運(yùn)動(dòng)學(xué)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)及剛體的簡(jiǎn)單運(yùn)動(dòng)

理論力學(xué)TheoreticalMechanicsMonday,February6,2023主講教師：祝瑛運(yùn)動(dòng)學(xué)篇綜合實(shí)驗(yàn)樓508Tel516827242/6/2023運(yùn)動(dòng)學(xué)引論運(yùn)動(dòng)學(xué)的研究對(duì)象——幾何點(diǎn)，稱(chēng)為“動(dòng)點(diǎn)”；剛體。運(yùn)動(dòng)學(xué)的研究任務(wù)——

研究物體的空間位置隨時(shí)間變化的幾何性質(zhì)。包括運(yùn)動(dòng)方程，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡，速度方程，加速度方程。表征運(yùn)動(dòng)幾何性質(zhì)的基本物理量

t、

r、v、a、j、w、a2/6/2023點(diǎn)(point)剛體(rigidbody)運(yùn)動(dòng)學(xué)模型及運(yùn)動(dòng)形式模型點(diǎn)：不計(jì)幾何形狀和尺寸的理想物體，此時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)和變形對(duì)運(yùn)動(dòng)的影響忽略不計(jì)。2/6/2023運(yùn)動(dòng)形式A.直線運(yùn)動(dòng)(rectilinearmotion)B.曲線運(yùn)動(dòng)(curvilinearmotion)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)形式2/6/2023剛體的運(yùn)動(dòng)形式：A、平移(Translation)其上任一直線永遠(yuǎn)平行于自己的初始位置剛體上或拓展空間內(nèi)有一直線始終保持不動(dòng)，其上各點(diǎn)均繞此直線作圓周運(yùn)動(dòng)。B、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：(Fixed-axisrotation)2/6/2023C、平面運(yùn)動(dòng)：（Planarmotion）剛體上各點(diǎn)到某一平面距離相同。D、定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)：RotationaroundaFixedPoint其上有一點(diǎn)永遠(yuǎn)保持不動(dòng)。剛體的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)。F、一般運(yùn)動(dòng)：Generalmotion2/6/2023運(yùn)動(dòng)的轉(zhuǎn)換關(guān)系剛體的運(yùn)動(dòng)包含點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是剛體運(yùn)動(dòng)的組成部分剛體的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)可以分解為若干個(gè)基本運(yùn)動(dòng)2/6/2023

物體的運(yùn)動(dòng)是相對(duì)于不同的觀察者而言的。 運(yùn)動(dòng)學(xué)中對(duì)參照系的選取無(wú)任何要求，但不同的坐標(biāo)系下對(duì)同一物體運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)描述則完全不同。故應(yīng)選取最易進(jìn)行數(shù)學(xué)描述的參照系。參考系和參照體2/6/2023參考系(referencesystem)：用于描述物體運(yùn)動(dòng)特征的坐標(biāo)系（如直角、自然、極坐標(biāo)系、柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系等）；參照體(referencebody)：參考系的載體；定參考系(fixedreferencesystem)：參照體通常為地球的參考系，如地面，簡(jiǎn)稱(chēng)定系；動(dòng)參考系(movingreferencesystem)：與定參考系有相對(duì)運(yùn)動(dòng)的參考系，簡(jiǎn)稱(chēng)動(dòng)系。參考系和參照體2/6/2023第1章點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)及剛體的簡(jiǎn)單運(yùn)動(dòng)§1-1點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)§1-2剛體的平動(dòng)§1-3剛體繞定軸的轉(zhuǎn)動(dòng)2/6/2023運(yùn)動(dòng)方程zOxy§1-1點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)用矢徑(一動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于坐標(biāo)系原點(diǎn)的位置矢量)r描述動(dòng)點(diǎn)在參考系中的運(yùn)動(dòng)特征；r的末端描繪出的一條連續(xù)曲線(矢端曲線)即為動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡。速度(velocity)位移(Displacement)切線方向描述點(diǎn)在某瞬間運(yùn)動(dòng)的快慢和方向位矢端線一、矢量法2/6/2023加速度(acceleration)M點(diǎn)的速度矢端圖(hodographofvelocities)描述點(diǎn)的速度矢量對(duì)時(shí)間的變化率即點(diǎn)在該瞬間速度的大小和方向的變化率將點(diǎn)在不同瞬時(shí)速度平移至O點(diǎn)，連接速度矢端構(gòu)成的連續(xù)曲線；

描述速度大小和方向變化的圖像。2/6/2023

二、直角坐標(biāo)法1.點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程：點(diǎn)的軌跡方程：zOxyva2/6/20233.點(diǎn)的速度:(定參考系)

點(diǎn)的速度在直角坐標(biāo)軸上的投影等于點(diǎn)的各對(duì)應(yīng)坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)zOxyva2/6/2023速度合成速度大小方向余弦2/6/2023

4點(diǎn)的加速度：矢量大小方向余弦a在直角坐標(biāo)軸上的投影等于動(dòng)點(diǎn)速度投影對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，等于動(dòng)點(diǎn)各對(duì)應(yīng)坐標(biāo)對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)。2/6/2023解：建立圖示直角坐標(biāo)系，由幾何關(guān)系可得M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為：例1橢圓規(guī)的曲柄OC可繞定軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，其端點(diǎn)C與規(guī)尺AB的中點(diǎn)以鉸鏈相連接，A、B端分別在相互垂直的滑槽中運(yùn)動(dòng)。已知：OC=CB=CA=l，MC=a，

=t。試求規(guī)尺上點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)方程、運(yùn)動(dòng)軌跡、速度和加速度。2/6/2023消去參數(shù)t可以得到顯函數(shù)形式的軌跡方程：經(jīng)求導(dǎo)后可得M點(diǎn)的速度和加速度方程：橢圓合成速度與加速度：P1182/6/2023例2如圖所示，當(dāng)液壓減振器工作時(shí)，它的活塞在套筒內(nèi)作直線往復(fù)運(yùn)動(dòng)。設(shè)活塞的加速度（v為活塞的速度，k為比例常數(shù))，初速度為v0。求活塞的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。解：1活塞作直線運(yùn)動(dòng)，取坐標(biāo)軸Ox如圖2/6/2023三、自然坐標(biāo)法★自然法適用于描述非自由質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)OMs(+)(-)運(yùn)動(dòng)方程(沿軌跡的運(yùn)動(dòng)規(guī)律) 利用點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡建立弧坐標(biāo)及自然坐標(biāo)系，描述和分析點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)特征。弧坐標(biāo)s（arccoordinate）弧長(zhǎng)為代數(shù)量2/6/2023密切面與自然軸系M密切面(osculatingplane)t’M’Mt2/6/2023M密切面自然軸系(trihedralaxesofaspacecurve)主法線單位矢量切向單位矢量副法線單位矢量過(guò)M點(diǎn)的密切面主法線指向曲線凹側(cè)副法線垂直于切線和主法線構(gòu)成右手系nttnb法平面與M點(diǎn)的切線垂直2/6/2023以M點(diǎn)為原點(diǎn)，以切線、主法線和副法線為坐標(biāo)軸組成的正交坐標(biāo)系稱(chēng)為曲線在點(diǎn)M的自然坐標(biāo)系，三軸稱(chēng)為自然軸。

自然軸系是沿曲線而變動(dòng)的游動(dòng)坐標(biāo)系。2/6/2023M密切面tnb3.速度：M’Dr弧長(zhǎng)為Dsvv>0，點(diǎn)沿軌跡的負(fù)向運(yùn)動(dòng).v<0，點(diǎn)沿軌跡的正向運(yùn)動(dòng)；2/6/2023M密切面nbM’vMvM’t4.加速度：切向加速度at表征速度大小的變化率，位于該時(shí)刻自然軸系的切線方向；法向加速度an表征速度方向的變化率，位于該時(shí)刻自然軸系的主法線方向。因?yàn)閍b=0，所以at、

an

、a均在密切面內(nèi)研究空間為平面atana教材P72/6/2023大小全加速度a為at與an的矢量和vtnanataq方向：一般由a與主法線間夾角表示tanq=atanan：指向軌跡的凹側(cè)——主法線正向at：當(dāng)tanq>0時(shí)，at與t同向；tanq<0時(shí)，at與t反向.atqa2/6/2023如果v>0,at>0，點(diǎn)該如何運(yùn)動(dòng)?如果v>0,at<0，點(diǎn)該如何運(yùn)動(dòng)?如果v<0,at

>0，點(diǎn)該如何運(yùn)動(dòng)?如果v<0,at<0，點(diǎn)該如何運(yùn)動(dòng)?如果v0,at=0，點(diǎn)該如何運(yùn)動(dòng)?vtnanataqatqa討論2/6/2023下面曲線上哪些點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)是可能的運(yùn)動(dòng)？哪些是不可能的運(yùn)動(dòng)？討論av

=0AvBavCavDavEavFaGav

=02/6/2023推導(dǎo)公式勻速曲線運(yùn)動(dòng)勻變速曲線運(yùn)動(dòng)2/6/2023特殊運(yùn)動(dòng)的特點(diǎn)直線運(yùn)動(dòng)圓周運(yùn)動(dòng)r=R=常數(shù)勻速運(yùn)動(dòng)at=常數(shù)勻變速運(yùn)動(dòng)2/6/2023點(diǎn)沿著一螺旋線自外向內(nèi)運(yùn)動(dòng)。點(diǎn)所走過(guò)的弧長(zhǎng)與時(shí)間的一次方成正比。請(qǐng)判斷點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)：越跑越快；越跑越慢；加速度越來(lái)越大；加速度越來(lái)越小。問(wèn)題2/6/2023例1列車(chē)沿半徑為800m的圓弧軌道作勻加速運(yùn)動(dòng)。如初速度為零，經(jīng)過(guò)2min后，速度達(dá)到54km/h。求起點(diǎn)和末點(diǎn)的加速度。起點(diǎn)：法向加速度等于零，列車(chē)只有切向加速度解：2/6/2023終點(diǎn)：2/6/2023例2：炮彈射出時(shí)，直角坐標(biāo)下的運(yùn)動(dòng)方程為求t=0時(shí)炮彈的切向加速度和法向加速度，以及這時(shí)軌跡的曲率半徑。2/6/2023解：當(dāng)t=0時(shí)2/6/2023將加速度沿切線和法線方向分解有當(dāng)t=0時(shí)，由得當(dāng)t=0時(shí)2/6/2023例3半徑為R的輪子沿直軌道無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)，設(shè)輪子轉(zhuǎn)角=t（為常值）。求弧坐標(biāo)法表示的輪緣上任一點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)方程，并求該點(diǎn)的切向加速度、法向加速度及軌跡線的曲率半徑。1、先利用直角坐標(biāo)法求點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡、速度、加速度；2、再利用自然法求解本題。2/6/2023解：取=0時(shí)點(diǎn)M與直線軌道的接觸點(diǎn)O為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系Oxy。由于純滾動(dòng)，有：OC=MC=R則M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為：上式實(shí)際上也是以t為參數(shù)的軌跡方程，為旋輪線（擺線）。2/6/2023M點(diǎn)的速度方程為：j

2=cot方向當(dāng)t=2kp/w時(shí)即

j=2kp

輪軌接觸點(diǎn)C

vC=0

vM

CM

沿地面作純滾動(dòng)的輪子與地面接觸點(diǎn)的速度為零y+=90j2tan(v

,

x)=vy

vx=tany大小2/6/2023M點(diǎn)的加速度方程為：方向a永指向輪心tan(a

,

x)

=ay

ax=cotwt=tan(90-j)(當(dāng)wt=2kp時(shí))常量沿地面作純滾動(dòng)的輪子與地面接觸點(diǎn)的加速度不為零大小2/6/2023？已知：半徑為R的圓輪在直線軌道上作純滾動(dòng)（只滾不滑）。輪心速度u=常數(shù)。 求：輪緣一點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)方程式、軌跡、速度與加速度。2/6/2023取=0時(shí)點(diǎn)M與直線軌道的接觸點(diǎn)O為弧坐標(biāo)系原點(diǎn)，軌跡線為自然軸線?；∽鴺?biāo)法求點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)方程：積分速度方程2/6