數(shù)學(xué)分析第二曲面積分

第二類曲面積分一、基本概念二、概念的引入三、概念及性質(zhì)四、計算法五、兩類曲面積分之間的聯(lián)系對面積的曲面積分的定義性質(zhì)特別，復(fù)習(xí)計算法則三代：二換：一投：則三代：二換：一投：則三代：二換：一投：注意：這里曲面方程均是單值函數(shù)。一、對坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì)觀察以下曲面的側(cè)(假設(shè)曲面是光滑的)曲面分上側(cè)和下側(cè)曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè)曲面法向量的指向決定曲面的側(cè).上側(cè)下側(cè)外側(cè)決定了側(cè)的曲面稱為有向曲面.內(nèi)側(cè)上側(cè)下側(cè)左側(cè)右側(cè)前側(cè)后側(cè)?曲面分類

雙側(cè)曲面單側(cè)曲面莫比烏斯帶曲面分上側(cè)和下側(cè)曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè)曲面分左側(cè)和右側(cè)(單側(cè)曲面的典型)曲面的分類:1.雙側(cè)曲面;2.單側(cè)曲面.典型雙側(cè)曲面莫比烏斯帶典型單側(cè)曲面:播放莫比烏斯帶典型單側(cè)曲面:典型單側(cè)曲面:莫比烏斯帶典型單側(cè)曲面:莫比烏斯帶典型單側(cè)曲面:莫比烏斯帶典型單側(cè)曲面:莫比烏斯帶典型單側(cè)曲面:莫比烏斯帶典型單側(cè)曲面:莫比烏斯帶典型單側(cè)曲面:莫比烏斯帶典型單側(cè)曲面:莫比烏斯帶典型單側(cè)曲面:莫比烏斯帶典型單側(cè)曲面:莫比烏斯帶典型單側(cè)曲面:莫比烏斯帶典型單側(cè)曲面:莫比烏斯帶典型單側(cè)曲面:莫比烏斯帶典型單側(cè)曲面:莫比烏斯帶典型單側(cè)曲面:莫比烏斯帶設(shè)連通曲面S上處處有連續(xù)設(shè)M0為曲面S上一點，確定方向為正方向，另一個方向為負(fù)方向.

L為S上任一經(jīng)過點M0且不超出S邊界的閉曲線.設(shè)點M從M0出發(fā)，沿L連續(xù)移動，M在M0點與M0變動的切平面（或法線）曲面在M0點的一個法線有相同的法線方向，當(dāng)點M連續(xù)移動時，其法線方向也連續(xù)變動，最后當(dāng)M沿L回到M0時，若這時M的法線方向仍與M0點的法線方向一致，則稱此曲面S為雙側(cè)曲面；若與M0的法線方向相反，則稱S為單側(cè)曲面曲面法向量的指向決定曲面的側(cè).決定了側(cè)的曲面稱為有向曲面.曲面的投影問題:二、概念的引入實例:流向曲面一側(cè)的流量.1.分割則該點流速為.法向量為.則單位時間內(nèi)流經(jīng)小曲面Si的流量近似地等于其中ΔSi為小曲面Si的面積.記它們是Si的一側(cè)分別在坐標(biāo)面面積的近似值，于是單位時間

yz,zx和xy上投影區(qū)域內(nèi)流經(jīng)小曲面Si的流量也近似地等于3、求和單位時間內(nèi)由曲面Σ

的一側(cè)流向另一側(cè)的總流量三、第二類曲面積分的定義向量函數(shù)v=(P,Q,R)設(shè)P,Q,R為定義在雙側(cè)曲面Σ

上的函數(shù)，在Σ

所指定的一側(cè)作分割T，把Σ分為n個小曲面S1,S2...,Sn,記

分別表示Si在三個坐標(biāo)軸上的投影區(qū)域的面積,在Si

上任取一點若存在，則稱此極限為向量函數(shù)v=(P,Q,R)在曲面Σ

所指定一側(cè)上的第二類曲面積分，也稱為對坐標(biāo)的曲面積分或記作常簡記為若令則第二類曲面積分也記作向量形式：由第二類曲面積分的定義，流體以速度從曲面的一側(cè)流向另一側(cè)的總流量稱為P在有向曲面Σ上對坐標(biāo)y,z的曲面積分;稱為Q在有向曲面Σ上對坐標(biāo)z,x的曲面積分;稱為R在有向曲面Σ上對坐標(biāo)x,y的曲面積分;若以-Σ表示Σ的另一側(cè)，則由定義可得存在條件:組合形式:物理意義:性質(zhì):四、計算法說明:如果積分曲面S取下側(cè),則若曲面Σ是母線平行于z軸的柱面（垂直于xy

坐標(biāo))則三定號：二代：一投：三定號：二代：一投：注意：曲面方程均是單值函數(shù).三定號：二代：一投：特別地，在上恒有，注意:對坐標(biāo)的曲面積分,必須注意曲面所取的側(cè).解解例2計算其中是長方體表面的外側(cè).于是，于是，同樣，同樣，于是，例3.

計算

其中Σ是由平面x=y=z=0和x+y+z=1所圍的四面體表面的外側(cè).解:

設(shè)取上側(cè)

S2是Σ的底部，取下側(cè)在xoy坐標(biāo)面上的投影區(qū)域為Dxy

先計算積分由對稱性例4計算積分

因此,

因此,

因此,

綜上,

五、兩類曲面積分之間的聯(lián)系如果取上側(cè)，則曲面Σ的法向量的方向余弦為又因此，兩類曲面積分之間的聯(lián)系向量形式內(nèi)容小結(jié)1.定義2.性質(zhì)3.計算設(shè)上正下負(fù)注意:對坐標(biāo)的曲面積分,必須注意曲面所取的側(cè).兩類曲面積分的聯(lián)系:解六、小結(jié)1、物理意義2、計算時應(yīng)注意以