，不是所有的數(shù)列都有通項(xiàng)公式

.【典型例題】類型一：根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式例1．寫出下列各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式，使其前四項(xiàng)分別是

:(1)0,

3,

8,

15

,?；2 3

4(2)1,

3,

5,

7

,?；4 9

16(3)9,99,999,9999,(4)6,1,6,1, ?.

?；【解析】（1）將數(shù)列改寫為121，221，321，421，?，1234故ann21.n（2）此數(shù)列奇數(shù)項(xiàng)為正，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)，可用(1)n1來表示；其絕對(duì)值中分子為奇數(shù)數(shù)列，分母是自然數(shù)的平方數(shù)列，故an(1)n12n1.n2（3）將數(shù)列改寫為1011,1021,1031,1041，?，故an10n1.（4）將數(shù)列每一項(xiàng)減去6與1的平均值7得新數(shù)列5,-5,5,-5,?，22222故an7(1)n15或an75cos(n1).2222【總結(jié)升華】寫通項(xiàng)時(shí)注意以下常用思路：①若數(shù)列中的項(xiàng)均為分?jǐn)?shù)，則先觀察分母的規(guī)律再觀察分子的規(guī)律，如(1)；特別注意有時(shí)分?jǐn)?shù)是約分后的結(jié)果，要根據(jù)觀察還原分?jǐn)?shù)；②注意(－1)n在系數(shù)中的作用是讓數(shù)列中的項(xiàng)正、負(fù)交替出現(xiàn)，如(2)；(-1)n作指數(shù)，讓數(shù)列中隔項(xiàng)出現(xiàn)倒數(shù)；③（4）可視為周期數(shù)列，故想到找一個(gè)周期為2的函數(shù)為背景。④歸納猜想的關(guān)鍵是從特殊中去尋找一般規(guī)律，很多情況下是將已寫出的項(xiàng)進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，使?guī)律明朗化.⑤熟練掌握一些基本數(shù)列的通項(xiàng)公式，例如：數(shù)列-1，1，-1，1，?的通項(xiàng)公式為an(1)n；數(shù)列1，2，3，4，?的通項(xiàng)公式為ann；數(shù)列1，3，5，7，?的通項(xiàng)公式為21；ann數(shù)列2，4，6，8，?的通項(xiàng)公式為an2；n數(shù)列1，4，9，16，?的通項(xiàng)公式為ann2；數(shù)列1，1，1，1，?的通項(xiàng)公式為an1。234n舉一反三：【高清課堂：數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法 379271數(shù)列知識(shí)的講解及配套練習(xí)】【變式】根據(jù)下面數(shù)列的前幾項(xiàng)的值，寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：(1)1,1,1,1, ?；(2)-1,1,-1,1,?；(3)1,-1,1,-1,?；(4)1，111?；，，,243(5)2，0，2，0，?.【答案】an1；an(1)n2；(3)a(1)n1；n(4)an(1)n11；n(5)an1(1)n1；類型二：通項(xiàng)公式的應(yīng)用例2（2015秋奇臺(tái)縣校級(jí)期中）已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是，寫出數(shù)列{an}的前5項(xiàng)．【思路點(diǎn)撥】利用數(shù)列的通項(xiàng)公式能寫出數(shù)列{an}的前5項(xiàng)．【解析】∵數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是，a1=﹣1+1=0，a2=1+2=3，a3=﹣1+3=2，a4=1+4=5，a5=﹣1+5=4．【總結(jié)升華】根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式，可以寫出數(shù)列的所有項(xiàng)。舉一反三：【變式1】（2014秋紅橋區(qū)期中）根據(jù)如圖所示的程序框圖，變量a每次賦值后的結(jié)果依次記作：a1、a2、?a?．如a=3?．a(chǎn)3n1=1，a2（Ⅰ）寫a3、a4、a5；（Ⅱ）猜想出數(shù)列{an}的一個(gè)通項(xiàng)公式；（Ⅲ）寫出運(yùn)行該程序結(jié)束輸出的a值．（寫出過程）【解析】（Ⅰ）a1=1，a2=3，a3=7，a4=15，a5=31（Ⅱ）猜想： an=2n﹣1（Ⅲ）當(dāng) n=11時(shí)，a＞2014，輸出a=2047.【變式2】根據(jù)下列數(shù)列 {an}的通項(xiàng)公式，寫出它的第五項(xiàng) .（1）ann；（2）annsinn，2n12【答案】（1）5；（2）5.9例3．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式 an 3n 2,試問下列各數(shù)是否為數(shù)列 {an}的項(xiàng)，若是，是第幾項(xiàng)？(1)94 ；(2)71.【思路點(diǎn)撥】先假設(shè)是數(shù)列中的項(xiàng)， 可以列方程求解，若求解得到的腳標(biāo) n N，那么是數(shù)列中的項(xiàng)， 否則，不是.【解析】（1）設(shè)94 3n 2,解得n 32.故94是數(shù)列{an}的第32項(xiàng).1（2）設(shè)71 3n 2，解得n 24 N.故71不是數(shù)列{an}的項(xiàng).【總結(jié)升華】方程思想是解決數(shù)列中未知量的主要方法， n,an,d,Sn,a1中知三求二，就是采用了方程的思想.舉一反三：【變式】已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an(n1)(n2),（1）若an9900，試問an是第幾項(xiàng)？（2）56和28是否為數(shù)列{an}的項(xiàng)？【答案】（1）98項(xiàng)；（2）56是，28不是.類型三：遞推公式的應(yīng)用【高清課堂：數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法379271例2】例4.設(shè)數(shù)列{an}滿足：a11，an112)，寫出這個(gè)數(shù)列的前五項(xiàng)。(nan1【思路點(diǎn)撥】題中已給出{a}的第11，故可以依次寫出下列各項(xiàng).項(xiàng)a11和遞推公式：an1nan1a11，a2112，a3131158【解析】據(jù)題意可知：a11，a4a33，a5a225故數(shù)列的前5項(xiàng)為:1，2，3，5，8.235【總結(jié)升華】遞推公式也是給出數(shù)列的一種方法，根據(jù)數(shù)列的遞推公式，可以逐次寫出數(shù)列的所有項(xiàng)。舉一反三：【變式1】已知數(shù)列{an}滿足：a11，a23，an2an12an(n1)，寫出前6項(xiàng).【答案】a11，a23，a35，a411，a521，a643.【變式2】已知數(shù)列{a}滿足：a12，an12an，寫出前5項(xiàng)，并猜想an．n【答案】法一：a12，a22222，a322223，觀察可得an2n法二：由an12an，∴an2an1an2即an1anan1an2a2n1∴an2an3a12an1∴aa2n12nn1類型四：前n項(xiàng)和公式Sn與通項(xiàng)an的關(guān)系例5．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式Sn，求通項(xiàng)an.（1）Sn2n2n1，(2)Snlog2(n1).【思路點(diǎn)撥】先由n2時(shí)，anSnSn1，求出a；再由當(dāng)n1時(shí)，aS，求出a，并驗(yàn)證a是否符合所求n1111出的an.【解析】(1)當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1(2n2n1)[2(n1)2(n1)1]4n3，當(dāng)n1時(shí)，a1S1212112413，∴an2,(n1)4n3,(n2且nN*)(2)當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1log2(n1)log2nlog2n1n，11當(dāng)n1時(shí)，a1S1log2(11)1log2，1∴anlog2n1(nN)為所求.n【總結(jié)升華】已知S求出a依據(jù)的是S的定義：Saa...a，分段求解，然后檢驗(yàn)結(jié)果能nnnn12n否統(tǒng)一形式，能就寫成一個(gè)，否則只能寫成分段函數(shù)的形式.舉一反三：【變式1】（海淀區(qū)2015年高三年級(jí)第二學(xué)期期末練習(xí)）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且an0(nN)，又anan1Sn,則a3a1?！敬鸢浮恳?yàn)閍1a2S1a1,解得a21,又a2a3S2a1a2,解得a3a11.【變式2】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積Snn2，求通項(xiàng)an【答案】當(dāng)n2時(shí)，anSnn2，Sn1n1當(dāng)n1時(shí)，a1S112312，113,(n1)∴an2且*.nn)n,(n2N1