2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 分布列與其他知識(shí)綜合運(yùn)用（精講）（原卷版）

8.8分布列與其他知識(shí)綜合運(yùn)用（精講）常見(jiàn)考法常見(jiàn)考法考點(diǎn)一分布列與函數(shù)結(jié)合【例2】（2021·南昌市豫章中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試（理））某籃球隊(duì)為提高隊(duì)員的訓(xùn)練積極性，進(jìn)行小組投籃游戲，每個(gè)小組由兩名隊(duì)員組成，隊(duì)員甲與隊(duì)員乙組成了一個(gè)小組.游戲規(guī)則：每個(gè)小組的兩名隊(duì)員在每輪游戲中分別投籃兩次，每小組投進(jìn)的次數(shù)之和不少于3次的稱(chēng)為“神投小組”，已知甲乙兩名隊(duì)員投進(jìn)籃球的概率為別為，.（1）若，，則在第一輪游戲他們獲“神投小組”的概率；（2）若，則在游戲中，甲乙兩名隊(duì)員想要獲得“神投小組”的稱(chēng)號(hào)16次，則理論上他們小組要進(jìn)行多少輪游戲才行？并求此時(shí)，的值.【一隅三反】1．（2021·山東高三月考）為實(shí)現(xiàn)有效利用扶貧資金，增加貧困村民的收入，扶貧工作組結(jié)合某貧困村水質(zhì)優(yōu)良的特點(diǎn)，決定利用扶貧資金從外地購(gòu)買(mǎi)甲、乙、丙三種魚(yú)苗在魚(yú)塘中進(jìn)行養(yǎng)殖試驗(yàn)，試驗(yàn)后選擇其中一種進(jìn)行大面積養(yǎng)殖，已知魚(yú)苗甲的自然成活率為，魚(yú)苗乙、丙的自然成活率均為，且甲、乙、丙三種魚(yú)苗是否成活相互獨(dú)立．（1）試驗(yàn)時(shí)從甲、乙、丙三種魚(yú)苗中各取一尾，記自然成活的尾數(shù)為，求的分布列．（2）試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)乙種魚(yú)苗較好，扶貧工作組決定購(gòu)買(mǎi)尾乙種魚(yú)苗進(jìn)行大面積養(yǎng)殖，若將（1）中滿(mǎn)足數(shù)學(xué)期望不超過(guò)2.6的的最大值作為乙種魚(yú)苗成活的概率，養(yǎng)殖后發(fā)現(xiàn)乙種魚(yú)苗有個(gè)別因不能適應(yīng)環(huán)境而不能自然成活，對(duì)這些因不適應(yīng)環(huán)境而不能自然成活的80%魚(yú)苗采取增氧、換魚(yú)塘等措施，采取措施后成活的概率為62.5%．若每尾乙種魚(yú)苗最終成活后可獲利100元，不成活則虧損20元，若扶貧工作組的扶貧目標(biāo)是獲利不小于376萬(wàn)元，問(wèn)需至少購(gòu)買(mǎi)多少尾乙種魚(yú)苗？2．（2021·廣東廣州·）黨中央，國(guó)務(wù)院高度重視新冠病毒核酸檢測(cè)工作，中央應(yīng)對(duì)新型冠狀病毒感染肺炎疫情工作領(lǐng)導(dǎo)小組會(huì)議作出部署，要求盡力擴(kuò)大核酸檢測(cè)范圍，著力提升檢測(cè)能力.根據(jù)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，疑似病例核酸檢測(cè)呈陽(yáng)性的概率為.現(xiàn)有6例疑似病例，分別對(duì)其取樣?檢測(cè)，既可以逐個(gè)化驗(yàn)，也可以將若干個(gè)樣本混合在一起化驗(yàn)，混合樣本中只要有病毒，則化驗(yàn)結(jié)果呈陽(yáng)性.若混合樣本呈陽(yáng)性，則需將該組中備用的樣本再逐個(gè)化驗(yàn)；若混合樣本呈陰性，則判定該組各個(gè)樣本均為陰性，無(wú)需再化驗(yàn).現(xiàn)有以下三種方案：方案一：6個(gè)樣本逐個(gè)化驗(yàn)；方案二：6個(gè)樣本混合在一起化驗(yàn)；方案三：6個(gè)樣本均分為兩組，分別混合在一起化驗(yàn).在新冠肺炎爆發(fā)初期，由于檢測(cè)能力不足，化驗(yàn)次數(shù)的期望值越小，則方案越“優(yōu)”.（1）若，按方案一，求6例疑似病例中至少有1例呈陽(yáng)性的概率；（2）若，現(xiàn)將該6例疑似病例樣本進(jìn)行化驗(yàn)，當(dāng)方案三比方案二更“優(yōu)”時(shí)，求的取值范圍.3.（2021年廣東湛江）為響應(yīng)綠色出行，某市在推出“共享單車(chē)”后，又推出“新能源分時(shí)租賃汽車(chē)”．其中一款新能源分時(shí)租賃汽車(chē)，每次租車(chē)收費(fèi)的標(biāo)準(zhǔn)由兩部分組成：①根據(jù)行駛里程數(shù)按1元/公里計(jì)費(fèi)；②行駛時(shí)間不超過(guò)40分時(shí)，按0.12元/分計(jì)費(fèi)；超過(guò)40分時(shí)，超出部分按0.20元/分計(jì)費(fèi)．已知王先生家離上班地點(diǎn)15公里，每天租用該款汽車(chē)上、下班各一次．由于堵車(chē)、紅綠燈等因素，每次路上開(kāi)車(chē)花費(fèi)的時(shí)間t(分)是一個(gè)隨機(jī)變量．現(xiàn)統(tǒng)計(jì)了50次路上開(kāi)車(chē)花費(fèi)時(shí)間，在各時(shí)間段內(nèi)的頻數(shù)分布情況如下表所示：時(shí)間t（分）2030,4040,5050,60頻數(shù)2182010將各時(shí)間段發(fā)生的頻率視為概率，每次路上開(kāi)車(chē)花費(fèi)的時(shí)間視為用車(chē)時(shí)間，范圍為20,60分．（1）寫(xiě)出王先生一次租車(chē)費(fèi)用y（元）與用車(chē)時(shí)間t（分）的函數(shù)關(guān)系式；（2）若王先生一次開(kāi)車(chē)時(shí)間不超過(guò)40分為“路段暢通”，設(shè)ξ表示3次租用新能源分時(shí)租賃汽車(chē)中“路段暢通”的次數(shù)，求ξ的分布列和期望；（3）若公司每月給1000元的車(chē)補(bǔ)，請(qǐng)估計(jì)王先生每月（按22天計(jì)算）的車(chē)補(bǔ)是否足夠上、下班租用新能源分時(shí)租賃汽車(chē)？并說(shuō)明理由．（同一時(shí)段，用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）考點(diǎn)二分布列與導(dǎo)數(shù)結(jié)合【例2】（2021·全國(guó)高三月考（理））元旦期間某牛奶公司做促銷(xiāo)活動(dòng)．一箱某品牌牛奶盒，每盒牛奶可以參與刮獎(jiǎng)中獎(jiǎng)得現(xiàn)金活動(dòng)，但其中只有一些中獎(jiǎng)．已知購(gòu)買(mǎi)一盒牛奶需要元，若有中獎(jiǎng)，則每次中獎(jiǎng)可以獲得代金券元（可即中即用）．顧客可以在一箱牛奶中先購(gòu)買(mǎi)盒，然后根據(jù)這盒牛奶中獎(jiǎng)結(jié)果決定是否購(gòu)買(mǎi)余下盒．設(shè)每盒牛奶中獎(jiǎng)概率為，且每盒牛奶是否中獎(jiǎng)相互獨(dú)立．（1）若，顧客先購(gòu)買(mǎi)盒牛奶，求該顧客至少有一盒中獎(jiǎng)的概率；（2）設(shè)先購(gòu)買(mǎi)的盒牛奶恰好有一盒中獎(jiǎng)的最大概率為，以為值．某顧客認(rèn)為如果中獎(jiǎng)后售價(jià)不超過(guò)原來(lái)售價(jià)的四折（即）便可以購(gòu)買(mǎi)如下的盒牛奶，據(jù)此，請(qǐng)你判斷該顧客是否可以購(gòu)買(mǎi)余下的盒牛奶.【一隅三反】1．（2021·重慶市楊家坪中學(xué)高三）某醫(yī)療研究所新研發(fā)了一款醫(yī)療儀器，為保障該儀器的可靠性，研究所外聘了一批專(zhuān)家檢測(cè)儀器的可靠性，已知每位專(zhuān)家評(píng)估過(guò)程相互獨(dú)立．（1）若安排兩位專(zhuān)家進(jìn)行評(píng)估，專(zhuān)家甲評(píng)定為“可靠”的概率為，專(zhuān)家乙評(píng)定為“可靠”的概率為，只有當(dāng)兩位專(zhuān)家均評(píng)定為“可靠”時(shí)，可以確定該儀器可靠，否則確定為“不可靠”．現(xiàn)隨機(jī)抽取4臺(tái)儀器，由兩位專(zhuān)家進(jìn)行評(píng)估，記評(píng)定結(jié)果不可靠的儀器臺(tái)數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）為進(jìn)一步提高該醫(yī)療儀器的可靠性，研究所決定每臺(tái)儀器都由三位專(zhuān)家進(jìn)行評(píng)估，若每臺(tái)儀器被每位專(zhuān)家評(píng)定為“可靠”的概率均為p（），且每臺(tái)儀器是否可靠相互獨(dú)立．只有三位專(zhuān)家都評(píng)定儀器可靠，則儀器通過(guò)評(píng)估．若三位專(zhuān)家評(píng)定結(jié)果都為不可靠，則儀器報(bào)廢．其余情況，儀器需要回研究所返修，擬定每臺(tái)儀器評(píng)估費(fèi)用為100元，若回研究所返修，每臺(tái)儀器還需要額外花費(fèi)300元的維修費(fèi)．現(xiàn)以此方案實(shí)施，且抽檢儀器為100臺(tái)，研究所用于評(píng)估和維修的預(yù)算是3.3萬(wàn)元，你認(rèn)為該預(yù)算是否合理？并說(shuō)明理由．2．（2021·湖北恩施·高三開(kāi)學(xué)考試）某企業(yè)創(chuàng)新形式推進(jìn)黨史學(xué)習(xí)教育走深走實(shí)，舉行兩輪制的黨史知識(shí)競(jìng)賽初賽，每部門(mén)派出兩個(gè)小組參賽，兩輪都通過(guò)的小組才具備參與決賽的資格，該企業(yè)某部門(mén)派出甲、乙兩個(gè)小組，若第一輪比賽時(shí)兩組通過(guò)的概率分別是，，第二輪比賽時(shí)兩組通過(guò)的概率分別是，，兩輪比賽過(guò)程相互獨(dú)立．（1）若將該部門(mén)獲得決賽資格的小組數(shù)記為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）比賽規(guī)定：參與決賽的小組由4人組成，每人必須答題且只答題一次（與答題順序無(wú)關(guān)），若4人全部答對(duì)就給予獎(jiǎng)金，若沒(méi)有全部答對(duì)但至少2人答對(duì)就被評(píng)為“優(yōu)秀小組"．該部門(mén)對(duì)通過(guò)初賽的某一小組進(jìn)行黨史知識(shí)培訓(xùn)，使得每個(gè)成員答對(duì)每題的概率均為（）且相互獨(dú)立，設(shè)該參賽小組被評(píng)為“優(yōu)秀小組”的概率為，當(dāng)時(shí)，最大，試求的值．3．（2021·江蘇南通·高三）在醫(yī)學(xué)上，為了加快對(duì)流行性病毒的檢測(cè)速度，常采用“混檢”的方法：隨機(jī)的將若干人的核酸樣本混在一起進(jìn)行檢測(cè)，若檢測(cè)結(jié)果呈陰性，則認(rèn)定該組每份樣本均為陰性，無(wú)需再檢測(cè)；若檢測(cè)結(jié)果呈陽(yáng)性，則還需對(duì)該組的每份樣本逐個(gè)重新檢測(cè)，以確定每份樣本是否為陽(yáng)性.設(shè)某流行性病毒的感染率為.（1）若，混檢時(shí)每組10人，求每組檢測(cè)次數(shù)的期望值；（2）混檢分組的方法有兩種：每組10人或30人.試問(wèn)這兩種分組方法的優(yōu)越性與的值是否有關(guān)？(參考數(shù)據(jù)：，)考點(diǎn)三分布列與數(shù)列的結(jié)合【例3】《山東省高考改革試點(diǎn)方案》規(guī)定：從年高考開(kāi)始，高考物理、化學(xué)等六門(mén)選考科目的考生原始成績(jī)從高到低劃分為八個(gè)等級(jí).參照正態(tài)分布原則，確定各等級(jí)人數(shù)所占比例分別為.選考科目成績(jī)計(jì)入考生總成績(jī)時(shí)，將至等級(jí)內(nèi)的考生原始成績(jī)，依照等比例轉(zhuǎn)換法則分別轉(zhuǎn)換到八個(gè)分?jǐn)?shù)區(qū)間，得到考生的等級(jí)成績(jī).某校級(jí)學(xué)生共人，以期末考試成績(jī)?yōu)樵汲煽?jī)轉(zhuǎn)換了本校的等級(jí)成績(jī)，為學(xué)生合理選科提供依據(jù)，其中物理成績(jī)獲得等級(jí)的學(xué)生原始成績(jī)統(tǒng)計(jì)如下成績(jī)93919088878685848382人數(shù)1142433327（1）從物理成績(jī)獲得等級(jí)的學(xué)生中任取名，求恰好有名同學(xué)的等級(jí)分?jǐn)?shù)不小于的概率;（2）待到本級(jí)學(xué)生高考結(jié)束后，從全省考生中不放回的隨機(jī)抽取學(xué)生，直到抽到名同學(xué)的物理高考成績(jī)等級(jí)為或結(jié)束(最多抽取人)，設(shè)抽取的學(xué)生個(gè)數(shù)為，求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望(注:).【一隅三反】1．已知A1，A2，A3，…，A10等（1）如果該同學(xué)10所高校的考試都參加，恰有m(1≤m≤10)所通過(guò)的概率為f（2）若p=12，該同學(xué)參加每所高校考試所需的費(fèi)用均為a元，該同學(xué)決定按A1，A2，A3考點(diǎn)四分布列與其他綜合【例4】（2021年廣東河源）已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)和高都為2.現(xiàn)從該棱錐的5個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選取3個(gè)點(diǎn)構(gòu)成三角形，設(shè)隨機(jī)變量表示所得三角形的面積.（1）求概率的值；（2）求隨機(jī)變量的概率分布及其數(shù)學(xué)期望.【一隅三反】1.某縣大潤(rùn)發(fā)超市為了惠顧新老顧客，決定在2019年元旦來(lái)臨之際舉行“慶元旦，迎新年”的抽獎(jiǎng)派送禮品活動(dòng).為設(shè)計(jì)一套趣味性抽獎(jiǎng)送禮品的活動(dòng)方案，該超市面向該縣某高中學(xué)生征集活動(dòng)方案.該中學(xué)某班數(shù)學(xué)興趣小組提供的方案獲得了征用.方案如下：將一個(gè)4×4×4的正方體各面均涂上紅色，再把它分割成64個(gè)相同的小正方體.經(jīng)過(guò)攪拌后，從中任取兩個(gè)小正方體，記它們的著色面數(shù)之和為（Ⅰ）求；（Ⅱ）凡是元旦當(dāng)天在超市購(gòu)買(mǎi)物品的顧客，均可參加抽獎(jiǎng).記抽取的兩個(gè)小正方體著色面數(shù)之和為6，設(shè)為一等獎(jiǎng)，獲得價(jià)值50元禮品；記抽取的兩個(gè)小正方體著色面數(shù)之和為5，設(shè)為二等獎(jiǎng)，獲得價(jià)值30元禮品；記抽取的兩個(gè)小正方體著色面數(shù)之和為4，設(shè)為三等獎(jiǎng)，獲得價(jià)值10元禮品，其他情況不獲獎(jiǎng).求某顧客抽獎(jiǎng)一次獲得的禮金的分布列與數(shù)學(xué)期望.2.(2021年福建）某地區(qū)為貫徹習(xí)近平總書(shū)記關(guān)于“綠水青山就是金山銀山”的精神，鼓勵(lì)農(nóng)戶(hù)利用荒坡種植果樹(shù).某農(nóng)戶(hù)考察三種不同的果樹(shù)苗A、B、C，經(jīng)引種試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，引種樹(shù)苗A的自然成活率為0.8，引種樹(shù)苗B、C的自然成活率均為p