數(shù)學建模和模型

數(shù)學建模2023/2/6第一講數(shù)學建模

兩個實例數(shù)學建模的全過程數(shù)學建模的基本方法和步驟2023/2/6引言數(shù)學—各門學科的基礎(chǔ)，社會進步的工具。用數(shù)學方法解決任何一個實際問題，都必須在實際與數(shù)學之間假設(shè)一座橋梁。解決過程—實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題；數(shù)學問題的求解；數(shù)學解答回歸實際問題。這個過程稱為數(shù)學建?！獮閷嶋H問題建立數(shù)學模型。2023/2/6數(shù)學建模實例一2023/2/6數(shù)學建模實例一通常，1kg面，1kg餡，包100個餃子（湯圓）現(xiàn)在1kg面不變，餡比1kg多了，問應(yīng)多包幾個（每個小一點）,還是少包幾個（每個大一點）？

…(共n個)問題圓面積S的一個皮，包成體積V的餃子；分為n個皮，每個圓面積s，包成體積v的餃子.SSVvSvSvSvV和n*v那個大？V比n*v大多少？定性分析定量分析2023/2/6數(shù)學建模實例一假設(shè)

建模應(yīng)用2023/2/6數(shù)學建模實例一包餃子建模過程的基本、關(guān)鍵步驟用數(shù)學語言（體積和表面積）表示現(xiàn)實對象（餡和皮）作出簡化、合理的假設(shè)（厚度一樣，形狀一樣）利用問題蘊含的內(nèi)在規(guī)律（體積和表面積與半徑間的幾何關(guān)系）

日常生活中可用這個模型的結(jié)果解釋的現(xiàn)象2023/2/6數(shù)學建模實例二減速帶的間隔應(yīng)該多大2023/2/6數(shù)學建模實例二背景

校園、居民小區(qū)的道路中間，常常設(shè)置用于限制汽車速度的減速帶（路障）。如果要限制車速不超過30km/h，應(yīng)該相距多遠設(shè)置一個減速帶？汽車通過減速帶時速度近于零，過減速帶后加速。車速達到30km/h時因為前面有下一個減速帶而減速，至減速帶處車速又近于零。如此循環(huán)達到減速目的。問題分析2023/2/6數(shù)學建模實例二假設(shè)汽車在兩個相鄰減速帶之間一直做等加速運動和等減速運動

方法一查閱資料加速行駛的測試數(shù)減速行駛的測試數(shù)需要得到汽車的加速度和減速度方法二：進行測試速度（km/h）010203040時間（s）01.63.24.05.0速度（km/h）403020100時間（s）02.24.05.56.82023/2/6數(shù)學建模實例二建模

2023/2/6數(shù)學建模實例二參數(shù)估計

測試數(shù)據(jù)最小二乘法

設(shè)計減速帶間距32m2023/2/6數(shù)學建模實例二減速帶間距建模過程的基本、關(guān)鍵步驟作出簡化、合理的假設(shè)（等加速和等加速行駛）利用問題蘊含的內(nèi)在規(guī)律（時間、距離、速度、加速度之間的物理關(guān)系）根據(jù)測試數(shù)據(jù)估計模型的參數(shù)（加速度和減速度）。

減速帶設(shè)計中其他可用數(shù)學建模研究的問題。例如高度問題，橫截面的形狀2023/2/6數(shù)學建模和數(shù)學模型

關(guān)于部分現(xiàn)實世界為一定目的而作的抽象、簡化的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。是現(xiàn)實世界的簡化而本質(zhì)的描述。是用數(shù)學符號、數(shù)學公式、程序、圖、表等刻畫客觀事物的本質(zhì)屬性與內(nèi)在聯(lián)系的理想化表述。數(shù)學模型（MathematicalModel）2023/2/6數(shù)學建模和數(shù)學模型

對于一個現(xiàn)實對象，為了一個特定目的，根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律，作出必要的簡化假設(shè)，運用適當?shù)臄?shù)學工具，得到的一個數(shù)學結(jié)構(gòu)

建立數(shù)學模型的過程數(shù)學建模的過程一種創(chuàng)新過程數(shù)學模型（MathematicalModel）數(shù)學建模（MathematicalModeling）2023/2/6數(shù)學建模的全過程

現(xiàn)實對象的信息數(shù)學模型現(xiàn)實對象的解答數(shù)學模型的解答現(xiàn)實世界數(shù)學世界表述解釋求解驗證兩次“翻譯”的過程實踐理論實踐2023/2/6數(shù)學建模的基本方法

機理分析對客觀事物特性的認識內(nèi)部機理的數(shù)量規(guī)律測試分析對量測數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析與數(shù)據(jù)擬合最好的模型黑箱白箱二者結(jié)合機理分析建立模型的結(jié)構(gòu)測試分析確定模型的參數(shù)灰箱2023/2/6數(shù)學建?；静襟E

模型準備模型假設(shè)模型檢驗?zāi)Ｐ头治瞿Ｐ蜆?gòu)成模型求解模型應(yīng)用2023/2/6第二講怎樣學習數(shù)學建模為什么要學習數(shù)學建模時代發(fā)展的要求教育改革的需要怎么學習數(shù)學建模數(shù)學建模能力的培養(yǎng)全面的綜合素質(zhì)能力、初步具備科研能力思考、思考、再思考2023/2/6數(shù)學模型由來

歐幾里德《幾何原本》光反射定律阿基米德浮力定律杠桿原理伽利略落體定律

慣性原理牛頓

萬有引力定律

微積分

直到20世紀后半葉數(shù)學建模才逐漸受到普遍重視和廣泛應(yīng)用，并且進入大學的課堂2023/2/6數(shù)學模型發(fā)展科技進步與社會發(fā)展的推動計算機技術(shù)的出現(xiàn)和迅速發(fā)展，為數(shù)學建模的應(yīng)用提供了強有力的工具。高新技術(shù)中數(shù)學建模與科學計算是必不可少的手段—數(shù)學科學是關(guān)鍵的、普遍的、可應(yīng)用的技術(shù)

。數(shù)學迅速進入一些諸如經(jīng)濟、生態(tài)、人口、地質(zhì)等領(lǐng)域，為數(shù)學建模開拓了許多新的處女地。

數(shù)學建模引入教學，順應(yīng)時代發(fā)展的潮流2023/2/6數(shù)學模型發(fā)展為教育改革注入強大活力數(shù)學教育本質(zhì)上是一種素質(zhì)教育。數(shù)學教育應(yīng)培養(yǎng)兩種能力：算數(shù)學（計算、推導、證明……）和用數(shù)學（分析、解決實際問題）。數(shù)學建模就是解決實際問題的工具手段。清華大學是國內(nèi)最早開設(shè)課程的高校之一。

傳統(tǒng)的數(shù)學教學體系和內(nèi)容偏重前者，忽略后者2023/2/6怎樣學習數(shù)學建模數(shù)學建模是一門技術(shù)，更是一門藝術(shù)。想象力洞察力判斷力創(chuàng)新意識學習、分析、評價、改進別人做過的模型親自動手，認真做幾個實際題目椅子放穩(wěn)模型2023/2/6椅子放穩(wěn)模型

在不平的地面上椅子通常三只腳著地—放不穩(wěn)。

什么條件下才能讓椅子四只腳著地—放穩(wěn)。四腿一樣長，椅子腳與地面地接觸，四腳連線呈正方形。地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學上的連續(xù)曲面。地面相對平坦，椅子在任意位置至少三只腳著地。問題模型假設(shè)2023/2/6椅子放穩(wěn)模型

模型建立四個距離（四只腳）對稱性兩個距離正方形ABCD繞O點旋轉(zhuǎn)2023/2/6椅子放穩(wěn)模型

模型建立地面為連續(xù)曲面

椅子在任意位置至少三只腳著地

椅子旋轉(zhuǎn)90度，對角線AC和BD互換

2023/2/6椅子放穩(wěn)模型

模型求解2023/2/6建模過程的分析與思考

2023/2/6背景

年1625183019301960197419871999人口(億)5102030405060世界人口增長概況中國人口增長概況

年19081933195319641982199019952000人口(億)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口變化規(guī)律控制人口過快增長如何預報人口的增長指數(shù)增長模型——馬爾薩斯提出(1798)常用的計算公式x(t)~時刻t的人口基本假設(shè)

:人口(相對)增長率r

是常數(shù)今年人口x0,年增長率rk年后人口隨著時間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無限增長指數(shù)增長模型的應(yīng)用及局限性

與19世紀以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)吻合

適用于19世紀后遷往加拿大的歐洲移民后代

可用于短期人口增長預測

不符合19世紀后多數(shù)地區(qū)人口增長規(guī)律

不能預測較長期的人口增長過程19世紀后人口數(shù)據(jù)人口增長率r不是常數(shù)(逐漸下降)如何預報人口的增長阻滯增長模型(Logistic模型)人口增長到一定數(shù)量后，增長率下降的原因：資源、環(huán)境等因素對人口增長的阻滯作用且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大假設(shè)r~固有增長率(x很小時)xm~人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）r是x的減函數(shù)如何預報人口的增長dx/dtx0xmxm/2xmtx0x(t)~S形曲線,x增加先快后慢x0xm/2阻滯增長模型(Logistic模型)如何預報人口的增長參數(shù)估計用指數(shù)增長模型或阻滯增長模型作人口預報，必須先估計模型參數(shù)r或r,xm

利用統(tǒng)計數(shù)據(jù)用最小二乘法作擬合例：美國人口數(shù)據(jù)（單位~百萬）186018701880……196019701980199031.438.650.2……179.3204.0226.5251.4專家估計阻滯增長模型(Logistic模型)r=0.2557,xm=392