2018屆廣東省廣州市數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專項(xiàng)檢測(cè)試題28函數(shù)的奇偶性、周期性和對(duì)稱性

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE7-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精函數(shù)的奇偶性、周期性和對(duì)稱性一、奇偶性1、奇函數(shù)的定義:一般地,如果對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè)，都有,那么函數(shù)就叫做奇函數(shù).（1)定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；（2）對(duì)定義中的任意一個(gè)，都有；（3）圖象特征:奇函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.（這是判斷奇函數(shù)的直觀方法）2、偶函數(shù)定義：一般地，如果對(duì)于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個(gè),都有，那么函數(shù)就叫做偶函數(shù)。（1）定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；（2）對(duì)定義中的任意一個(gè)，都有;（3）圖象特征：偶函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱.（這是判斷偶函數(shù)的直觀方法)二、周期性周期函數(shù)的定義：對(duì)于定義域內(nèi)的每一個(gè)，都存在非零常數(shù)，使得恒成立，則稱函數(shù)具有周期性,叫做的一個(gè)周期,則（）也是的周期，所有周期中的最小正數(shù)叫的最小正周期，并不是所有周期函數(shù)都存在最小正周期。例如，狄利克雷函數(shù)，當(dāng)為有理數(shù)時(shí)，取1；當(dāng)為非有理數(shù)時(shí)，取0。（1)如果函數(shù)滿足且，(和是不相等的常數(shù))，則是以為為周期的周期函數(shù)。（2)如果奇函數(shù)滿足(）,則函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)。（3）如果偶函數(shù)滿足(),則函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)。三、對(duì)稱性1、函數(shù)圖象本身的對(duì)稱性（自身對(duì)稱）題設(shè)：函數(shù)對(duì)定義域內(nèi)一切來(lái)說(shuō)，其中為常數(shù)，函數(shù)滿足：(1）函數(shù)圖象關(guān)于直線成軸對(duì)稱；（2）函數(shù)的圖象關(guān)于直線成軸對(duì)稱；（3）函數(shù)圖象關(guān)于直線成軸對(duì)稱；（4）函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱（偶函數(shù))；（5)函數(shù)圖象關(guān)于成中心對(duì)稱;（6)—函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱（奇函數(shù))；（7)如果函數(shù)滿足且，（和是不相等的常數(shù)）,則是以為為周期的周期函數(shù);(8)如果奇函數(shù)滿足（）,則函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)；（9）如果偶函數(shù)滿足（)，則函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)。2、兩個(gè)函數(shù)的圖象對(duì)稱性（相互對(duì)稱)(利用解析幾何中的對(duì)稱曲線軌跡方程理解）(1）曲線與關(guān)于軸對(duì)稱.（2）曲線與關(guān)于軸對(duì)稱。（3)曲線與的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；（4）曲線與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱。（5）曲線與關(guān)于直線對(duì)稱。（6)曲線關(guān)于直線對(duì)稱曲線為.(7)曲線關(guān)于直線對(duì)稱曲線為。(8）曲線關(guān)于直線對(duì)稱曲線為。(9）曲線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱曲線為。注意：設(shè)，都有且有個(gè)實(shí)根，則所有實(shí)根之和為。例1:已知滿足，,當(dāng)時(shí)且，若,,，求大小關(guān)系？解：由已知得，對(duì)稱軸,也為一條對(duì)稱軸∴，，，，∴例2:若函數(shù)，有，求。解：，知的圖象關(guān)于對(duì)稱，而的對(duì)稱中心，∴，∴，則.例3：設(shè)是定義在上的函數(shù)，均有，當(dāng)時(shí)，，求當(dāng)時(shí)，的解析式.解：由有得設(shè)，則，；∴，∴當(dāng)時(shí),.

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