復變函數與積分變換第五章

留數理論及其應用第五章1.留數的定義

2.留數定理

3.留數的計算規(guī)則§5.1留數(Residue)C所圍成的區(qū)域內含有f(z)的奇點z0一、留數的引入設C為區(qū)域D內包含的任一條正向簡單閉曲線)(fòdzzc未必為0，0,z所圍成的區(qū)域內解析在)(Cf?íì=.的某去心鄰域:D內的Laurent展式:在0(P49例3.3)0(柯西-古薩基本定理)定義設z0為f(z)的孤立奇點，f(z)在z0鄰域內的洛朗級數中負冪次項(z-z0)–1的系數

c–1稱為f(z)在z0的留數，記作Res[f(z),z0]。由留數定義,

Res[f(z),z0]=c–1

(1)——綜上，的系數-01)(-zz展式中負冪項Laurent記作為f(z)在的。定義留數,注二、利用留數求積分1.留數定理

設函數f(z)在區(qū)域D內除有限個孤立奇點z1,z2,...,zn外處處解析.C是D內包圍諸奇點的一條正向簡單閉曲線,則Dz1z2z3znC1C2C3CnC證明兩邊同時除以得，如圖,由復合閉路原理求沿閉曲線C積分求C內各孤立奇點處的留數.注1(1)如果為的可去奇點,一般規(guī)則說明：2.留數的計算規(guī)則成Laurent級數求(2)如果為的本性奇點,展開則需將(3)如果為的極點,則有如下計算方法：1)應用Laurent展式2)求n級極點的一般方法(求導運算)1)應用Laurent展式例5.1解如果為的級極點,規(guī)則2那末如果為的一級極點,那末規(guī)則12)求n級極點的一般方法（當m=1時就是規(guī)則1)規(guī)則3

如果設及在都解析，那末為的一級極點,

且有解例2例3解思考題思考題答案例2解例3解例4解故由留數定理得：

(1)要靈活運用規(guī)則及洛朗級數展開來求留數，不要死套規(guī)則。如是f(z)的三級極點。---該方法較規(guī)則2更簡單！

(2)由規(guī)則2的推導過程知，在使用規(guī)則2時，可將m取得比實際級數高，這可使計算更簡單。如三、在無窮遠點的留數注意積分路線取順時針方向說明記作1.定義設函數在圓環(huán)域內解析，C為圓環(huán)域內繞原點的任何一條正向簡單閉曲線，òp-=Czzfid)(21.......證由留數定義有:(繞原點的并將內部的正向簡單閉曲線)包含在2.定理二如果函數在擴充復平面內只有有限個孤立奇點,那末在所有各奇點

(包括

點)的留數的總和必等于零.[證畢]說明:由定理得(留數定理)計算積分計算無窮遠點的留數.優(yōu)點:使計算積分進一步得到簡化.(避免了計算諸有限點處的留數)3.在無窮遠點處留數的計算規(guī)則4說明:定理5.2和規(guī)則4提供了計算函數沿閉曲線積分的又一種方法:

此法在很多情況下此法更為簡單.現取正向簡單閉曲線C為半徑足夠大的正向圓周:于是有證內除在外無其他奇點.[證畢]例5計算積分C為正向圓周:函數在的外部,除點外沒有其他奇點.解根據定理5.2與規(guī)則4:與以下解法作比較:被積函數有四個一級極點都在圓周的內部,所以由規(guī)則3可見,利用無窮遠點的留數更簡單.例6計算積分C為正向圓周:解

除被積函數點外,其他奇點為由于與1在C的內部,則所以小結與思考一概念-----留數一定理-----留數定理（計算閉路復積分）（重點）兩方法-----展開式和規(guī)則求留數三規(guī)則-----求極點處留數（難點）五、小結與思考

本節(jié)我們學習了留數的概念、計算以及留數定理.應重點掌握計算留數的一般方法,尤其是極點處留數的求法,并會應用留數定理計算閉路復積分.§5.2留數在定積分中的應用其中

注意:

對的要求,分母Q(x)次數比分子P(x)至少高兩次，是函數在上半平面內的有限個孤立奇點；

注意:

對的要求,分母比分子至少高一次，是函數在上半平面內的有限個孤立奇點；思想方法

:封閉路線的積分

.兩個重要工作:1)積分區(qū)域的轉化2)被積函數的轉化把定積分化為一個復變函數沿某條注意：其中是函數在單位圓內的有限個孤立奇點。形如當歷經變程時,的正方向繞行一周.z沿單位圓周z的有理函數,且在單位圓周上分母不為零,滿足留數定理的條件.包圍在單位圓周內的諸孤立奇點.例