運動學點的運動及剛體的簡單運動

理論力學TheoreticalMechanicsMonday,February6,2023主講教師：祝瑛運動學篇綜合實驗樓508Tel516827242/6/2023運動學引論運動學的研究對象——幾何點，稱為“動點”；剛體。運動學的研究任務——

研究物體的空間位置隨時間變化的幾何性質。包括運動方程，點的運動軌跡，速度方程，加速度方程。表征運動幾何性質的基本物理量

t、

r、v、a、j、w、a2/6/2023點(point)剛體(rigidbody)運動學模型及運動形式模型點：不計幾何形狀和尺寸的理想物體，此時轉動和變形對運動的影響忽略不計。2/6/2023運動形式A.直線運動(rectilinearmotion)B.曲線運動(curvilinearmotion)點的運動形式2/6/2023剛體的運動形式：A、平移(Translation)其上任一直線永遠平行于自己的初始位置剛體上或拓展空間內有一直線始終保持不動，其上各點均繞此直線作圓周運動。B、定軸轉動：(Fixed-axisrotation)2/6/2023C、平面運動：（Planarmotion）剛體上各點到某一平面距離相同。D、定點轉動：RotationaroundaFixedPoint其上有一點永遠保持不動。剛體的復雜運動。F、一般運動：Generalmotion2/6/2023運動的轉換關系剛體的運動包含點的運動點的運動是剛體運動的組成部分剛體的復雜運動可以分解為若干個基本運動2/6/2023

物體的運動是相對于不同的觀察者而言的。 運動學中對參照系的選取無任何要求，但不同的坐標系下對同一物體運動的數(shù)學描述則完全不同。故應選取最易進行數(shù)學描述的參照系。參考系和參照體2/6/2023參考系(referencesystem)：用于描述物體運動特征的坐標系（如直角、自然、極坐標系、柱坐標系、球坐標系等）；參照體(referencebody)：參考系的載體；定參考系(fixedreferencesystem)：參照體通常為地球的參考系，如地面，簡稱定系；動參考系(movingreferencesystem)：與定參考系有相對運動的參考系，簡稱動系。參考系和參照體2/6/2023第1章點的運動及剛體的簡單運動§1-1點的運動§1-2剛體的平動§1-3剛體繞定軸的轉動2/6/2023運動方程zOxy§1-1點的運動用矢徑(一動點相對于坐標系原點的位置矢量)r描述動點在參考系中的運動特征；r的末端描繪出的一條連續(xù)曲線(矢端曲線)即為動點的運動軌跡。速度(velocity)位移(Displacement)切線方向描述點在某瞬間運動的快慢和方向位矢端線一、矢量法2/6/2023加速度(acceleration)M點的速度矢端圖(hodographofvelocities)描述點的速度矢量對時間的變化率即點在該瞬間速度的大小和方向的變化率將點在不同瞬時速度平移至O點，連接速度矢端構成的連續(xù)曲線；

描述速度大小和方向變化的圖像。2/6/2023

二、直角坐標法1.點的運動方程：點的軌跡方程：zOxyva2/6/20233.點的速度:(定參考系)

點的速度在直角坐標軸上的投影等于點的各對應坐標對時間的一階導數(shù)zOxyva2/6/2023速度合成速度大小方向余弦2/6/2023

4點的加速度：矢量大小方向余弦a在直角坐標軸上的投影等于動點速度投影對時間的一階導數(shù)，等于動點各對應坐標對時間的二階導數(shù)。2/6/2023解：建立圖示直角坐標系，由幾何關系可得M點的運動方程為：例1橢圓規(guī)的曲柄OC可繞定軸O轉動，其端點C與規(guī)尺AB的中點以鉸鏈相連接，A、B端分別在相互垂直的滑槽中運動。已知：OC=CB=CA=l，MC=a，

=t。試求規(guī)尺上點M的運動方程、運動軌跡、速度和加速度。2/6/2023消去參數(shù)t可以得到顯函數(shù)形式的軌跡方程：經(jīng)求導后可得M點的速度和加速度方程：橢圓合成速度與加速度：P1182/6/2023例2如圖所示，當液壓減振器工作時，它的活塞在套筒內作直線往復運動。設活塞的加速度（v為活塞的速度，k為比例常數(shù))，初速度為v0。求活塞的運動規(guī)律。解：1活塞作直線運動，取坐標軸Ox如圖2/6/2023三、自然坐標法★自然法適用于描述非自由質點運動OMs(+)(-)運動方程(沿軌跡的運動規(guī)律) 利用點的運動軌跡建立弧坐標及自然坐標系，描述和分析點的運動特征。弧坐標s（arccoordinate）弧長為代數(shù)量2/6/2023密切面與自然軸系M密切面(osculatingplane)t’M’Mt2/6/2023M密切面自然軸系(trihedralaxesofaspacecurve)主法線單位矢量切向單位矢量副法線單位矢量過M點的密切面主法線指向曲線凹側副法線垂直于切線和主法線構成右手系nttnb法平面與M點的切線垂直2/6/2023以M點為原點，以切線、主法線和副法線為坐標軸組成的正交坐標系稱為曲線在點M的自然坐標系，三軸稱為自然軸。

自然軸系是沿曲線而變動的游動坐標系。2/6/2023M密切面tnb3.速度：M’Dr弧長為Dsvv>0，點沿軌跡的負向運動.v<0，點沿軌跡的正向運動；2/6/2023M密切面nbM’vMvM’t4.加速度：切向加速度at表征速度大小的變化率，位于該時刻自然軸系的切線方向；法向加速度an表征速度方向的變化率，位于該時刻自然軸系的主法線方向。因為ab=0，所以at、

an

、a均在密切面內研究空間為平面atana教材P72/6/2023大小全加速度a為at與an的矢量和vtnanataq方向：一般由a與主法線間夾角表示tanq=atanan：指向軌跡的凹側——主法線正向at：當tanq>0時，at與t同向；tanq<0時，at與t反向.atqa2/6/2023如果v>0,at>0，點該如何運動?如果v>0,at<0，點該如何運動?如果v<0,at

>0，點該如何運動?如果v<0,at<0，點該如何運動?如果v0,at=0，點該如何運動?vtnanataqatqa討論2/6/2023下面曲線上哪些點的運動是可能的運動？哪些是不可能的運動？討論av

=0AvBavCavDavEavFaGav

=02/6/2023推導公式勻速曲線運動勻變速曲線運動2/6/2023特殊運動的特點直線運動圓周運動r=R=常數(shù)勻速運動at=常數(shù)勻變速運動2/6/2023點沿著一螺旋線自外向內運動。點所走過的弧長與時間的一次方成正比。請判斷點的運動性質：越跑越快；越跑越慢；加速度越來越大；加速度越來越小。問題2/6/2023例1列車沿半徑為800m的圓弧軌道作勻加速運動。如初速度為零，經(jīng)過2min后，速度達到54km/h。求起點和末點的加速度。起點：法向加速度等于零，列車只有切向加速度解：2/6/2023終點：2/6/2023例2：炮彈射出時，直角坐標下的運動方程為求t=0時炮彈的切向加速度和法向加速度，以及這時軌跡的曲率半徑。2/6/2023解：當t=0時2/6/2023將加速度沿切線和法線方向分解有當t=0時，由得當t=0時2/6/2023例3半徑為R的輪子沿直軌道無滑動地滾動，設輪子轉角=t（為常值）。求弧坐標法表示的輪緣上任一點M的運動方程，并求該點的切向加速度、法向加速度及軌跡線的曲率半徑。1、先利用直角坐標法求點的運動軌跡、速度、加速度；2、再利用自然法求解本題。2/6/2023解：取=0時點M與直線軌道的接觸點O為原點，建立直角坐標系Oxy。由于純滾動，有：OC=MC=R則M點的運動方程為：上式實際上也是以t為參數(shù)的軌跡方程，為旋輪線（擺線）。2/6/2023M點的速度方程為：j

2=cot方向當t=2kp/w時即

j=2kp

輪軌接觸點C

vC=0

vM

CM

沿地面作純滾動的輪子與地面接觸點的速度為零y+=90j2tan(v

,

x)=vy

vx=tany大小2/6/2023M點的加速度方程為：方向a永指向輪心tan(a

,

x)

=ay

ax=cotwt=tan(90-j)(當wt=2kp時)常量沿地面作純滾動的輪子與地面接觸點的加速度不為零大小2/6/2023？已知：半徑為R的圓輪在直線軌道上作純滾動（只滾不滑）。輪心速度u=常數(shù)。 求：輪緣一點M的運動方程式、軌跡、速度與加速度。2/6/2023取=0時點M與直線軌道的接觸點O為弧坐標系原點，軌跡線為自然軸線。弧坐標法求點M的運動方程：積分速度方程2/6