【經(jīng)典專題】空間幾何的外接球和內(nèi)切球教師版

專（）—間何的接和切一典探類一墻模（條兩垂，找心位即求球半）P

P

Aa

b

C

b

B

aB圖

2

POc

C

A

B

3

4方：三條兩兩垂直的線段，直接用公式

2

，即

2

a2

，求出

.例：知各頂點(diǎn)都在同一球面上的正四棱柱的高為

4

，體積為

16

，則這個(gè)球的表面積是（）.A．

16

B．

20

C．

24

D．

32解：

Va，，2224

，

，選C.變1若三棱錐的個(gè)側(cè)面兩垂直，且側(cè)棱長(zhǎng)均為則其外接球的表面積是.解：

，S

.變2在正三棱錐

S

中，

、

分別是棱

SC

的中點(diǎn)，且

AM

,若側(cè)棱

SA3

,則正三棱錐

S

外接球的表面積是.解：引理：正棱的棱垂直如圖（3）-1，,BC的點(diǎn)D,，接,CDAE,交H，接，H是底面正三角1

形的心，平面ABC，SH

，AC

，

ADBD

，CDAB

，

平面

SCD

，AB

，同理：

，

，即正三棱錐的對(duì)棱互垂直，本題圖如圖（3）-2AM，SB//MN，SB，AC面SAC，，SBSC，SA，，SA

平面

，

，故三棱錐

ABC

的三棱條側(cè)棱兩兩互相垂直，(2)

(2

(2

4R

2

三棱錐S外接的表面積是36

SMA

C

H(3)題-1

E

B

N(3)題2變3在四面SABC中，平面ABC，BAC120ACAB接球的表面積為（）.

則該四面體的外A

1040D.3

解：在

ABC

中，

2ABABcos120

，BC，ABC的接球直徑為

r

BC73

，(2)

r)

740)，，選D.33變4如三棱錐的三個(gè)側(cè)兩兩垂直，它們的面積分別為是.

6、、，么它的外接球的表面積解：三條側(cè)棱兩兩生直，設(shè)三條側(cè)棱長(zhǎng)分別為

a,c

（

aR

），則12

，

，

，

，

c

，

2

，

.

ac2

PA

CB變5已知某幾何體的三視圖如圖所示，三視圖是腰長(zhǎng)1幾何體外接球的體積為.

的等腰直角三角形和邊長(zhǎng)為1

的正方形，則該解：

(22

，

R2

3，R

433V3

OC類二垂模（條線直一平）

A

OB

D模1如圖，PA面.解題步驟：

5第一步：將

ABC

畫在小圓面上，

A

為小圓直徑的一個(gè)端點(diǎn)，作小圓的直徑

AD

，連接

PD

，則

PD

必過(guò)球心

；第二步：為ABC的心，所以面ABC，出小圓的半徑ODr1

（三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得

acrsinsinBsinC

），

1OOPA2

；rrOO第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：①OO②.

(2

2

2

r)

2

R

PA2

(2r

；模2如圖，8的影是的外心三錐P的條側(cè)棱相等三棱錐PABC的底面ABC圓錐的底上，頂點(diǎn)P點(diǎn)也圓錐的頂.

PO

C

CAO

B

D

B圖

7-13

PO

O

C

O

A

O

B圖P

圖8A

AB

O

C

B

O

CDO

O圖P

圖

D圖-3解題步驟：4

第一步：確定球心的置，取ABC的心，PO,1

三點(diǎn)共線；第二步：先算出小圓

O

的半徑

AO1

，再算出棱錐的高

PO1

（也是圓錐的高）；第三步：勾股定理：

OA

2OA2h)1

，解出

.方二小直徑參與構(gòu)造大.例、個(gè)幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體外接球的表面積為（A．

B．

C．

16

D．以上都不對(duì)解：選C，

(3)

,

3RR

2

2

,

4R

,

23

,

S

163

.類三切模（個(gè)面相直模1如圖9-1，面

平面

，且

（即

為小圓的直徑）第一步：易知球心

O

必是

的外心，即

的外接圓是大圓，先求出小圓的直徑

r

；第二步：在中，可據(jù)正弦定理

ac2R，出.sinsinBsinC

PO

O

9-1

圖-2模2如圖9-2，面PAC面，AB（即為小圓的直徑.

2CO2221

AC2R

.5

模3：圖9-3面

平面

且

（即

為小圓的直徑且

P

的射影是

ABC的外心三錐PABC

的三條側(cè)棱相等棱P

的底面

ABC

在圓錐的底上，頂點(diǎn)

P

點(diǎn)也是圓錐的頂點(diǎn).解題步驟：第一步：確定球心

O

的位置，取

ABC

的外心

O

，則

O,1

三點(diǎn)共線；第二步：先算出小圓的半徑r

，再算出棱錐的高

PO1

（也是圓錐的高）；第三步：勾股定理：

OA

2OA2h)1

，解出R.PP

圖9-3

圖9-4模4如圖9-4，面

平面

，且

（即

為小圓的直徑），且

AC

，則利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑：①

(2

2r)2

PA

(2r

.②

r

OO

r

OO

.例、正棱的頂點(diǎn)都在同一球面，若該棱錐的高為，面邊長(zhǎng)為為.

3

，則該球的表面積解：（1）由正弦定理或找球心可得

2R

49

，變1、四棱錐

SABCD

的底面邊長(zhǎng)和各側(cè)棱長(zhǎng)都為

，各頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則此球的體積為.解法球的位置知

r

hr

球在正方形的中心

處R

43

方法二：大圓是軸截面所的外接圓大圓是4，V3

的外接圓此特殊，

Rt

的斜邊是球半徑，變2、三棱錐

PABC

中，

PAPC

,側(cè)

PA

與底面

所成的角為

，則該三棱錐外接球的體積為（）.6

A．

B.

4C.4D.解：選D，圓錐

,B,C在r

32

的圓上，

.變3已知三棱錐

的所有頂點(diǎn)都在球

O

的求面上,

ABC

是邊長(zhǎng)為

1

的正三角形

為球

O

的直徑,且

，則此棱錐的體積為（）.A．

2322B．C．．62解：

1

3232)2，h，V3343

，選A.類四漢模（棱的接、柱外球

1

2

1

1

A

1

O

2

C

1

B

1

OCO1

A

O

1

B圖

圖0-2

O

O

O

圖0-3模：圖10-1，圖10-2，圖10-3,直棱內(nèi)于球（同時(shí)直棱柱也內(nèi)接于圓柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）7

1222柱2第一步：確定球心的置，O是ABC外心，則OO面；1222柱2第二步：算出小圓

O

的半徑

AO1

，

OO1

1h2

（

1

也是圓柱的高）；第三步：勾股定理：

OA

2

O1

2

O1

2

R

2

h)2

2

2

r

，解出R.例4、個(gè)正六棱柱的底面上正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為

，底面周長(zhǎng)為，這個(gè)球的體積為.解：設(shè)正六邊形邊長(zhǎng)為

，正六棱柱的高為

h

，底面外接圓的關(guān)徑為r

，則

，底面積為

3)，h，h3，R))88

2

，

，球的體積為

3

.變1、三棱柱

ABC11

的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若

ABAA1

,

BAC120

，則此球的表面積等于.解：

BC2

，

r

3sin120

，

r

，

，

20

.變2已知所在的平面與矩形ABCD所的平面互相垂直EAEBAD

，則多面體

的外接球的表面積為.解：折疊型，法一：

的外接圓半徑為

r

3

，

1

，

；法二：

O1

3，rD，2

，

，

.E

A

DM

B

C變3、直三棱柱

中，AB4,ACA11

3

,1

則直三棱柱

11

的外接球的表面積為.8

211211解：

BC

12

，

BC27

，

47r3

，r

7

，R2

28401601)，233

.類五折模題：個(gè)等角或腰角拼一，菱折疊如圖11)第一步：先畫出如圖所示的圖形，將BCD在小圓上，找出BCD和

BD的心H和H；第二步：過(guò)

H

和

H

分別作平面

和平面

A

的垂線，兩垂線的交點(diǎn)即為球心

O

，連接

,OC

；第三步：解

OEH

1

，算出

OH

，在

OCH

1

中，勾股定理：

OH21

.A'A

H

2B

OH

1

C

O2H

OO1圖1

例、棱錐

PABC

中，平面

PAC

平面

ABC

，△

PAC

eq\o\ac(△,和)

ABC

均為邊長(zhǎng)為

的正三角形，則三棱錐PABC外球的半徑為.解：

2rr1

2460

，

rr12

2，O33

，

2

OH2

2

115，R333

；法：

O2

11，OH33

，

AH

，

R2H2O21

5，33

.類六對(duì)相模（形長(zhǎng)體模三棱（即四體已三對(duì)分相求接半（CD，）第一步：畫出一個(gè)長(zhǎng)方體，標(biāo)出三組互為異面直線的對(duì)棱；第二步設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為

a,cADx，ABCDyACBD

，方程組，9

cB．C．D．22cB．C．D．2y222

2

2

2

2

2

22

2

.補(bǔ)：

A

163

.第三步：根據(jù)墻角模型，

2

x

y

，

2

y8

，

xy22

，求出

，例如，正四面體的外接球半徑可用此Ay

y

c

CB

例棱長(zhǎng)為

2

(1)題圖的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上該球球心的一個(gè)截面如圖中角(正四面體的截面)的面積是.解：截面為PCO，積是；

O

COAB

O

B圖變1、個(gè)正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1的面上，其中底面的三個(gè)頂點(diǎn)在該球的一個(gè)大圓上，則該正三棱錐的體積是（）.A．

33441210

解：高

R

，底面外接圓的半徑為R，徑為R

，設(shè)底面邊長(zhǎng)為a，則R

asin60

，

，

34

，三棱錐的體積為

3VSh4

.變2在三棱錐ABCD，AB2,AC4,表面積為.

則三棱錐接球的解：如圖，補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，三個(gè)長(zhǎng)度為三對(duì)面的對(duì)角線長(zhǎng)，設(shè)長(zhǎng)寬高分別為

a,c則a

2

，b

2

2

，

c

2

2

2(

2

2

2

29

，

2(a

2

2

2

29

，a22

292929，4，2

.變3如圖所示三錐ABCD，其中ABCDACBDBC7,的表面積為.

則該三棱錐外接球解：同上，設(shè)補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，三個(gè)長(zhǎng)度為三對(duì)面的對(duì)角線長(zhǎng)，設(shè)長(zhǎng)寬高分別為

a,,c

，a

2

2

2

49110，a

2

2

2

55，4

2

，S

.變4正四面體的條棱長(zhǎng)都為，該正面體外接球的體積為.解：這是特殊情況，但也是對(duì)棱相等的模式，放入長(zhǎng)方體中，343R，V232

2R

3

，BCOA

類七兩角角拼在起(邊同也看作形對(duì)線起得棱)型模：

ACB

，求三棱錐P外接球半徑（分析：取公共的斜邊的中點(diǎn)O連接OC，OBOP

12

，O三棱錐外球球心，然后在OCP中出11

半徑），當(dāng)看作矩形沿對(duì)角線折起所得三棱錐時(shí)與折起成的二面角大小無(wú)關(guān)，只要不是平角球徑都為定值例、在矩形ABCD中，BC，AC將形ABCD折一個(gè)直二面面體的接球的體積為（）.

ACD

，則四A．

．C．9

D．

解：

R，R

5125125，2

，選C.變、矩形中AB，BC沿BD將形折接AC所得三棱錐的外接球的表面積為.

ABCD解：BD的中點(diǎn)是球心，13，S

.類八錐的切問(wèn)模1如圖14，棱錐PABC上正三棱錐，求其外接球的半.第一步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖，

H

分別是兩個(gè)三角形的外心；第二步：求

DH

13

，

PO

，

PD

是側(cè)面

ABP

的高；第三步：由POE相于PDH，建立等式：

OEDH

，解出r.

P

O

G

O

H4

H5

F

模2如圖15，棱錐上四棱錐，求其外接球的半.第一步：先現(xiàn)出內(nèi)切球的截面圖，

P,O,H

三點(diǎn)共線；第二步：求

FH

12

BC

，

PO

，

PF

是側(cè)面

的高；第三步：由相似于PFH，立等式：

OGPOHF

，解出模3三棱錐ABC任意三棱錐，求其的內(nèi)切球半.方法：等體積法，即內(nèi)切球球心與四個(gè)面構(gòu)成的四個(gè)三棱錐的體積之和相.第一步：先畫出四個(gè)表面的面積和整個(gè)錐體體積；第二步：設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，立等式：

VPABC

OABC

PAB

PBC

12

PABPACPBCABCPABPACPABPACPBCABCPABPACPABC

111SS()333

.第三步：解出

r

PABC