差分方程方法

數(shù)學(xué)建模方法及其應(yīng)用韓中庚編著主要內(nèi)容

第四章差分方程方法22023年2月6日常系數(shù)線性差分方程；差分方程的平衡點及其穩(wěn)定性；連續(xù)模型的差分方法；案例分析3Monday,February6,2023

一.常系數(shù)線性差分方程1.常系數(shù)線性齊次差分方程42023年2月6日(1)特征根為單根

1.常系數(shù)線性齊次差分方程52023年2月6日(2)特征根為重根

1.常系數(shù)線性齊次差分方程62023年2月6日(3)特征根為復(fù)根

1.常系數(shù)線性齊次差分方程72023年2月6日2.常系數(shù)線性非齊次差分方程

一.常系數(shù)線性差分方程82023年2月6日2.常系數(shù)線性非齊次差分方程

一.常系數(shù)線性差分方程92023年2月6日

二差分方程的平衡點及其穩(wěn)定性1.一階線性常系數(shù)差分方程的平衡點102023年2月6日

二差分方程的平衡點及其穩(wěn)定性2.一階線性常系數(shù)差分方程組的平衡點112023年2月6日

二差分方程的平衡點及其穩(wěn)定性3.二階線性常系數(shù)差分方程的平衡點

二差分方程的平衡點及其穩(wěn)定性4.一階非線性差分方程的平衡點2023年2月6日132023年2月6日

三連續(xù)模型的差分方法1.微分的差分方法142023年2月6日

三連續(xù)模型的差分方法

2.定積分的差分方法

152023年2月6日

三連續(xù)模型的差分方法

2.定積分的差分方法

(1)復(fù)化的梯形公式：162023年2月6日

三連續(xù)模型的差分方法

2.定積分的差分方法

類似地：復(fù)化辛甫生（Simpson）公式;復(fù)化柯特斯（Cotes）公式等。（詳見教材）

（2）復(fù)化梯形公式：四、案例:市場經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型問題供大于求現(xiàn)象

商品數(shù)量與價格的振蕩在什么條件下趨向穩(wěn)定?

當(dāng)不穩(wěn)定時政府能采取什么干預(yù)手段使之穩(wěn)定?價格下降減少產(chǎn)量增加產(chǎn)量價格上漲供不應(yīng)求

描述商品數(shù)量與價格的變化規(guī)律.數(shù)量與價格在振蕩gx0y0P0fxy0xk~第k時段商品數(shù)量；yk~第k時段商品價格.消費者的需求關(guān)系生產(chǎn)者的供應(yīng)關(guān)系減函數(shù)增函數(shù)需求函數(shù)f與g的交點P0(x0,y0)~平衡點一旦xk=x0，則yk=y0,xk+1,xk+2,…=x0,yk+1,yk+2,…=y0

供應(yīng)函數(shù)四、案例:市場經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型xy0fgy0x0P0設(shè)x1偏離x0x1x2P2y1P1y2P3P4x3y3P0是穩(wěn)定平衡點P1P2P3P4P0是不穩(wěn)定平衡點xy0y0x0P0fg曲線斜率蛛網(wǎng)模型四、案例:市場經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型在P0點附近用直線近似曲線P0穩(wěn)定P0不穩(wěn)定方程模型方程模型與蛛網(wǎng)模型的一致四、案例:市場經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型~商品數(shù)量減少1單位,

價格上漲幅度~價格上漲1單位，

(下時段)供應(yīng)的增量考察,的含義~消費者對需求的敏感程度~生產(chǎn)者對價格的敏感程度小,有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定小,有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定結(jié)果解釋xk~第k時段商品數(shù)量；yk~第k時段商品價格.經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定結(jié)果解釋四、案例:市場經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型經(jīng)濟(jì)不穩(wěn)定時政府的干預(yù)辦法1.使盡量小，如=0

以行政手段控制價格不變2.使盡量小，如=0靠經(jīng)濟(jì)實力控制數(shù)量不變xy0y0gfxy0x0gf結(jié)果解釋需求曲線變?yōu)樗焦?yīng)曲線變?yōu)樨Q直四、案例:市場經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型模型的推廣

生產(chǎn)者根據(jù)當(dāng)前時段和前一時段的價格決定下一時段的產(chǎn)量.生產(chǎn)者管理水平提高設(shè)供應(yīng)函數(shù)為需求函數(shù)不變二階線性常系數(shù)差分方程x0為平衡點研究平衡點穩(wěn)定，即k,xkx0的條件四、案例:市場經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型方程通解(c1,c2由初始條件確定)1,2~特征根，即方程的根平衡點穩(wěn)定，即k,xkx0的條件:平衡點穩(wěn)定條件比原來的條件放寬了模型的推廣四、案例:市場經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型背景

多數(shù)減肥食品達(dá)不到減肥目標(biāo)，或不能維持.

通過控制飲食和適當(dāng)?shù)倪\動，在不傷害身體的前提下，達(dá)到減輕體重并維持下去的目標(biāo).分析

體重變化由體內(nèi)能量守恒破壞引起.

飲食（吸收熱量）引起體重增加.

代謝和運動（消耗熱量）引起體重減少.

體重指數(shù)BMI=w(kg)/l2(m2).18.5<BMI<25~正常；BMI>25~超重;BMI>30~肥胖.四、案例:減肥計劃——節(jié)食與運動模型假設(shè)1）體重增加正比于吸收的熱量——每8000千卡增加體重1公斤；2）代謝引起的體重減少正比于體重——每周每公斤體重消耗200千卡~320千卡(因人而異),

相當(dāng)于70公斤的人每天消耗2000千卡~3200千卡；3）運動引起的體重減少正比于體重，且與運動形式有關(guān)；4）為了安全與健康，每周體重減少不宜超過1.5公斤，每周吸收熱量不要小于10000千卡.四、案例:減肥計劃——節(jié)食與運動某甲體重100公斤，目前每周吸收20000千卡熱量，體重維持不變?，F(xiàn)欲減肥至75公斤.第一階段：每周減肥1公斤，每周吸收熱量逐漸減少，直至達(dá)到下限（10000千卡）；第二階段：每周吸收熱量保持下限，減肥達(dá)到目標(biāo)2）若要加快進(jìn)程，第二階段增加運動，試安排計劃.1）在不運動的情況下安排一個兩階段計劃.減肥計劃3）給出達(dá)到目標(biāo)后維持體重的方案.四、案例:減肥計劃——節(jié)食與運動

確定某甲的代謝消耗系數(shù)即每周每公斤體重消耗20000/100=200千卡基本模型w(k)~第k周(末)體重c(k)~第k周吸收熱量~代謝消耗系數(shù)(因人而異)1）不運動情況的兩階段減肥計劃每周吸收20000千卡w=100公斤不變四、案例:減肥計劃——節(jié)食與運動

第一階段:w(k)每周減1公斤,c(k)減至下限10000千卡第一階段10周,每周減1公斤，第10周末體重90公斤吸收熱量為1）不運動情況的兩階段減肥計劃四、案例:減肥計劃——節(jié)食與運動

第二階段：每周c(k)保持Cm,w(k)減至75公斤1）不運動情況的兩階段減肥計劃基本模型四、案例:減肥計劃——節(jié)食與運動

第二階段：每周c(k)保持Cm,w(k)減至75公斤第二階段19周,每周吸收熱量保持10000千卡,體重按減少至75公斤.四、案例:減肥計劃——節(jié)食與運動2）第二階段增加運動的減肥計劃根據(jù)資料每小時每公斤體重消耗的熱量(千卡):

跑步跳舞乒乓自行車(中速)游泳(50米/分)7.03.04.42.57.9t~每周運動時間(小時)基本模型四、案例:減肥計劃——節(jié)食與運動運動t=24(每周跳舞8小時或自行車10小時),14周即可.2）第二階段增加運動的減肥計劃四、案例:減肥計劃——節(jié)食與運動增加運動相當(dāng)于提高代謝消耗系數(shù)2）第二階段增加運動的減肥計劃提高12%減肥所需時間從19周降至14周減少25%

這個模型的結(jié)果對代謝消耗系數(shù)很敏感.

應(yīng)用該模型時要仔細(xì)確定代謝消耗系數(shù)(對不同的人;對同一人在不同的環(huán)境).四、案例:減肥計劃——節(jié)食與運動3）達(dá)到目標(biāo)體重75公斤后維持不變的方案每周吸收熱量c(k)保持某常數(shù)C，使體重w不變

不運動

運動(內(nèi)容同前)四、案例:減肥計劃——節(jié)食與運動362023年2月6日1.問題的提出四、案例:最優(yōu)捕魚策略問題

假設(shè)魚可分為4個年齡組：稱1、2、3、4齡魚。各年齡組每條魚的平均重量分別為5.07，11.55，17.86，22.99(克）；各年齡組魚的自然死亡率均為0.8(1/年）；這種魚為季節(jié)性集中產(chǎn)卵繁殖，產(chǎn)卵孵化期為每年的最后4個月，平均每條4齡魚的產(chǎn)卵量為

(個），3齡魚的產(chǎn)卵量為這個數(shù)的一半，2齡和１齡魚不產(chǎn)卵。卵孵化并成活為1齡魚，成活率（1齡魚條數(shù)與產(chǎn)卵量n之比）為

372023年2月6日

漁業(yè)部門規(guī)定，每年只允許在產(chǎn)卵孵化期前的８個月內(nèi)進(jìn)行捕撈作業(yè)。如果每年投入的捕撈能力固定不變，即固定努力量捕撈，這時單位時間捕撈量將與各年齡組魚群條數(shù)成正比，比例系數(shù)稱為捕撈強(qiáng)度系數(shù)。通常使用13mm網(wǎng)眼的拉網(wǎng)，這種網(wǎng)只能捕撈3,4齡魚，其兩個捕撈系數(shù)之比為0.42:1。1.問題的提出四、案例:最優(yōu)捕魚策略問題382023年2月6日（1）建立數(shù)學(xué)模型分析如何實現(xiàn)可持續(xù)性捕撈(即每年開始捕撈時漁場中各年齡組魚群條數(shù)不變），并且在此前提下得到最高的年收獲量（總重量）。1.問題的提出四、案例:最優(yōu)捕魚策略問題392023年2月6日2.模型的假設(shè)四、案例:最優(yōu)捕魚策略問題（3）所有魚都在每年最后四個月內(nèi)完成產(chǎn)卵孵化的過程，成活的幼魚在下一年初成為一齡魚；（4）產(chǎn)卵發(fā)生于后四個月之初，產(chǎn)卵魚的自然死亡發(fā)生于產(chǎn)卵之后；（1）只考慮魚的繁殖和捕撈的變化，不考慮魚群遷入與遷出；（2）各齡魚在一年的任何時間都會發(fā)生自然死亡；2.模型的假設(shè)四、案例:最優(yōu)捕魚策略問題（6）四齡以上的魚全部死亡；（7）采用固定努力量捕撈即捕撈的速率正比于捕撈時各齡魚群的條數(shù)，比例系數(shù)為捕撈強(qiáng)度系數(shù)。（5）相鄰兩個年齡組的魚群在相鄰兩年之間的變化是連續(xù)的;2023年2月6日412023年2月6日3.模型的建立與求解四、案例:最優(yōu)捕魚策略問題（1）無捕撈時魚群的自然增長模型??！無捕撈時魚群會無限的增長嗎？？No!Idon’tknow!各齡魚都不會無限地增長！422023年2月6日

（1）無捕撈時魚群的自然增長模型3、模型的建立與求解432023年2月6日

(2)固定努力量捕撈下魚群的增長和捕撈模型3、模型的建立與求解442023年2月6日

(2)固定努力量捕撈下魚群的增長和捕撈模型3、模型的建立與求解452023年2月6日1)魚群的增長規(guī)律求解(1)，(2)，并利用連續(xù)條件(3)

462023年2月6日2)捕撈量472023年2月6日