離散型隨機(jī)變量的均值與方差

離散型隨機(jī)變量的均值與方差一、選擇題1.已知離散型隨機(jī)變量X的概率分布列為X135P0.5m0.2則其方差D(X)=()A.1B.0.6C.2.44D.2.4解析由0.5+m+0.2=1得m=0.3,.\E(X)=1X0,5+3X0.3+5X0.2=2.4,??.D(X)=(1-2.4)2X0.5+(3—2.4)2義0.3+(5—2.4)2X0.2=2.44.答案C.(2017?西安調(diào)研)某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9,現(xiàn)播種了1000粒，對于沒有發(fā)芽的種子，每粒需再補(bǔ)種2粒，補(bǔ)種的種子數(shù)記為X,則X的數(shù)學(xué)期望為()A.100B.200C.300D.400解析設(shè)沒有發(fā)芽的種子有之粒，則之?B(1000,0.1),且X=2L.??E(X)=E(2C)=2E(C)=2X1000X0.1=200.答案B.已知隨機(jī)變量X服從二項分布，且E(X)=2.4,D(X)=1.44,則二項分布的參數(shù)n,P的值為()A.n=4,p=0.6B.n=6,p=0.4C.n=8,p=0.3D.n=24,p=0.1解析由二項分布X?B(n,p)及E(X)=np,D(X)=np?(1—p)得2.4=np,且1.44=np(1—p),解得n=6,p=0.4.故選B.答案B.已知隨機(jī)變量X+n=8,若X?B(10,0.6),則E(n),D(n)分別是()A.6,2.4B.2,2.4C.2,5.6D.6,5.6解析由已知隨機(jī)變量X+n=8,所以有n=8—X.因此，求得E(n)=8—

E(X)=8—10X0.6=2,D(n)=(—1)2D(X)=10X0.6X0.4=2.4.答案B.口袋中有5只球，編號分別為1,2,3,4,5,從中任取3只球，以X表示取出的球的最大號碼，則X的數(shù)學(xué)期望E(X)的值是()A.4B.4.5C.4.75D.5A.4B.4.5C.4.75D.5解析由題意知，X可以取3,4,5,P(X解析由題意知，X可以取3,4,5,P(X=3)=1*=1,C310

5C23P(X=4)=t=—''C3105C263P(X=5)=-^=—=—,P(X5)C3105,5133所以E(X)=3X元+4義m+5*5=4,5，答案B二、填空題6.設(shè)X6.設(shè)X為隨機(jī)變量，X?B(n1、o，若隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)=2=2)等于解析由X?B(nE(X)=2,得，n=6,則P(X=2)=C2-I3)11、4803)=243,80答案243D(C)=7?隨機(jī)變量之的取值為O'一,若PT：0D(C)=解析設(shè)P?=1)=a,P(C=2)=b,a=3,a=3,

5b=1,

5,，卜1-+a+b=1,J5解得］4+2b=1,1312所以個――f一"十2r2'5二答案.(2017?合肥模擬)某科技創(chuàng)新大賽設(shè)有一、二、三等獎(參與活動的都有獎)且相應(yīng)獎項獲獎的概率是以a為首項，2為公比的等比數(shù)列，相應(yīng)的獎金分別是7000元、5600元、4200元，則參加此次大賽獲得獎金的期望是元.解析由題意知a+2a+4a=1,???a=7,???獲得一、二、三等獎的概率分別124124為7,7,7,?,?所獲獎金的期望是E(X)=7X7000+7X5600+7X4200=5000元.答案5000三、解答題.(2017?成都診斷)據(jù)報道，全國很多省市將英語考試作為高考改革的重點(diǎn),一時間“英語考試該如何改”引起廣泛關(guān)注.為了解某地區(qū)學(xué)生和包括老師、家長在內(nèi)的社會人士對高考英語改革的看法,某媒體在該地區(qū)選擇了3600人進(jìn)行調(diào)查,就“是否取消英語聽力”問題進(jìn)行了問卷調(diào)查統(tǒng)計,結(jié)果如下表：、態(tài)度調(diào)查人群應(yīng)該取消應(yīng)該保留無所謂在校學(xué)生2100人120人y人社會人士600人x人z人已知在全體樣本中隨機(jī)抽取1人，抽到持“應(yīng)該保留”態(tài)度的人的概率為0.05.(1)現(xiàn)用分層抽樣的方法在所有參與調(diào)查的人中抽取360人進(jìn)行訪談,問應(yīng)在持“無所謂”態(tài)度的人中抽取多少人？(2)在持“應(yīng)該保留”態(tài)度的人中,用分層抽樣的方法抽取6人,再平均分成兩組進(jìn)行深入交流.求第一組中在校學(xué)生人數(shù)之的分布列和數(shù)學(xué)期望.

解⑴因?yàn)槌榈匠帧皯?yīng)該保留”態(tài)度的人的概率為0.05,所以/0.05,解得x=60.所以持“無所謂”態(tài)度的人數(shù)為3600—2100—120—600—60=720,所以應(yīng)在持“無所謂”態(tài)度的人中抽取720義/黑=72人.3600(2)由(1)知持“應(yīng)該保留”態(tài)度的一共有180人,所以在所抽取的6人中，在校學(xué)生為110X6=4人，社會人士為售X6=2180180人，于是第一組在校學(xué)生人數(shù)之=1,2,3,C1C1C21P（之=1）=-t^=-,C356C3C01P（之=3）=方=5,6所以之的分布列為C2C13P（之=2）=寸=.C356C123P131555131所以E?）=1X5+2X5+3X5=2..(2017?鄭州一模)在“出彩中國人”的一期比賽中，有6位歌手(1?6)登臺演出,由現(xiàn)場百家大眾媒體投票選出最受歡迎的出彩之星,各家媒體獨(dú)立地在投票器上選出3位出彩候選人,其中媒體甲是1號歌手的歌迷,他必選1號,另在2號至6號中隨機(jī)的選2名；媒體乙不欣賞2號歌手,他必不選2號；媒體丙對6位歌手的演唱沒有偏愛,因此在1至6號歌手中隨機(jī)的選出3名.(1)求媒體甲選中3號且媒體乙未選中3號歌手的概率；(2)X表示3號歌手得到媒體甲、乙、丙的票數(shù)之和，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.解(1)設(shè)A表示事件：“媒體甲選中3號歌手”，B表示事件：“媒體乙選中3號歌手”，C表示事件：“媒體丙選中3號歌手”，則n/八C12C23P(n/八C12C23P(A)—k=.P(B)=4=工，C25C3555???媒體甲選中3號且媒體乙未選中3號歌手的概率為2('P(AB)—-x|1-f5_4_5)25.C21⑵P(C)—花一5,

C326由已知得X的可能取值為0,1,2,3,(P(X=0)=P(ABC)—1V|、5)3、5)’1V2)25P(X=1)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=5X1-3、(1、(2、5戶=5X1-3、(1、(2、5戶1-工+1-2)_3(二X-X1-5)51、(2、(3、19工+1-XV1-5JX2—-,2)P(X=2)=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)23——X—X155(1、5+23——X—X155(1、5+工X12)53、5)X2’1V2、31192313PIX^XPIABCX^eXt^???X的分布列為X0123P319193255050253191933一()—0X25+1X50+2X50+3X|5—|,.從裝有除顏色外完全相同的3個白球和m個黑球的布袋中隨機(jī)摸取一球，有放回地摸取5次，設(shè)摸得白球數(shù)為X,已知E(X)=3,則D(X)=()8A，568A，56B，54C，52D，5一一」(3、解析由題意，X?B5,汴V山十3)又E(X)==3,，m=2,m＋3則X?B(則X?B(51,5).3(故D(X)=5x5x1135_6答案B.袋中裝有大小完全相同，標(biāo)號分別為1,2,3,…，9的九個球.現(xiàn)從袋中隨機(jī)取出3個球.設(shè)之為這3個球的標(biāo)號相鄰的組數(shù)(例如：若取出球的標(biāo)號為3,4，5，則有兩組相鄰的標(biāo)號3，4和4此時占的值是2),則隨機(jī)變量之的均值￡?)為()1A.6解析依題意得，之為3,4，5，則有兩組相鄰的標(biāo)號3，4和4此時占的值是2),則隨機(jī)變量之的均值￡?)為()1A.6解析依題意得，之的所有可能取值是0,12.且P?=0)C35=T=一P?=2)C39C1112,C2P?=1)=T=—?=,C312,9因此E?)=0X?A2C39包T1212,12卜1X2+2義調(diào)=3答案D.馬老師從課本上抄錄一個隨機(jī)變量之的分布列如下表:x123p?=x)?!?請小牛同學(xué)計算之的均值.盡管“！”處完全無法看清，且兩個“？”處字跡模糊,但能斷定這兩個“？”處的數(shù)值相同.據(jù)此,小牛給出了正確答案E?)=.解析設(shè)“？”處的數(shù)值為x,則“！”處的數(shù)值為1—2x,則E(W)=1Xx+2X(1—2x)+3x=x+2—4x+3x=2.答案2.計劃在某水庫建一座至多安裝3臺發(fā)電機(jī)的水電站.過去50年的水文資料顯示，水庫年入流量乂(年入流量：一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水之和，單位：億立方米)都在40以上.其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超過120的年份有35年,超過120的年份有5年.將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率,并假設(shè)各年的年入流量相互獨(dú)立.

(1)求未來4年中，至多有1年的年入流量超過120的概率；年入流量X40<X<80年入流量X40<X<8080WXW120X>120發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺數(shù)123若某臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，則該臺年利潤為5000萬元；若某臺發(fā)電機(jī)未運(yùn)行，則該臺年虧損800萬元.欲使水電站年總利潤的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)多少臺？解⑴依題意,pi=p（40<x<80）=?=0.2,35P2=P（80WxW120）=5o=0.7,5P3=p（x>i20）=50=0.1.由二項分布，在未來4年中至多有1年的年入流量超過120的概率為/9X./9\3門)p=C0(1-p)4+Ci(1-p)3p=—+4X—X—=0.9477.43433<1071l。7<107⑵記水電站年總利潤為Y(單位：萬元).①安裝1臺發(fā)電機(jī)的情形.由于水庫年入流量總大于40，故一臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行的概率為1，對應(yīng)的年利潤Y=5000,E(Y)=5000X1=5000.②安裝2臺發(fā)電機(jī)的情形.依題意，當(dāng)40<X<80時，一臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時Y=5000-800=4200,因此P(Y=4200)=P(40<X<80)=p=0.2；當(dāng)XN80時，兩臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時1Y=5000X2=10000,因此P(Y=10000)=P(XN80)=P2+p3=0.8.由此得Y的分布列如下：Y420010000P0.20.8所以，E(Y)=4200X0.2+10000X0.8=8840.③安裝3臺發(fā)電機(jī)的情形.依題意，當(dāng)40<X<80時，一臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時Y=5000-1600=3400,因此P(Y=3400)=P(40<X<80)=p=0.2；1當(dāng)80WXW120時，兩臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時Y=50