第三篇數(shù)學分支中的相關(guān)數(shù)學模型

第三篇數(shù)學分支中的相關(guān)數(shù)學模型§1高等數(shù)學相關(guān)模型

1.1衛(wèi)星軌道長度1.2射擊命中概率

1.3人口增長率

§2線性代數(shù)相關(guān)模型

2.1投入產(chǎn)出綜合平衡分析2.2輸電網(wǎng)絡(luò)§3概率統(tǒng)計相關(guān)模型

3.1合金強度與碳含量3.2年齡與運動能力

3.3商品銷售量與價格

§1高等數(shù)學相關(guān)模型問題1.1衛(wèi)星軌道長度人造地球衛(wèi)星軌道可視為平面上的橢圓.我國第一顆人造地球衛(wèi)星近地點距地球表面439km，遠地點距地球表面2384km，地球半徑為6371km,求該衛(wèi)星的軌道長度.分析衛(wèi)星軌道橢圓的參數(shù)方程

橢圓長度

分別是長、短半軸

橢圓積分無法解析計算

輸出MATLAB程序

functiony=x5(t)a=8755;b=6810;y=sqrt(a^2*sin(t).^2+b^2*cos(t).^2);t=0:pi/10：pi/2y1=x5(t);L1=4*trapz(t,y1)L2=4*quad(‘x5’,0,pi/2,le-6)L1=4.908996526785276e+004L2=4.908996531830460e+004輸出求解梯形公式

辛普森公式評注問題1.2射擊命中概率炮彈射擊目標為一正橢圓形區(qū)域，當瞄準目標中心發(fā)射時，在眾多因素影響下，彈著點與目標中心有隨機偏差.分析設(shè)目標中心x=0,y=0,無法解析計算

設(shè)彈著點圍繞中心成二維正態(tài)分布,且偏差在X方向和Y方向相互獨立.若橢圓在X方向半軸長120m,Y方向半軸長80,設(shè)彈著點偏差的均方差在X和Y方向均為100m.求炮彈落在橢圓形區(qū)域內(nèi)的概率.

則彈著點(x,y)概率密度函數(shù)炮彈命中橢圓形區(qū)域的概率求解：蒙特卡羅方法這是一種隨機實驗的方法，用它來計算定積分的原理可以從下面的直觀例子得出。如圖所示：投石算面積隨機投點法從概率論的觀點看上例，記投點的坐標為

每個坐標視為相互獨立的、（0，1）取間內(nèi)均勻分布的隨機變量，簡稱（0，1）隨機數(shù)。根據(jù)大數(shù)定律，事件“落在四分之一單位圓面積內(nèi)”發(fā)生的頻率（依概率）收斂于（）該事件發(fā)生的概率P，不妨寫作，而P可以用積分表示為于是當

，可以用隨機投點法作近似計算這里n是二維（0，1）隨機數(shù)的總數(shù)，k是其中滿足的數(shù)目。（0，1）隨機數(shù)可以用計算機方便的產(chǎn)生。rand(1,n)產(chǎn)生n個（0，1）隨機數(shù)，用于蒙特卡羅方法。重積分的計算：設(shè)是相互獨立的（0，1）隨機數(shù)，判斷每個點是否落在域內(nèi)，將落在域內(nèi)的m個點記作,則求解：蒙特卡羅方法作變換以100(m)為1單位，則MATLAB程序

輸出a=1.2;b=0.8;m=0;z=0;n=100000;fori=1:nx=rand(1,2);y=0;ifx(1)^2+x(2)^2<=1y=exp(-0.5*(a^2*P=0.3752,m=78.552x(1)^2+b^2*x(2)^2));z=z+y,m=m+1endendp=4*a*b*z/2/pi/n,m評注問題11.3人口增長率20世紀美國人口數(shù)據(jù)(106),

計算各年份人口增長率.記時刻t人口為x(t)，則人口相對增長率為分析記1900年為k=0

求解：數(shù)值微分三點公式

年增長率

2.201.661.461.021.041.581.491.161.051.04

評注問題2已知某地區(qū)20世紀70年代的人口增長率,且1970年人口為210（百萬），試估計1980年的人口.記時刻t人口為x(t)，則人口增長滿足微分方程分析記1970年為k=0

求解評注1980年該地區(qū)人口為230.2（百萬）

數(shù)值積分梯形公式為算出瑞士的國土面積，首先對瑞士地圖作如下測量：以由西向東方向為x軸，由南到北方向為y軸，選擇方便的原點，并將從最西邊界點到最東邊界點在x軸上的區(qū)間適當?shù)貏澐譃槿舾啥危诿總€分點的y方向測出南邊界點和北邊界點的坐標，得到表中數(shù)據(jù)（單位mm）.習題：國土面積問題根據(jù)地圖比例,18mm相當于40km，試由測量數(shù)據(jù)計算瑞士國土的近似面積，與它的精確值41288km比較.§2線性代數(shù)相關(guān)模型背景2.1投入產(chǎn)出綜合平衡分析國民經(jīng)濟各個部門之間存在著相互依存的關(guān)系，每個部門在運轉(zhuǎn)中將其他部門的產(chǎn)品或半成品經(jīng)過加工（投入）變?yōu)樽约旱漠a(chǎn)品（產(chǎn)出）.投入產(chǎn)出綜合平衡模型:根據(jù)各部門間的投入—產(chǎn)出關(guān)系，確定各部門的產(chǎn)出水平，以滿足社會的需求.設(shè)國民經(jīng)濟僅由農(nóng)業(yè)、制造業(yè)、和服務(wù)業(yè)三個部門構(gòu)成，已知某年它們之間的投入產(chǎn)出關(guān)系、外部需求、初始投入等如表（產(chǎn)值單位為億元）簡化問題產(chǎn)出投入農(nóng)業(yè)制造業(yè)服務(wù)業(yè)外部需求總產(chǎn)出農(nóng)造業(yè)301045115200服務(wù)業(yè)2060/70150外部需求3511075總投入100200150說明假定每個部門的產(chǎn)出與投入是成正比的，由上表能夠確定這三個部門的投入產(chǎn)出表投入農(nóng)業(yè)制造業(yè)服務(wù)業(yè)農(nóng)業(yè)0.150.100.20制造業(yè)0.300.050.30服務(wù)業(yè)0.200.300說明表中數(shù)字稱為投入系數(shù)或消耗系數(shù)

假設(shè)系數(shù)是常數(shù)產(chǎn)出?設(shè)有n個部門，已知投入系數(shù)，給定外部需求，建立求解各部門總產(chǎn)出的模型.?如果今年對農(nóng)業(yè)、制造業(yè)、服務(wù)業(yè)的外部需求分別為50，150，100億元，三個部門總產(chǎn)出？

?

模型可行：對于任意給定的、非負的外部需求,都能得到非負的總產(chǎn)出.為使模型可行,投入系數(shù)滿足？

?如果三個部門的外部需求分別增加1個單位，他們的總產(chǎn)出應(yīng)分別增加多少？分析投入產(chǎn)出綜合平衡分析①若有n個部門，記一定時期內(nèi)第i個部門的總產(chǎn)出為xi，其中對第j個部門的投入為xij，滿足的外部需求為di，則投入產(chǎn)出表每一行都滿足

記第j個部門的單位產(chǎn)出需要第i個部門的投入為aij，在每個部門的產(chǎn)出與投入成正比的假定下，有記投入系數(shù)矩陣產(chǎn)出向量

需求向量

則

或

若I-A可逆，則

?各部門總產(chǎn)出

MATLAB程序

a=[0.150.10.2;0.30.050.3;0.20.30];

d=[50150100];

b=eye(3)-a;

x=b\d,c=inv(b)

?三部門總產(chǎn)出:139.2801,267.6056,208.1377億元

?外部需求分別增加1個單位時，總產(chǎn)出分別增加C=1.34590.25040.34430.56341.26760.49300.43820.43041.2167

部門關(guān)聯(lián)系數(shù)

當對農(nóng)業(yè)的需求增加1個單位時,農(nóng)業(yè)、制造業(yè)、和服務(wù)業(yè)的總產(chǎn)出分別增加1.3459，0.5634，0.4382單位

?模型可行若問題2.2輸電網(wǎng)絡(luò)一種大型輸電網(wǎng)絡(luò)可簡化為電路

負載電阻線路內(nèi)阻電源電壓V

負載電流?列出各負載上電流的方程?設(shè)

?討論情況n=10,求

及總電流分析?記

上的電流為根據(jù)電路中電流、電壓關(guān)系,列出消和求電流方程

?

求電流方程

?

其中MATLAB計算電流程序

r=1;R=6;v=18;n=10;b1=sparse(1,1,v,n,1);b=full(b1);a1=triu(r*ones(n,n));a2=diag(R*ones(1,n));a3=-tril(R*ones(n,n),-1)+tril(R*ones(n,n),-2);a=a1+a2+a3;I=a\b;I0=sum(I)k0123456789105.99706.00002.00052.00001.33441.33330.89070.88890.59550.59260.39950.39510.27020.26340.18580.17560.13240.11710.10110.07800.08670.0520k111213141516171819200.03470.02310.01540.01030.00690.00470.00320.00230.00180.0015說明從n=10到n=20，I0幾乎不變，I1-I5變化也很小

Ik+1差不多是Ik的2/3倍如果n增加到50,100?

可以得到類似的結(jié)論

證明Ik+1是Ik的2/3倍習題：種群的繁殖與穩(wěn)定收獲種群的數(shù)量因繁殖而增加，因自然死亡而減少，對于人工飼養(yǎng)的種群（比如家畜）而言，為了保證穩(wěn)定的收獲，各個年齡的種群數(shù)量應(yīng)維持不變.種群因雌性個體的繁殖而改變，為方便起見以下種群數(shù)量均指其中的雌性.種群年齡記作當年年齡的種群數(shù)量記作，繁殖率記作（每個雌性個體一年繁殖的數(shù)量），自然存活率記作為一年的死亡率），收獲量記作，則來年年齡的種群數(shù)量應(yīng)為（1）若已知，給定收獲量，建立求各年齡的穩(wěn)定種群數(shù)量的模型（用矩陣、向量表示）。（2）設(shè)如要求為500，400，200，100，100,求。（3）使均為500，如何達到?解：（1）

為了保證穩(wěn)定的收獲，各個年齡的種群數(shù)量應(yīng)維持不變。因此則，即§3概率統(tǒng)計相關(guān)模型問題3.1合金強度與碳含量合金的強度y(kg/mm)與其中的碳含量x(

%)有比較密切的關(guān)系，從生產(chǎn)中收集一批數(shù)據(jù).求擬合函數(shù)y(x)，再用回歸分析進行檢驗.x0.100.110.120.130.140.150.160.170.180.200.210.23y42.041.545.045.545.047.549.055.050.055.055.560.5分析描點作圖?y與x近似為線性,擬合y=ax+b.MATLAB程序

x=0.1:0.01:0.23;x=[x(1:9),x(11:12),x(14)];y=[42,41.5,45,45.5,45,47.5,49,55,50,55,55.5,60.5];pp=polyfit(x,y,1);xx=0.08:0.01:0.25;yy=polyval(pp,xx);plot(x,y,'r*',xx,yy)

擬合y=ax+ba=140.6194,b=27.0269

評注?是否線性顯著

?有無異常點?預測

程序hejinpolyMATLAB統(tǒng)計工具箱

多元線性回歸?b=regress(Y,X)

?[b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,alpha)Y,X為按列排列的數(shù)據(jù)說明b,bint為回歸系數(shù)估計值和他們的置信區(qū)間

alpha為顯著性水平（缺省時設(shè)定為0.05）stats包括R2，F(xiàn)，P值r,rint為殘差及置信區(qū)間，可用rcoplot(r,rint)畫圖

合金強度與碳含量問題回歸模型

?回歸模型與統(tǒng)計檢驗

MATLAB程序

x1=0.1:0.01:0.18;x=[x10.20.210.23]’;y=[4241.54545.54547.54955505555.560.5]’;x=[ones(12,1)x];[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x);b,bint,stats,rcoplot(r,rint)

b=27.0269140.6194bint=22.322631.7313111.7842169.4546stats=0.9219118.06700.0000

y=27.0269+140.6194x線性顯著模型成立

?有無異常點畫殘差分布圖除第8個數(shù)據(jù)外其余殘差的置信區(qū)間均包含零點第8個點應(yīng)視為異常點，剔除后重新計算，可得

b=26.8968139.9043bint=24.133029.6606122.7939157.0148stats=0.9744342.12590.0000程序hejinre問題3.2年齡與運動能力將17至29歲的運動員每兩歲一組分為7組，求年齡對這種運動能力的影響關(guān)系.多項式回歸

年齡

17192123252729第一人

20.4825.1326.1530.026.120.319.35第二人

24.3528.1126.331.426.9225.721.3分析MATLAB散點圖程序

每組兩人測量其旋轉(zhuǎn)定向能力.x=17:2:29;y1=[20.48,25.13,26.15,30.0,26.1,20.3,19.35];y2=[24.35,28.11,26.3,31.4,26.92,25.7,21.3];plot(x,y1,'+',x,y2,'+')axis([15301535])

應(yīng)擬合一條二次曲線可利用ployfit一元多項式回歸年齡與運動能力的二次模型MATLAB程序

x1=17:2:29;x=[x1,x1];y=[20.4825.1326.1530.026.120.319.3524.3528.1126.331.426.9225.721.3];[p,S]=polyfit(x,y,2);p

p=-0.20038.9782-72.2150a1=-0.2003a2=8.9782a3=-72.2150S是一個數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)[Y,delta]=polyconf(p,x,S);Y得到x與y的擬合效果求解程序duo1統(tǒng)計檢驗y1=mean(y);rsquare=sum((Y-y1).^2)./sum((y-y1).^2),s=sqrt(sum((y-Y).^2)./12),rsquare=0.6980s=2.0831衡量擬合優(yōu)劣的指標

問題3.3商品銷售量與價格某廠生產(chǎn)電器的銷售量y與競爭對手的價格x1和本廠的價格x2有關(guān).在10個城市的銷售記錄?建立y與x1和x2的關(guān)系式

x1元120140190130155175125145180150x2元10011090150210150250270300250y個10210012077469326696585分析?對模型和系數(shù)進行檢驗?若本廠售價160元，對手售價170元，預測銷售量.畫散點圖

y與x2有較明顯的線性關(guān)系，而y與x1之間的關(guān)系則難以確定，作幾種嘗試，用統(tǒng)計分析決定優(yōu)劣.設(shè)回歸模型?MATLAB程