數(shù)學(xué)建模和模型

數(shù)學(xué)建模2023/2/6第一講數(shù)學(xué)建模

兩個(gè)實(shí)例數(shù)學(xué)建模的全過(guò)程數(shù)學(xué)建模的基本方法和步驟2023/2/6引言數(shù)學(xué)—各門學(xué)科的基礎(chǔ)，社會(huì)進(jìn)步的工具。用數(shù)學(xué)方法解決任何一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，都必須在實(shí)際與數(shù)學(xué)之間假設(shè)一座橋梁。解決過(guò)程—實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題；數(shù)學(xué)問(wèn)題的求解；數(shù)學(xué)解答回歸實(shí)際問(wèn)題。這個(gè)過(guò)程稱為數(shù)學(xué)建模—為實(shí)際問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型。2023/2/6數(shù)學(xué)建模實(shí)例一2023/2/6數(shù)學(xué)建模實(shí)例一通常，1kg面，1kg餡，包100個(gè)餃子（湯圓）現(xiàn)在1kg面不變，餡比1kg多了，問(wèn)應(yīng)多包幾個(gè)（每個(gè)小一點(diǎn)）,還是少包幾個(gè)（每個(gè)大一點(diǎn)）？

…(共n個(gè))問(wèn)題圓面積S的一個(gè)皮，包成體積V的餃子；分為n個(gè)皮，每個(gè)圓面積s，包成體積v的餃子.SSVvSvSvSvV和n*v那個(gè)大？V比n*v大多少？定性分析定量分析2023/2/6數(shù)學(xué)建模實(shí)例一假設(shè)

建模應(yīng)用2023/2/6數(shù)學(xué)建模實(shí)例一包餃子建模過(guò)程的基本、關(guān)鍵步驟用數(shù)學(xué)語(yǔ)言（體積和表面積）表示現(xiàn)實(shí)對(duì)象（餡和皮）作出簡(jiǎn)化、合理的假設(shè)（厚度一樣，形狀一樣）利用問(wèn)題蘊(yùn)含的內(nèi)在規(guī)律（體積和表面積與半徑間的幾何關(guān)系）

日常生活中可用這個(gè)模型的結(jié)果解釋的現(xiàn)象2023/2/6數(shù)學(xué)建模實(shí)例二減速帶的間隔應(yīng)該多大2023/2/6數(shù)學(xué)建模實(shí)例二背景

校園、居民小區(qū)的道路中間，常常設(shè)置用于限制汽車速度的減速帶（路障）。如果要限制車速不超過(guò)30km/h，應(yīng)該相距多遠(yuǎn)設(shè)置一個(gè)減速帶？汽車通過(guò)減速帶時(shí)速度近于零，過(guò)減速帶后加速。車速達(dá)到30km/h時(shí)因?yàn)榍懊嬗邢乱粋€(gè)減速帶而減速，至減速帶處車速又近于零。如此循環(huán)達(dá)到減速目的。問(wèn)題分析2023/2/6數(shù)學(xué)建模實(shí)例二假設(shè)汽車在兩個(gè)相鄰減速帶之間一直做等加速運(yùn)動(dòng)和等減速運(yùn)動(dòng)

方法一查閱資料加速行駛的測(cè)試數(shù)減速行駛的測(cè)試數(shù)需要得到汽車的加速度和減速度方法二：進(jìn)行測(cè)試速度（km/h）010203040時(shí)間（s）01.63.24.05.0速度（km/h）403020100時(shí)間（s）02.24.05.56.82023/2/6數(shù)學(xué)建模實(shí)例二建模

2023/2/6數(shù)學(xué)建模實(shí)例二參數(shù)估計(jì)

測(cè)試數(shù)據(jù)最小二乘法

設(shè)計(jì)減速帶間距32m2023/2/6數(shù)學(xué)建模實(shí)例二減速帶間距建模過(guò)程的基本、關(guān)鍵步驟作出簡(jiǎn)化、合理的假設(shè)（等加速和等加速行駛）利用問(wèn)題蘊(yùn)含的內(nèi)在規(guī)律（時(shí)間、距離、速度、加速度之間的物理關(guān)系）根據(jù)測(cè)試數(shù)據(jù)估計(jì)模型的參數(shù)（加速度和減速度）。

減速帶設(shè)計(jì)中其他可用數(shù)學(xué)建模研究的問(wèn)題。例如高度問(wèn)題，橫截面的形狀2023/2/6數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)模型

關(guān)于部分現(xiàn)實(shí)世界為一定目的而作的抽象、簡(jiǎn)化的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。是現(xiàn)實(shí)世界的簡(jiǎn)化而本質(zhì)的描述。是用數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)公式、程序、圖、表等刻畫客觀事物的本質(zhì)屬性與內(nèi)在聯(lián)系的理想化表述。數(shù)學(xué)模型（MathematicalModel）2023/2/6數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)模型

對(duì)于一個(gè)現(xiàn)實(shí)對(duì)象，為了一個(gè)特定目的，根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律，作出必要的簡(jiǎn)化假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，得到的一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)

建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程數(shù)學(xué)建模的過(guò)程一種創(chuàng)新過(guò)程數(shù)學(xué)模型（MathematicalModel）數(shù)學(xué)建模（MathematicalModeling）2023/2/6數(shù)學(xué)建模的全過(guò)程

現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息數(shù)學(xué)模型現(xiàn)實(shí)對(duì)象的解答數(shù)學(xué)模型的解答現(xiàn)實(shí)世界數(shù)學(xué)世界表述解釋求解驗(yàn)證兩次“翻譯”的過(guò)程實(shí)踐理論實(shí)踐2023/2/6數(shù)學(xué)建模的基本方法

機(jī)理分析對(duì)客觀事物特性的認(rèn)識(shí)內(nèi)部機(jī)理的數(shù)量規(guī)律測(cè)試分析對(duì)量測(cè)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析與數(shù)據(jù)擬合最好的模型黑箱白箱二者結(jié)合機(jī)理分析建立模型的結(jié)構(gòu)測(cè)試分析確定模型的參數(shù)灰箱2023/2/6數(shù)學(xué)建模基本步驟

模型準(zhǔn)備模型假設(shè)模型檢驗(yàn)?zāi)Ｐ头治瞿Ｐ蜆?gòu)成模型求解模型應(yīng)用2023/2/6第二講怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模為什么要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模時(shí)代發(fā)展的要求教育改革的需要怎么學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)全面的綜合素質(zhì)能力、初步具備科研能力思考、思考、再思考2023/2/6數(shù)學(xué)模型由來(lái)

歐幾里德《幾何原本》光反射定律阿基米德浮力定律杠桿原理伽利略落體定律

慣性原理牛頓

萬(wàn)有引力定律

微積分

直到20世紀(jì)后半葉數(shù)學(xué)建模才逐漸受到普遍重視和廣泛應(yīng)用，并且進(jìn)入大學(xué)的課堂2023/2/6數(shù)學(xué)模型發(fā)展科技進(jìn)步與社會(huì)發(fā)展的推動(dòng)計(jì)算機(jī)技術(shù)的出現(xiàn)和迅速發(fā)展，為數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用提供了強(qiáng)有力的工具。高新技術(shù)中數(shù)學(xué)建模與科學(xué)計(jì)算是必不可少的手段—數(shù)學(xué)科學(xué)是關(guān)鍵的、普遍的、可應(yīng)用的技術(shù)

。數(shù)學(xué)迅速進(jìn)入一些諸如經(jīng)濟(jì)、生態(tài)、人口、地質(zhì)等領(lǐng)域，為數(shù)學(xué)建模開拓了許多新的處女地。

數(shù)學(xué)建模引入教學(xué)，順應(yīng)時(shí)代發(fā)展的潮流2023/2/6數(shù)學(xué)模型發(fā)展為教育改革注入強(qiáng)大活力數(shù)學(xué)教育本質(zhì)上是一種素質(zhì)教育。數(shù)學(xué)教育應(yīng)培養(yǎng)兩種能力：算數(shù)學(xué)（計(jì)算、推導(dǎo)、證明……）和用數(shù)學(xué)（分析、解決實(shí)際問(wèn)題）。數(shù)學(xué)建模就是解決實(shí)際問(wèn)題的工具手段。清華大學(xué)是國(guó)內(nèi)最早開設(shè)課程的高校之一。

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)體系和內(nèi)容偏重前者，忽略后者2023/2/6怎樣學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模是一門技術(shù)，更是一門藝術(shù)。想象力洞察力判斷力創(chuàng)新意識(shí)學(xué)習(xí)、分析、評(píng)價(jià)、改進(jìn)別人做過(guò)的模型親自動(dòng)手，認(rèn)真做幾個(gè)實(shí)際題目椅子放穩(wěn)模型2023/2/6椅子放穩(wěn)模型

在不平的地面上椅子通常三只腳著地—放不穩(wěn)。

什么條件下才能讓椅子四只腳著地—放穩(wěn)。四腿一樣長(zhǎng)，椅子腳與地面地接觸，四腳連線呈正方形。地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學(xué)上的連續(xù)曲面。地面相對(duì)平坦，椅子在任意位置至少三只腳著地。問(wèn)題模型假設(shè)2023/2/6椅子放穩(wěn)模型

模型建立四個(gè)距離（四只腳）對(duì)稱性兩個(gè)距離正方形ABCD繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)2023/2/6椅子放穩(wěn)模型

模型建立地面為連續(xù)曲面

椅子在任意位置至少三只腳著地

椅子旋轉(zhuǎn)90度，對(duì)角線AC和BD互換

2023/2/6椅子放穩(wěn)模型

模型求解2023/2/6建模過(guò)程的分析與思考

2023/2/6背景

年1625183019301960197419871999人口(億)5102030405060世界人口增長(zhǎng)概況中國(guó)人口增長(zhǎng)概況

年19081933195319641982199019952000人口(億)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口變化規(guī)律控制人口過(guò)快增長(zhǎng)如何預(yù)報(bào)人口的增長(zhǎng)指數(shù)增長(zhǎng)模型——馬爾薩斯提出(1798)常用的計(jì)算公式x(t)~時(shí)刻t的人口基本假設(shè)

:人口(相對(duì))增長(zhǎng)率r

是常數(shù)今年人口x0,年增長(zhǎng)率rk年后人口隨著時(shí)間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無(wú)限增長(zhǎng)指數(shù)增長(zhǎng)模型的應(yīng)用及局限性

與19世紀(jì)以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)吻合

適用于19世紀(jì)后遷往加拿大的歐洲移民后代

可用于短期人口增長(zhǎng)預(yù)測(cè)

不符合19世紀(jì)后多數(shù)地區(qū)人口增長(zhǎng)規(guī)律

不能預(yù)測(cè)較長(zhǎng)期的人口增長(zhǎng)過(guò)程19世紀(jì)后人口數(shù)據(jù)人口增長(zhǎng)率r不是常數(shù)(逐漸下降)如何預(yù)報(bào)人口的增長(zhǎng)阻滯增長(zhǎng)模型(Logistic模型)人口增長(zhǎng)到一定數(shù)量后，增長(zhǎng)率下降的原因：資源、環(huán)境等因素對(duì)人口增長(zhǎng)的阻滯作用且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大假設(shè)r~固有增長(zhǎng)率(x很小時(shí))xm~人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）r是x的減函數(shù)如何預(yù)報(bào)人口的增長(zhǎng)dx/dtx0xmxm/2xmtx0x(t)~S形曲線,x增加先快后慢x0xm/2阻滯增長(zhǎng)模型(Logistic模型)如何預(yù)報(bào)人口的增長(zhǎng)參數(shù)估計(jì)用指數(shù)增長(zhǎng)模型或阻滯增長(zhǎng)模型作人口預(yù)報(bào)，必須先估計(jì)模型參數(shù)r或r,xm

利用統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)用最小二乘法作擬合例：美國(guó)人口數(shù)據(jù)（單位~百萬(wàn)）186018701880……196019701980199031.438.650.2……179.3204.0226.5251.4專家估計(jì)阻滯增長(zhǎng)模型(Logistic模型)r=0.2557,xm=392