2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 均值與方差在生活中的運(yùn)用（精講）（解析版）

8.7均值與方差在生活中的運(yùn)用（精講）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖常見考法常見考法考點(diǎn)一均值與方差【例1】（1）（2021·江蘇省前黃高級(jí)中學(xué)高三）若隨機(jī)變量，，則（）A． B． C． D．（2）（2021·浙江高三開學(xué)考試）設(shè)隨機(jī)變量，若二項(xiàng)式，則（）A．， B．，C．， D．，【答案】（1）D（2）C【解析】（1）因?yàn)?，，則，解得，所以.故選：D.（2）二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式為，又，∴，，即，解得：，此時(shí)，，經(jīng)檢驗(yàn)可得，，∴，，故選：C【一隅三反】1．（2021·安徽蚌埠·高三（理））若隨機(jī)變量，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)殡S機(jī)變量，所以，，所以，，D項(xiàng)錯(cuò)誤，故選：D.2．（2021·福建泉州·高三）“立定跳遠(yuǎn)”是《國(guó)家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》測(cè)試項(xiàng)目中的一項(xiàng)，已知某地區(qū)高中男生的立定跳遠(yuǎn)測(cè)試數(shù)據(jù)（單位：）服從正態(tài)分布，且，現(xiàn)從該地區(qū)高中男生中隨機(jī)抽取3人，并記不在的人數(shù)為，則（）A． B．C． D．【答案】D【解析】由，則則，故A錯(cuò)誤；由題知，不在的概率為，則，則，故B錯(cuò)誤；，故C錯(cuò)誤；，故D正確；故選：D3．（2021·湖北漢陽(yáng)一中高三）已知隨機(jī)變量，且，則（）A． B．8 C．12 D．24【答案】D【解析】因?yàn)椋?故.故選：D4（多選）（2021·沙坪壩·重慶一中高三）下列說(shuō)法中正確的是（）A．對(duì)于獨(dú)立性檢驗(yàn)，的值越大，說(shuō)明這兩個(gè)變量的相關(guān)程度越大B．己知隨機(jī)變量，若，，則C．某人在10次射擊中，擊中目標(biāo)的次數(shù)，則當(dāng)時(shí)概率最大D．，【答案】ABC【解析】A：獨(dú)立檢驗(yàn)中的值越大，說(shuō)明這兩個(gè)變量的相關(guān)程度越大，正確；B：，，可得，正確；C：由題意，，所以當(dāng)且，要使概率依次增大，則有，即，故概率最大時(shí)有，正確；D：，，錯(cuò)誤；故選：ABC考點(diǎn)二均值在實(shí)際生活中運(yùn)用【例2】（2021·北京房山區(qū)·）某商場(chǎng)為促銷舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng)，設(shè)置了兩種抽獎(jiǎng)方案，方案的中獎(jiǎng)率為，中獎(jiǎng)可得2分；方案的中獎(jiǎng)率為，中獎(jiǎng)可得3分；未中獎(jiǎng)則不得分.每人有且只有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，每次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)與否互不影響，活動(dòng)后顧客憑分?jǐn)?shù)兌換相應(yīng)獎(jiǎng)品.（1）若顧客甲選擇方案抽獎(jiǎng)，顧客乙選擇方案抽獎(jiǎng)，記他們的累計(jì)得分為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）顧客甲、乙決定選擇同一種方案抽獎(jiǎng)（即都選擇方案或都選擇方案進(jìn)行抽獎(jiǎng)）.如果從累計(jì)得分的角度考慮，你建議他們選擇方案還是方案？說(shuō)明理由.【答案】（1）分布列見解析，；（2）選擇方案，理由見解析.【解析】（1）由題意，的可能值有，其中表示甲、乙都未中獎(jiǎng)；表示甲中獎(jiǎng)、乙未中獎(jiǎng)；表示甲未中獎(jiǎng)、乙中獎(jiǎng)；表示甲、乙都中獎(jiǎng)；∴，，，，故的分布列為∴.（2）若顧客甲、乙決定選擇同一種方案抽獎(jiǎng)，則、當(dāng)選方案時(shí)，的可能值有，則，，，∴期望.當(dāng)選方案時(shí)，的可能值有，則，，，∴期望.∴，故他們選擇方案比較好.【一隅三反】1．（2021·沙坪壩·重慶一中高三）計(jì)劃在某水庫(kù)建一座至多安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)的水電站，過(guò)去50年的水文資料顯示，水年入流量（年入流量：一年內(nèi)上游來(lái)水與庫(kù)區(qū)降水之和，單位：億立方米）都在40以上，其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超過(guò)120的年份有35年，超過(guò)120的年份有5年，將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率，并假設(shè)各年的年入流量相互獨(dú)立．（1）求未來(lái)4年中，至多有1年的年入流量超過(guò)120的概率．（2）水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能運(yùn)行，但每年發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)受年入流量限制，并有如下關(guān)系：年入流量發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)123若某臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，則該臺(tái)年利潤(rùn)為1000萬(wàn)元；若某臺(tái)發(fā)電機(jī)未運(yùn)行，則該臺(tái)年虧損160萬(wàn)元，欲使水電站年總利潤(rùn)的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)多少臺(tái)？【答案】（1）；（2）應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)2臺(tái).【解析】（1）依題意，由二項(xiàng)分布得，在未來(lái)4年中至多有1年的年入流量超過(guò)120的概率為（2）記水電站年總利潤(rùn)為(單位:萬(wàn)元).①安裝1臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形，由于水庫(kù)年入流量總大于40，故一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行的概率為1,對(duì)應(yīng)的年利潤(rùn)，②安裝2臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形，依題意，當(dāng)時(shí)，一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)，因此；當(dāng)時(shí)，兩臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)，因此由此得的分布列為：84020000.20.8所以，；③安裝3臺(tái)發(fā)電機(jī)的情形，依題意，當(dāng)時(shí)，一臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)，因此，；當(dāng)時(shí)，兩臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時(shí)，因此，，當(dāng)時(shí)，三臺(tái)發(fā)電機(jī)運(yùn)行此時(shí)，因此，，由此得的分布列為：680184030000.20.70.1所以，，綜上，欲使水電站年總利潤(rùn)的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)2臺(tái).2（2021·福建高三）某同學(xué)利用假期到一超市參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，發(fā)現(xiàn)該超市出售種水果禮盒，每天進(jìn)貨一次，每銷售1個(gè)水果盒可獲利50元，賣不完的水果禮盒則需當(dāng)天降價(jià)處理，每盒虧損10元.若每天該禮盒的需求量在(單位：個(gè))范圍內(nèi)等可能取值.（1）求該禮盒的日需求量不低于15盒的概率；（2）若某日超市進(jìn)貨13個(gè)水果禮盒，請(qǐng)寫出該水果禮盒日銷售利潤(rùn)(元)的分布列，并求出的數(shù)學(xué)期望；（3）這位同學(xué)想讓水果禮盒的日銷售利潤(rùn)最大，他應(yīng)該建議超市日進(jìn)貨多少個(gè)水果禮盒？請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：；（3）建議超市日進(jìn)貨18個(gè)水果禮盒，理由見解析．【解析】（1）每天該禮盒的需求量在(單位：個(gè))范圍內(nèi)等可能取值，則該禮盒的日需求量不低于15盒的概率；（2）的可能取值為470，530，590，650，所以，，，，所以的分布列為：470530590650故；（3）設(shè)水果禮盒的日進(jìn)貨量為個(gè)，銷售該禮盒的日利潤(rùn)為元．則的分布列為…P…所以，因，所以進(jìn)貨量n為18時(shí)，可獲得期望的最大值．3．（2021·廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三）某中學(xué)的一個(gè)高二學(xué)生社團(tuán)打算在開學(xué)初組織部分同學(xué)參加打掃校園志愿活動(dòng).該社團(tuán)通知高二同學(xué)自愿報(bào)名，由于報(bào)名的人數(shù)多達(dá)50人，于是該社團(tuán)采用了在報(bào)名同學(xué)中用抽簽的方式來(lái)確定打掃校園的人員名單.抽簽方式如下：將50名同學(xué)編號(hào)，通過(guò)計(jì)算機(jī)從這50個(gè)編號(hào)中隨機(jī)抽取30個(gè)編號(hào)，然后再次通過(guò)計(jì)算機(jī)從這50個(gè)編號(hào)中隨機(jī)抽取30個(gè)編號(hào)，兩次都被抽取到的同學(xué)可參加活動(dòng).（1）設(shè)該校高二年級(jí)報(bào)名參加活動(dòng)的甲同學(xué)的編號(hào)被抽取到的次數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）設(shè)兩次都被抽取到的人數(shù)為變量，則的可能取值是哪些？其中取到哪一個(gè)值的可能性最大？請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：；（2），取值為18的可能性最大，理由見解析.【解析】（1）因?yàn)榧淄瑢W(xué)在第一次被抽到的概率是，第二次被抽到的概率也是，且兩次相互獨(dú)立，所以，所以，的分布列為012所以.（2）兩次抽中的人數(shù)，則，設(shè)，那么，解得，所以，所以當(dāng)時(shí)可能性最大.考點(diǎn)三方差在實(shí)際生活的運(yùn)用【例3】（2021·全國(guó)高三專題練習(xí)）2017年11月河南省三門峽市成功入圍“十佳魅力中國(guó)城市”，吸引了大批投資商的目光，一些投資商積極準(zhǔn)備投入到“魅力城市”的建設(shè)之中.某投資公司準(zhǔn)備在2018年年初將四百萬(wàn)元投資到三門峽下列兩個(gè)項(xiàng)目中的一個(gè)之中.項(xiàng)目一：天坑院是黃土高原地域獨(dú)具特色的民居形式，是人類“穴居”發(fā)展史演變的實(shí)物見證.現(xiàn)準(zhǔn)備投資建設(shè)20個(gè)天坑院，每個(gè)天坑院投資0.2百萬(wàn)元，假設(shè)每個(gè)天坑院是否盈利是相互獨(dú)立的，據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，到2020年底每個(gè)天坑院盈利的概率為，若盈利則盈利投資額的40%，否則盈利額為0.項(xiàng)目二：天鵝湖國(guó)家濕地公園是一處融生態(tài)、文化和人文地理于一體的自然山水景區(qū).據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，投資到該項(xiàng)目上，到2020年底可能盈利投資額的50%，也可能虧損投資額的30%，且這兩種情況發(fā)生的概率分別為p和.（1）若投資項(xiàng)目一，記為盈利的天坑院的個(gè)數(shù)，求（用p表示）；（2）若投資項(xiàng)目二，記投資項(xiàng)目二的盈利為百萬(wàn)元，求（用p表示）；（3）在（1）（2）兩個(gè)條件下，針對(duì)以上兩個(gè)投資項(xiàng)目，請(qǐng)你為投資公司選擇一個(gè)項(xiàng)目，并說(shuō)明理由.【答案】（1）（2）（3）見解析【解析】（1）解：由題意則盈利的天坑院數(shù)的均值.（2）若投資項(xiàng)目二，則的分布列為2-1.2盈利的均值.（3）若盈利，則每個(gè)天坑院盈利（百萬(wàn)元），所以投資建設(shè)20個(gè)天坑院，盈利的均值為（百萬(wàn)元）.①當(dāng)時(shí)，，解得..故選擇項(xiàng)目一.②當(dāng)時(shí)，，解得.此時(shí)選擇項(xiàng)一.③當(dāng)時(shí)，，解得.此時(shí)選擇項(xiàng)二.【一隅三反】1．（2021·貴州高三（理））2020年遵義市高中生詩(shī)詞大賽如期舉行，甲、乙兩校進(jìn)入最后決賽的第一環(huán)節(jié)．現(xiàn)從全市高中老師中聘請(qǐng)專家設(shè)計(jì)了第一環(huán)節(jié)的比賽方案：甲、乙兩校從6道不同的題目中隨機(jī)抽取3道分別作答，已知這6個(gè)問(wèn)題中，甲校選手只能正確作答其中的4道，乙校選手正確作答每道題目的概率均為，甲、乙兩校對(duì)每道題的作答都是相互獨(dú)立，互不影響的．（1）求甲、乙兩?？偣舱_作答2道題目的概率；（2）請(qǐng)從期望和方差的角度分析，甲、乙兩校哪所學(xué)校獲得第一環(huán)節(jié)勝利的可能性更大？【答案】（1）；（2）甲校獲得第一環(huán)節(jié)勝利可能性更大.【解析】（1）由題意可知，甲、乙共答對(duì)兩道題的可能有，甲校1道乙校1道；甲校2道乙校0道，所求概率.（2）設(shè)甲校正確作答的題數(shù)為X，則X的取值分別為1，2，3，，，，則X的分布列為：X123P∴，，設(shè)乙校正確作答的題數(shù)為Y，則Y取值分別為0，1，2，3，，，，，則Y的分布列為：Y0123P∴．（或∵，∴）（或），由，可得，甲校獲得第一環(huán)節(jié)勝利可能性更大.2．（2021·全國(guó)高三專題練習(xí)）某地舉行一場(chǎng)游戲，每個(gè)項(xiàng)目成功率的計(jì)算公式為Pi＝，其中Pi為第i個(gè)項(xiàng)目的成功率，Ri為該項(xiàng)目成功的人數(shù)，N為參加游戲的總?cè)藬?shù)．現(xiàn)對(duì)300人進(jìn)行一次測(cè)試，共5個(gè)游戲項(xiàng)目．測(cè)試前根據(jù)實(shí)際情況，預(yù)估了每個(gè)項(xiàng)目的難度，如下表所示：項(xiàng)目號(hào)12345游戲前預(yù)估成功率Pi0.90.80.70.60.4測(cè)試后，隨機(jī)抽取了20人的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下：項(xiàng)目號(hào)12345實(shí)測(cè)成功人數(shù)161614144（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)，估計(jì)這300人中第5個(gè)項(xiàng)目的實(shí)測(cè)成功的人數(shù)；（2）從抽樣的20人中隨機(jī)抽取2人，記這2人中第5個(gè)項(xiàng)目成功的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）游戲項(xiàng)目的預(yù)估難度和實(shí)測(cè)難度之間會(huì)有偏差，設(shè)P′i為第i個(gè)項(xiàng)目的實(shí)測(cè)成功率，并定義統(tǒng)計(jì)量S＝[(P′1－P1)2＋(P′2－P2)2＋…＋(P′n－Pn)2]，若S<0.05，則本次游戲項(xiàng)目的成功率預(yù)估合理，否則不合理，試檢驗(yàn)本次測(cè)試對(duì)成功率的預(yù)估是否合理．【答案】（1）60人；（2）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為；（3）合理．【解析】（1）∵20人中答對(duì)第5題的人數(shù)為4，∴第5題的實(shí)測(cè)難度為＝0.2，∴估計(jì)300人中有300×0.2＝60（人）實(shí)測(cè)答對(duì)第5題．（2）由（1）知：20人中第5個(gè)項(xiàng)目答錯(cuò)16人，答對(duì)4人，而X的所有可能取值是0，1，2．∴，X的分布列為X012P.（3）將抽樣的20名學(xué)生測(cè)試中第i題的實(shí)測(cè)難度作為300名學(xué)生測(cè)試中第i題的實(shí)測(cè)難度．列表如下：題號(hào)12345實(shí)測(cè)難度0.80.80.70.70.2S＝×[(0.8－0.9)2＋(0.8－0.8)2＋(0.7－0.7)2＋(0.7－0.6)2＋(0.2－0.4)2]＝0.012．因?yàn)镾＝0.012<0.05，所以，該次測(cè)試的難度預(yù)估是合理的．3．（2021·山西運(yùn)城·高三開學(xué)考試（理））為回饋顧客，某商場(chǎng)擬通過(guò)摸球兌獎(jiǎng)的方式對(duì)位顧客進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，規(guī)定：每位顧客從一個(gè)裝有個(gè)標(biāo)有面值的球的袋中一次性隨機(jī)摸出個(gè)球，球上所標(biāo)的面值之和為該顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額，個(gè)球除所標(biāo)面值外完全相同．（1）若袋中所裝的個(gè)球中有個(gè)所標(biāo)的面值為元，其余個(gè)所標(biāo)的面值均為元．求①顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為元的概率；②顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額的分布列與均值．（2）商場(chǎng)對(duì)獎(jiǎng)勵(lì)總額的預(yù)算是元，并規(guī)定袋中的個(gè)球只能由標(biāo)有面值元和元的兩種球組成，或標(biāo)有面值元和元的兩種球組成．為了使顧客得到的獎(jiǎng)勵(lì)總額盡可能符合商場(chǎng)的預(yù)算且每位顧客所獲得獎(jiǎng)勵(lì)額相對(duì)均衡，請(qǐng)對(duì)袋中的個(gè)球的面值給出一個(gè)合適的設(shè)計(jì)，并說(shuō)明理由．【答案】（1）①；②分布列見解析，；（2）應(yīng)該選擇方案2，理由見解析.【解析】（1）設(shè)顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為．①依題意，得，即顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額為元的概率為②依題意，得隨機(jī)變量的所有可能取值為，．，．即隨機(jī)變量的分布列為所以顧客所獲的獎(jiǎng)勵(lì)額的均值為．（2）根據(jù)商場(chǎng)的預(yù)算，每個(gè)顧客的平均獎(jiǎng)勵(lì)額為元．所以先尋找均值為元的可能方案．對(duì)于由標(biāo)有