數(shù)字信號處理第7章 無限長單位脈沖響應(yīng)(IIR)濾波器的設(shè)計方法

第7章無限長單位沖激響應(yīng)（IIR）數(shù)字濾波器的設(shè)計方法7.1引言

7.2數(shù)字濾波器的實(shí)現(xiàn)步驟7.3數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)

7.4IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計方法分類7.5模擬濾波器的設(shè)計7.6間接法的IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計方案7.7沖激響應(yīng)不變法7.8階躍響應(yīng)不變法7.9雙線性變換法7.1引言濾波器的設(shè)計：找到一個滿足技術(shù)指標(biāo)要求的可實(shí)現(xiàn)的因果穩(wěn)定的數(shù)字濾波器去逼近這些理想的濾波器幅度特性。圖6.1各種數(shù)字濾波器的理想幅度頻率響應(yīng)7.2數(shù)字濾波器的實(shí)現(xiàn)步驟

①按任務(wù)要求，確定濾波器的性能指標(biāo)。②用一個因果穩(wěn)定的離散線性移不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)去逼近這一性能要求。所謂實(shí)現(xiàn)是指從給定濾波器技術(shù)要求，設(shè)計一個線性時不變系統(tǒng)，利用有限精度算法的實(shí)際技術(shù)實(shí)現(xiàn)等的全部過程?？煞譃橐韵滤膫€步驟：例1：理想的數(shù)字低通濾波器的幅頻為1，相頻為0，求其單位沖激響應(yīng)。無限長的非因果的不可實(shí)現(xiàn)的③利用有限精度算法來實(shí)現(xiàn)這個系統(tǒng)函數(shù)。這里包括選擇運(yùn)算結(jié)構(gòu)（如第5章中的各種基本結(jié)構(gòu)），選擇合適的字長（包括系數(shù)量化及輸入變量、中間變量和輸出變量的量化）以及有效數(shù)字的處理方法（舍入、截尾）等。實(shí)際的技術(shù)實(shí)現(xiàn)

通用計算機(jī)軟件、專用數(shù)字濾波器硬件、或者二者結(jié)合。7.3數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)濾波器的性能要求往往以頻率響應(yīng)的幅度特性的允許誤差來表征。1容限的定義2衰減的定義3頻響的三個參量1容限的定義α1：通帶的容限α2：阻帶的容限

圖7.1低通濾波器幅度響應(yīng)的容限圖在通帶內(nèi)，幅度響應(yīng)以誤差α1逼近于1，即

在阻帶內(nèi)，幅度響應(yīng)以誤差小于

而逼近于零，即2衰減的定義（7.3.3）（7.3.4）如|H(ejω)|在ωc處滿足|H(ejωc)|=0.707，則δ1=3dB；在ωst處滿足|H(ejωst)|=0.001，則δ2=60dB阻帶應(yīng)達(dá)到的最小衰減δ2假定|H(ej0)|=1通帶允許的最大衰減（波紋）

的極點(diǎn)既是共軛的，又是以單位圓成鏡像對稱的單位圓內(nèi)的極點(diǎn)----單位圓外的極點(diǎn)-------若是H(z)的極點(diǎn)，則是的極點(diǎn)，由于為實(shí)序列，其零極點(diǎn)必然以共軛對形式出現(xiàn)。故必有兩極點(diǎn)。3頻響的三個參量a幅度平方響應(yīng)H(z)b相位響應(yīng)

c群延時它是濾波器平均延遲的一個度量當(dāng)要求濾波器為線性相位響應(yīng)特性時，則通帶內(nèi)的群延遲必須為常數(shù)。7.4IIR數(shù)字濾波器的設(shè)計方法IIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)用極、零點(diǎn)表示如下：一般滿足M≤N，這類系統(tǒng)稱為N階系統(tǒng)，當(dāng)M>N時，H(z)可看成是一個N階IIR子系統(tǒng)與一個(M-N)階的FIR子系統(tǒng)。以下討論都假定M≤N。1）利用模擬濾波器的理論來設(shè)計數(shù)字濾波器首先，設(shè)計一個合適的模擬濾波器；然后，變換成滿足預(yù)定指標(biāo)的數(shù)字濾波器。這種方法很方便，因?yàn)槟M濾波器已經(jīng)具有很多簡單而又現(xiàn)成的設(shè)計公式，并且設(shè)計參數(shù)已經(jīng)表格化了，設(shè)計起來既方便又準(zhǔn)確。2）計算機(jī)輔助設(shè)計法（最優(yōu)化設(shè)計法）第一步要選擇一種最優(yōu)準(zhǔn)則。例如，選擇最小均方誤差準(zhǔn)則或最大誤差最小準(zhǔn)則等。第二步，求在此最佳準(zhǔn)則下濾波器系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)ak,bk。一般是通過不斷改變?yōu)V波器系數(shù)ak、bk，分別計算ε;最后，找到使ε為最小時的一組系數(shù)ak,bk，從而完成設(shè)計。這種設(shè)計需要進(jìn)行大量的迭代運(yùn)算，故離不開計算機(jī)。所以最優(yōu)化方法又稱為計算機(jī)輔助設(shè)計法。本章著重討論第一種方法。間接法的設(shè)計步驟及要求：利用模擬濾波器來設(shè)計數(shù)字濾波器，就是從已知的模擬濾波器傳遞函數(shù)Ha(s)設(shè)計數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。因此，它歸根結(jié)底是一個由S平面映射到Z平面的變換，這個變換通常是復(fù)變函數(shù)的映射變換，這個映射變換必須滿足以下兩條基本要求：（1）H(z)的頻率響應(yīng)要能模仿Ha(s)的頻率響應(yīng)，也即S平面虛軸jΩ必須映射到Z平面的單位圓ejω上。（2）因果穩(wěn)定的Ha(s)應(yīng)能映射成因果穩(wěn)定的H(z)，也即S平面的左半平面Re［s］<0必須映射到Z平面單位圓的內(nèi)部|z|<1。7.5模擬濾波器的設(shè)計常用的模擬原型濾波器有巴特沃思（Butterworth）濾波器、切比雪夫（Chebyshev）濾波器、橢圓（Ellipse）濾波器、貝塞爾（Bessel）濾波器等。特點(diǎn)：巴特沃思濾波器具有單調(diào)下降的幅頻特性；切比雪夫?yàn)V波器的幅頻特性在通帶或者在阻帶有波動，可以提高選擇性；貝塞爾濾波器通帶內(nèi)有較好的線性相位特性；橢圓濾波器的選擇性相對前三種是最好的,但在通帶和阻帶內(nèi)均為等波紋幅頻特性。6.8.1概述給定模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)通帶允許的最大衰減阻帶允許的最小衰減阻帶截止頻率通帶截止頻率6.8.1由幅度平方函數(shù)來確定系統(tǒng)函數(shù)模擬濾波器幅度響應(yīng)常用幅度平方函數(shù)|Ha(jΩ)|2來表示，即由于濾波器沖激響應(yīng)ha(t)是實(shí)函數(shù)，因而Ha(jΩ)滿足所以（6-7）式中，Ha(s)是模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，它是s的有理函數(shù);Ha(jΩ)是濾波器的頻率響應(yīng)特性；|Ha(jΩ)|是濾波器的幅度特性?，F(xiàn)在的問題是要由已知的|Ha(jΩ)|2求得Ha(s)?；氐绞剑?-7），設(shè)Ha(s)有一個極點(diǎn)（或零點(diǎn)）位于s=s0處，由于沖激響應(yīng)ha(t)為實(shí)函數(shù)，則極點(diǎn)（或零點(diǎn)）必以共軛對形式出現(xiàn)，因而s=s0*處也一定有一極點(diǎn)（或零點(diǎn)），所以與之對應(yīng)Ha(-s)在s=-s0和-s0*處必有極點(diǎn)（或零點(diǎn)），Ha(s)Ha(-s)在虛軸上的零點(diǎn)（或極點(diǎn)）（對臨界穩(wěn)定情況，才會出現(xiàn)虛軸的極點(diǎn)）一定是二階的，這是因?yàn)闆_激響應(yīng)ha(t)是實(shí)的，因而Ha(s)的極點(diǎn)（或零點(diǎn)）必成共軛對出現(xiàn)。Ha(s)Ha(-s)的極點(diǎn)、零點(diǎn)分布是成象限對稱的，如圖6-16所示。6-16Ha(s)Ha(-s)的極點(diǎn)、零點(diǎn)分布是成象限對稱我們知道，任何實(shí)際可實(shí)現(xiàn)的濾波器都是穩(wěn)定的，因此,其系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)的極點(diǎn)一定落在s的左半平面，所以左半平面的極點(diǎn)一定屬于Ha(s)，則右半平面的極點(diǎn)必屬于Ha(-s)。零點(diǎn)的分布則無此限制，只和濾波器的相位特征有關(guān)。如果要求最小的相位延時特性，則Ha(s)應(yīng)取左半平面零點(diǎn)。如果有特殊要求，則按這種要求來考慮零點(diǎn)的分配；如無特殊要求，則可將對稱零點(diǎn)的任一半（應(yīng)為共軛對）取為Ha(s)的零點(diǎn)。最后,按照Ha(jΩ)與Ｈa(s)的低頻特性或高頻特性的對比確定出增益常數(shù)。由求出的Ha(s)的零點(diǎn)、極點(diǎn)及增益常數(shù)，則可完全確定系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)。7.5.2模擬巴特沃思低通濾波器巴特沃思逼近又稱最平幅度逼近。巴特沃思低通濾波器幅度平方函數(shù)定義為式中，N為正整數(shù)，代表濾波器的階數(shù)。當(dāng)Ω=0時，|Ha(j0)|=1；當(dāng)Ω=Ωc時，|Ha(jΩc)|=1/=0.707，20lg|Ha(j0)/Ha(jΩc)|=3dB，Ωc為3dB截止頻率。當(dāng)Ω=Ωc時，不管N為多少，所有的特性曲線都通過－3dB點(diǎn)，或者說衰減為3dB。巴特沃思低通濾波器在通帶內(nèi)有最大平坦的幅度特性，即N階巴特沃思低通濾波器在Ω＝0處幅度平方函數(shù)|Ha(jΩ)|2的前(2N-1)階導(dǎo)數(shù)為零，因而巴特沃思濾波器又稱為最平幅度特性濾波器。隨著Ω由0增大，|Ha(jΩ)|2單調(diào)減小，N越大，通帶內(nèi)特性越平坦，過渡帶越窄。當(dāng)Ω＝Ωst，即頻率為阻帶截止頻率時，衰減為δ2=-20lg|Ha(jΩs)|,δ2為阻帶最小衰減。對確定的δ2,N越大，Ωs距Ωc越近，即過渡帶越窄。巴特沃思低通濾波器的幅度特性如圖7.4所示。7.4巴特沃思低通濾波器的幅度特性在幅度平方函數(shù)式中，代入Ω=s/j,可得所以，巴特沃思濾波器的零點(diǎn)全部在s=∞處，在有限S平面內(nèi)只有極點(diǎn)，因而屬于所謂“全極點(diǎn)型”濾波器。Ha(s)Ha(-s)的極點(diǎn)為k=1,2,…,2N

由此看出，Ha(s)Ha(-s)的2N個極點(diǎn)等間隔分布在半徑為Ωc的圓（稱巴特沃思圓）上，極點(diǎn)間的角度間隔為π/Nrad。例如，N＝3及N＝4時，Ha(s)Ha(-s)的極點(diǎn)分布分別如圖7.5（a）和(b)所示。圖7.5N＝3和N＝4時極點(diǎn)分布可見，N為奇數(shù)時，實(shí)軸上有極點(diǎn)；N為偶數(shù)時，實(shí)軸上沒有極點(diǎn)。但極點(diǎn)決不會落在虛軸上，這樣濾波器才有可能是穩(wěn)定的。為形成穩(wěn)定的濾波器，Ha(s)Ha(-s)的2N個極點(diǎn)中只取S左半平面的N個極點(diǎn)為Ha(s)的極點(diǎn)，而右半平面的N個極點(diǎn)構(gòu)成Ha(-s)的極點(diǎn)。Ha(s)的表示式為這里分子系數(shù)為ΩcN，可由Ha(s)的低頻特性決定，（代入Ha(0)=1，可求得分子系數(shù)為ΩcN），而sk為k=1,2,…,N一般模擬低通濾波器的設(shè)計中，都會把式中的Ωc選為1rad/s,即使頻率歸一化。而歸一化后巴特沃思濾波器的極點(diǎn)分布以及相應(yīng)的系統(tǒng)函數(shù)、分母多項(xiàng)多的系數(shù)都有現(xiàn)成的表格可查。把原歸一化后的系統(tǒng)函數(shù)中的s用s/Ωc代替后，就可得到所需的系統(tǒng)函數(shù)。N巴特沃思多項(xiàng)式1s+12s2+1.4142s+13(s+1)(s2+s+1)4(s2+0.7654s+1)(s2+1.8478s+1)5(s+1)(s2+0.6180s+1)(s2+1.6180s+1)6(s2+0.5176s+1)(s2+1.412s+1)(s2+1.9319s+1)7(s+1)(s2+0.4450s+1)(s2+1.2470s+1)(s2+1.8019s+1)8(s2+0.3092s+1)(s2+1.1111s+1)(s2+1.6629s+1)(s2+1.9616s+1)9(s+1)(s2+0.3473s+1)(s2+s+1)(s2+1.5321s+1)(s2+1.8794s+1)令HaN(s)代表歸一化系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，Ha(s)代表截止頻率為Ωc的低通系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，那么歸一化系統(tǒng)函數(shù)中的變量s用s/Ωc代替后，就得到所需濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)，即:（6-78）（6-79）例6-1導(dǎo)出三階巴特沃思模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，設(shè)Ωc＝2rad/s。

解幅度平方函數(shù)是令Ω2=-s2即Ω=-js，則有各極點(diǎn)滿足式（6-72）k=1,2,…,6前面三個sk（k=1,2,3）就是Ha(s)的極點(diǎn)。所給出的六個sk為:由s1,s2,s3三個極點(diǎn)構(gòu)成的系統(tǒng)函數(shù)為此題用查表方法設(shè)計查N=3的巴特沃思濾波器分母多項(xiàng)式系數(shù)A1=2,a2=2頻率歸一化后的系統(tǒng)函數(shù)為：頻率反歸一化，即以變量s用s/Ωc代替后，就得到所需濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)6.3.3切比雪夫低通逼近巴特沃思濾波器的頻率特性無論在通帶與阻帶都隨頻率變換而單調(diào)變化，因而如果在通帶邊緣滿足指標(biāo)，則在通帶內(nèi)肯定會有富裕量，也就會超過指標(biāo)的要求，因而并不經(jīng)濟(jì)。所以，更有效的辦法是將指標(biāo)的精度要求均勻地分布在通帶內(nèi)，或均勻地分布在阻帶內(nèi)，或同時均勻地分布在通帶與阻帶內(nèi)。這樣，在同樣通帶、阻帶性能要求下，就可設(shè)計出階數(shù)較低的濾波器。這種精度均勻分布的辦法可通過選擇具有等波紋特性的逼近函數(shù)來實(shí)現(xiàn)。切比雪夫?yàn)V波器的幅度特性就是在一個頻帶中（通帶或阻帶）具有這種等波紋特性。幅度特性在通帶中是等波紋的，在阻帶中是單調(diào)的，稱為切比雪夫Ⅰ型。幅度特性在通帶內(nèi)是單調(diào)下降的，在阻帶內(nèi)是等波紋的，稱為切比雪夫Ⅱ型。由應(yīng)用的要求來確定采用哪種形式的切比雪夫?yàn)V波器。圖6-19、圖6-20分別畫出了N為奇數(shù)與N為偶數(shù)的切比雪夫Ⅰ，Ⅱ型低通濾波器的幅度特性。圖6-19切比雪夫Ⅰ型低通濾波器的幅度特性圖6-8切比雪夫Ⅱ型低通濾波器的幅度特性橢圓濾波器在通帶和阻帶都具有等波紋幅頻特性。我們以切比雪夫Ⅰ型低通濾波器為例來討論這種逼近。切比雪夫Ⅰ型低通濾波器的幅度平方函數(shù)為（6-80）式中，ε為小于1的正數(shù)，它是表示通帶波紋大小的一個參數(shù)，ε越大，波紋也越大。Ωc為通帶截止頻率，也是濾波器的某一衰減分貝處的通帶寬度（這一分貝數(shù)不一定是3dB。也就是說，在切比雪夫?yàn)V波器中，Ωc不一定是3dB的帶寬）。CN(x)是N階切比雪夫多項(xiàng)式，定義為|x|≤1(通帶)|x|>1(阻帶)當(dāng)N≥1時，切比雪夫多項(xiàng)式的遞推公式為CN+1(x)=2xCN(x)-CN-1(x)(6-81)(6-82)切比雪夫多項(xiàng)式的零值點(diǎn)（或根）在|x|≤1間隔內(nèi)。當(dāng)|x|≤1時，CN(x)是余弦函數(shù)，故|CN(x)|≤1且多項(xiàng)式CN(x)在|x|≤1內(nèi)具有等波紋幅度特性；對所有的N，CN(1)=1，N為偶數(shù)時CN(0)=±１;N為奇數(shù)時CN(0)=0。當(dāng)|x|>1時，CN(x)是雙曲余弦函數(shù)，它隨x增大而單調(diào)增加。顯然，切比雪夫?yàn)V波器的幅度函數(shù)為的特點(diǎn)如下：（1）當(dāng)Ω＝0，N為偶數(shù)時，；當(dāng)N為奇數(shù)時，Ha(j0)=1。（2）Ω=Ωc時即所有幅度函數(shù)曲線都通過點(diǎn)，所以把Ωc定義為切比雪夫?yàn)V波器的通帶截止頻率。在這個截止頻率下，幅度函數(shù)不一定下降3dB，可以是下降其他分貝值，例如1dB等，這是與巴特沃思濾波器不同之處。（3）在通帶內(nèi)，即當(dāng)|Ω|<Ωc時，則|Ω|/Ωc<1，|Ha(jΩ)|在 之間等波紋地起伏。（4）在通帶之外，即當(dāng)|Ω|>Ωc時，隨著Ω的增大,迅速滿足ε2CN2

(Ω/Ωc)>>1使|Ha(jΩ)|迅速單調(diào)地趨近于零。由幅度平方函數(shù)式（6-80）看出，切比雪夫?yàn)V波器有三個參數(shù)：ε，Ωc和N。Ωc是通帶寬度，一般是預(yù)先給定的;ε是與通帶波紋有關(guān)的一個參數(shù)。通帶波紋Ap表示成(6-83) 這里，|Ha(jΩ)|max=1表示通帶幅度響應(yīng)的最大值。 ，表示通帶幅度響應(yīng)的最小值，故因而(6-84)(6-86)可以看出，給定通帶波紋值δ1（dB）后，就能求得ε2，這里應(yīng)注意通帶波紋值不一定是3dB，也可以是其他值，例如0.1dB等。濾波器階數(shù)N等于通帶內(nèi)最大值和最小值的總數(shù)。前面已經(jīng)說過，N為奇數(shù)時，在Ω=0處，|Ha(jΩ)|為最大值1；N為偶數(shù)時，在Ω＝0處,|Ｈa(jΩ)|為最小值 （見圖6-7）。N的數(shù)值可由阻帶衰減來確定。設(shè)阻帶起始點(diǎn)頻率為Ωs，此時阻帶幅度平方函數(shù)值滿足式中，A是常數(shù)。如果用誤差的分貝數(shù)δ2表示，則有所以(6-86)設(shè)Ωst為阻帶截止頻率，即當(dāng)Ω＝Ωst時，將上面的|Ha(jΩ)|2的表達(dá)式代入式（6-80），可得由此得出由于Ωs/Ωc>1，所以，由式（6-21）的第二式有由此，并考慮式（6-26），可得(6-88)如果要求阻帶邊界頻率上衰減越大（即A越大），也就是過渡帶內(nèi)幅度特性越陡，則所需的階數(shù)N越高?；蛘邔Ζ竤t求解，可得(6-89)這里，Ωc是切比雪夫?yàn)V波器的通帶寬度，但不是3dB帶寬，可以求出3dB帶寬為(6-90)注意，只有當(dāng)Ωc<Ω3dB時才采用式（6-90）來求解Ω3dB。（因?yàn)闈M足Ω3dB/Ωc>1)

ε,Ωc,N給定后，就可以求得濾波器的傳遞函數(shù)Ha(s)，這可查閱有關(guān)模擬濾波器手冊。7.7沖激響應(yīng)不變法一·變換思路沖激響應(yīng)不變法是從濾波器的沖激響應(yīng)出發(fā)，使數(shù)字濾波器的單位沖激響應(yīng)序列h(n)模仿模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)ha(t)，即將ha(t)進(jìn)行采樣，使h(n)正好等于ha(t)的采樣值，滿足式中,

是采樣周期。左右兩端進(jìn)行拉氏變換得可以看出，當(dāng)

時，抽樣序列的Z變換就等于其理想抽樣信號的拉普拉斯變換。并非之間的變換關(guān)系。即沖激響應(yīng)不變法從之間并沒有一個從s平面到z平面的簡單的代數(shù)映射關(guān)系。即沒有一一對應(yīng)的變換關(guān)系。沖激響應(yīng)不變法的映射關(guān)系二混疊失真即數(shù)字濾波器的頻響是模擬濾波器頻率響應(yīng)的周期延拓。正如采樣定理所討論的，只有當(dāng)模擬濾波器的頻率響應(yīng)是限帶的，且?guī)抻谡郫B頻率以內(nèi)時，即1數(shù)字濾波器頻響與模擬濾波器頻響之間的關(guān)系才能使數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)在折疊頻率以內(nèi)重現(xiàn)模擬濾波器的頻率響應(yīng)，而不產(chǎn)生混疊失真，即但是，任何一個實(shí)際的模擬濾波器頻率響應(yīng)都不是嚴(yán)格限帶的，變換后就會產(chǎn)生周期延拓分量的頻譜交疊，即產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真，如圖所示。這時數(shù)字濾波器的頻響就不同于原模擬濾波器的頻響，而帶有一定的失真。當(dāng)模擬濾波器的頻率響應(yīng)在折疊頻率以上處衰減越大、越快時，變換后頻率響應(yīng)混疊失真就越小。這時，采用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計的數(shù)字濾波器才能得到良好的效果。圖沖激響應(yīng)不變法中的頻響混疊現(xiàn)象當(dāng)模擬濾波器的頻率響應(yīng)在折疊頻率以上處衰減越大、越快時，變換后頻率響應(yīng)混疊失真就越小。這時，采用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計的數(shù)字濾波器才能得到良好的效果。2減小混疊失真的方法三模擬濾波器的數(shù)字化方法下面我們討論如何由沖激響應(yīng)不變法的變換原理將Ha(s)直接轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器H(z)。設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)Ha(s)只有單階極點(diǎn)，且假定分母的階次大于分子的階次（一般都滿足這一要求，因?yàn)橹挥羞@樣才相當(dāng)于一個因果穩(wěn)定的模擬系統(tǒng)），因此可將7.7.2其相應(yīng)的沖激響應(yīng)ha(t)是Ha(s)的拉普拉斯反變換，即式中,u(t)是單位階躍函數(shù)。在沖激響應(yīng)不變法中，要求數(shù)字濾波器的單位沖激響應(yīng)等于對ha(t)的采樣，即7.7.3對h(n)求Z變換，即得數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)7.7.5將(7.7.2）的Ha(s)和式（7.7.5）的H(z)加以比較，可以看出：（1）S平面的單極點(diǎn)s=sk變換到Z平面的單極點(diǎn)z=eskT。（2）Ha(s)與H(z)的部分分式的系數(shù)是相同的，都是Ak。（3）如果模擬濾波器是因果穩(wěn)定的，則所有極點(diǎn)sk位于S平面的左半平面即Re［sk］<0，則變換后的數(shù)字濾波器的全部極點(diǎn)在單位圓內(nèi)即|eskT|=eRe［sk］T<1，因此數(shù)字濾波器也是因果穩(wěn)定的。（4）雖然沖激響應(yīng)不變法能保證S平面極點(diǎn)與Z平面極點(diǎn)有這種代數(shù)對應(yīng)關(guān)系，但是并不等于整個S平面與Z平面有這種代數(shù)對應(yīng)關(guān)系，特別是數(shù)字濾波器的零點(diǎn)位置就與模擬濾波器零點(diǎn)位置沒有這種代數(shù)對應(yīng)關(guān)系，而是隨Ha(s)的極點(diǎn)sk以及系數(shù)Ak兩者而變化。如果采樣頻率很高，即

很小，數(shù)字濾波器可能具有太高的增益，這是不希望的。為了使數(shù)字濾波器增益不隨采樣頻率而變化，可以作以下簡單的修正，令則有:四修正型方法例6-3設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為試?yán)脹_激響應(yīng)不變法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成IIR數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)。解：直接利用式可得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為設(shè)T=1，則有模擬濾波器的頻率響應(yīng)Ha(jΩ)以及數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)H(ejω)分別為:把|Ha(jΩ)|和|H(ejω)|畫在圖上。由該圖可看出，由于Ha(jΩ)不是充分限帶的，所以H(ejω)產(chǎn)生了嚴(yán)重的頻譜混疊失真。圖6-8例6-3的幅頻特性五優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：沖激響應(yīng)不變法使得數(shù)字濾波器的單位沖激響應(yīng)完全模仿模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)，也就是時域逼近良好；模擬頻率Ω和數(shù)字頻率ω之間呈線性關(guān)系ω=ΩT。因而，一個線性相位的模擬濾波器（例如貝塞爾濾波器）通過沖激響應(yīng)不變法得到的仍然是一個線性相位的數(shù)字濾波器。缺點(diǎn)：頻率響應(yīng)的混疊效應(yīng)。所以，沖激響應(yīng)不變法只適用于限帶的模擬濾波器(例如，衰減特性很好的低通或帶通濾波器)，而且高頻衰減越快，混疊效應(yīng)越小。至于高通和帶阻濾波器，由于它們在高頻部分不衰減，因此將完全混淆在低頻響應(yīng)中。如果要對高通和帶阻濾波器采用沖激響應(yīng)不變法，就必須先對高通和帶阻濾波器加一保護(hù)濾波器，濾掉高于折疊頻率以上的頻率，然后再使用沖激響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換為數(shù)字濾波器。當(dāng)然這樣會進(jìn)一步增加設(shè)計復(fù)雜性和濾波器的階數(shù)。沖激響應(yīng)不變法的映射關(guān)系7.9雙線性變換法7.9.1基本思路

沖激響應(yīng)不變法的主要缺點(diǎn)是產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真。這是因?yàn)閺腟平面到Ｚ平面是多值的映射關(guān)系所造成的。第一步先將整個S平面壓縮映射到S1平面的一條橫帶里（寬度為）；圖7.20雙線性變換的映射關(guān)系第二步通過標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系

將此橫帶變換到整個Z平面上。映射關(guān)系如圖7-20所示。為了將S平面的整個虛軸jΩ壓縮到S1平面jΩ1軸上的-π/T到π/T段上，可以通過以下的正切變換實(shí)現(xiàn)式中,T仍是采樣間隔。7.9.2變換過程，變換關(guān)系式將此關(guān)系解析延拓到整個S平面和S1平面，令jΩ=s，jΩ1=s1，則得再將S1平面通過以下標(biāo)準(zhǔn)變換關(guān)系映射到Z平面：z=es1T

從而得到S平面和Z平面的單值映射關(guān)系為：上式是S平面與Z平面之間的單值映射關(guān)系，這種變換都是兩個線性函數(shù)之比，因此稱為雙線性變換。7.9.3逼近的情況式（6-57）與式（6-58）的雙線性變換符合6.4節(jié)中提出的映射變換應(yīng)滿足的兩點(diǎn)要求（1）首先,把z=ejω代入可得即S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓。（2）其次，將s=σ+jΩ代入式（6-57），得因此由此看出，當(dāng)σ<0時，|z|<1；當(dāng)σ>0時，|z|>1。也就是說，S平面的左半平面映射到Z平面的單位圓內(nèi)，S平面的右半平面映射到Z平面的單位圓外，S平面的虛軸映射到Z平面的單位圓上。因此，穩(wěn)定的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后所得的數(shù)字濾波器也一定是穩(wěn)定的。圖7.21雙線性變換法的頻率變換關(guān)系7.9.4非線性頻率變換關(guān)系由圖看出，在零頻率附近，模擬角頻率Ω與數(shù)字頻率ω之間的變換關(guān)系接近于線性關(guān)系；但當(dāng)Ω進(jìn)一步增加時，ω增長得越來越慢，最后當(dāng)Ω→∞時，ω終止在折疊頻率ω=π處，因而雙線性變換就不會出現(xiàn)由于高頻部分超過折疊頻率而混淆到低頻部分去的現(xiàn)象，從而消除了頻率混疊現(xiàn)象。因此，DF的幅頻響應(yīng)相對于AF的幅頻響應(yīng)會產(chǎn)生畸變。首先，一個線性相位的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后得到非線性相位的數(shù)字濾波器，不再保持原有的線性相位；其次，這種非線性關(guān)系要求模擬濾波器的幅頻響應(yīng)必須是分段常數(shù)型的，即某一頻率段的幅頻響應(yīng)近似等于某一常數(shù)（這正是一般典型的低通、高通、帶通、帶阻型濾波器的響應(yīng)特性），不然變換所產(chǎn)生的數(shù)字濾波器幅頻響應(yīng)相對于原模擬濾波器的幅頻響應(yīng)會有畸變，如圖6-14所示。圖7.22理想微分器經(jīng)雙線性變換后幅頻響應(yīng)產(chǎn)生畸變對于分段常數(shù)的濾波器，雙線性變換后，仍得到幅頻特性為分段常數(shù)的濾波器，但是各個分段邊緣的臨界頻率點(diǎn)產(chǎn)生了畸變，這種頻率的畸變，可以通過頻率的預(yù)畸來加以校正。也就是將臨界模擬頻率事先加以畸變，然后經(jīng)變換后正好映射到所需要的數(shù)字頻率上。圖7.23雙線性變換的頻率非線性預(yù)畸7.9.5模擬濾波器的數(shù)字化方法1、直接代入法雙線性變換法比起沖激響應(yīng)不變法來，在設(shè)計和運(yùn)算上也比較直接和簡單。由于雙線性變換法中，s到z之間的變換是簡單的代數(shù)關(guān)系，所以可以直接將式（6-57）代入到模擬系統(tǒng)傳遞函數(shù)，得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，即頻率響應(yīng)也可用直接代換的方法得到（6-62）2、間接代入法應(yīng)用式（6-62）求H(z)時，若階數(shù)較高，這時將H(z)整理成需要的形式，就不是一件簡單的工作。為簡化設(shè)計，一方面，可以先將模擬系統(tǒng)函數(shù)分解成并聯(lián)的子系統(tǒng)函數(shù)（子系統(tǒng)函數(shù)相加）或級聯(lián)的子系統(tǒng)函數(shù)（子系統(tǒng)函數(shù)相乘），使每個子系統(tǒng)函數(shù)都變成低階的（例如一、二階的），然后再對每個子系統(tǒng)函數(shù)分別采用雙線性變換。也就是說，分解為低階的方法是在模擬系統(tǒng)函數(shù)上進(jìn)行的，而模擬系統(tǒng)函數(shù)的分解已有大量的圖表可以利用，分解起來比較方便。雙線性法設(shè)計DF的步驟：2)由模擬濾波器的指標(biāo)設(shè)計H

(s)3)H

(s)轉(zhuǎn)換為H(z)1)將數(shù)字濾波器的頻率指標(biāo){wk}由wk=(2/T)tan(Wk/2)轉(zhuǎn)換為模擬濾波器的頻率指標(biāo)

{Wk}例6-4設(shè)計一個一階數(shù)字低通濾波器，3dB截止頻率為ωc=0.26π，將雙線性變換應(yīng)用于模擬巴特沃思濾波器。

解數(shù)字低通濾波器的截止頻率為ωc=0.26π，相應(yīng)的巴特沃思模擬濾波器的3dB截止頻率是Ωc，就有模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為將雙線性變換應(yīng)用于模擬濾波器，有由上題可知，T不參與設(shè)計，即雙線性變換法中用 設(shè)計與用 設(shè)計得到的結(jié)果一致。

例6-6用雙線性變換法設(shè)計一個三階巴特沃思數(shù)字低通濾波器，采樣頻率為fs=4kHz（即采樣周期為T=250μs），其3dB截止頻率為fc=1kHz。三階模擬巴特沃思濾波器為

解首先，確定數(shù)字域截止頻率ωc=2πfcT=0.6π。第二步，根據(jù)頻率的非線性關(guān)系式（6-46），確定預(yù)畸變的模擬濾波器的截止頻率第三步，將Ωc代入三階模擬巴特沃思濾波器Ha(s)，得最后，將雙線性變換關(guān)系代入就得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)應(yīng)該注意，這里所采用的模擬濾波器Ha(s)并不是數(shù)字濾波器所要模仿的截止頻率fc=1kHz的實(shí)際濾波器，它只是一個“樣本”函數(shù)，是由低通模擬濾波器到數(shù)字濾波器的變換中的一個中間變換階段。圖6-16給出了采用雙線性變換法得到的三階巴特沃思數(shù)字低通濾波器的幅頻特性。由圖可看出，由于頻率的非線性變換，使截止區(qū)的衰減越來越快。最后在折疊頻率處形成一個三階傳輸零點(diǎn)。這個三階零點(diǎn)正是模擬濾波器在Ωc=∞處的三階傳輸零點(diǎn)通過映射形成的。圖6-16用雙線性變換法設(shè)計得到的三階巴特沃思數(shù)字低通濾波器的頻響6.6設(shè)計IIR濾波器的頻率變換法圖6-23兩種等效的設(shè)計方法(a)先模擬頻率變換，再數(shù)字化;(b)將(a)的兩步合成一步設(shè)計對于第一種方案，重點(diǎn)是模擬域頻率變換，即如何由模擬低通原型濾波器轉(zhuǎn)換為截止頻率不同的模擬低通、高通、帶通、帶阻濾波器，這里我們不作詳細(xì)推導(dǎo)，僅在表6-3列出一些模擬到模擬的頻率轉(zhuǎn)換關(guān)系。一般直接用歸一化原型轉(zhuǎn)換，取Ωc=1,可使設(shè)計過程簡化。表6-3截止頻率為Ωc的模擬低通濾波器到其它頻率選擇性濾波器的轉(zhuǎn)換公式第二種方法實(shí)際上是把第一種方法中的兩步合成一步來實(shí)現(xiàn)，即把模擬低通原型變換到模擬低通、高通、帶通、帶阻等濾波器的公式與用雙線性變換得到相應(yīng)數(shù)字濾波器的公式合并，就可直接從模擬低通原型通過一定的頻率變換關(guān)系，一步完成各種類型數(shù)字濾波器的設(shè)計，因而簡捷便利，得到普遍采用。此外，對于高通、帶阻濾波器，由于沖激響應(yīng)不變法不能直接采用，或者只能在加了保護(hù)濾波器以后使用，因此，沖激響應(yīng)不變法使用直接頻率變換要有許多特殊考慮，故對于沖激響應(yīng)不變法來說，采用第一種方案有時更方便一些。我們在下面只考慮雙線性變換，實(shí)際使用中多數(shù)情況也正是這樣。6.6.1模擬低通濾波器變換成數(shù)字低通濾波器1、把數(shù)字低通濾波器的性能要求轉(zhuǎn)換為與之相應(yīng)的作為“樣本”的模擬濾波器的性能要求，根據(jù)此性能要求設(shè)計模擬濾波器； 2、通過沖激響應(yīng)不變法或雙線性變換法，將此“樣本”模擬低通濾波器數(shù)字化為所需的數(shù)字濾波器H(z)。

例6-6用沖激響應(yīng)不變法設(shè)計一個三階巴特沃思數(shù)字低通濾波器，采樣頻率為fs=4kHz（即采樣周期為T=250μs），其3dB截止頻率為fc=1kHz。

解查表可得歸一化三階模擬巴特沃思低通濾波器的傳遞函數(shù)然后,以s/Ωc代替其歸一化頻率，則可得三階模擬巴特沃思低通濾波器的傳遞函數(shù)為式中，Ωc=2πfc。上式也可由巴特沃思濾波器的幅度平方函數(shù)求得。為了進(jìn)行沖激響應(yīng)不變法變換，將上式進(jìn)行因式分解并表示成如下的部分分式形式：將此部分分式系數(shù)代入(6-40)式就得到式中，ωc=ΩcT=2πfcT=0.6π是數(shù)字濾波器數(shù)字頻域的截止頻率。將上式兩項(xiàng)共軛復(fù)根合并，得從這個結(jié)果我們看到，H(z)只與數(shù)字頻域參數(shù)ωc有關(guān)，也即只與臨界頻率fc與采樣頻率fs的相對值有關(guān)，而與它們的絕對大小無關(guān)。例如fs=4kHz，fc=1kHz與fs=40kHz，fc=10kHz的數(shù)字濾波器將具有同一個系統(tǒng)函數(shù)。這個結(jié)論適合于所有的數(shù)字濾波器設(shè)計。將ωc=ΩcT=2πfcT=0.6π代入上式，得這個形式正好適合用一個一階節(jié)及一個二階節(jié)并聯(lián)起來實(shí)現(xiàn)。沖激響應(yīng)不變法由于需要通過部分分式來實(shí)現(xiàn)變換，因而對采用并聯(lián)型的運(yùn)算結(jié)構(gòu)來說是比較方便的。圖6-18給出了沖激響應(yīng)不變法得到的三階巴特沃思數(shù)字低通濾波器的頻響幅度特性，同時給出例6-6雙線性變換法設(shè)計的結(jié)果。由圖可看出，沖激響應(yīng)不變法存在微小的混淆現(xiàn)象，因而選擇性將受到一定損失，并且沒有傳輸零點(diǎn)。圖6-18三階巴特沃思數(shù)字低通濾波器的頻響6.6.2模擬低通濾波器變換成數(shù)字高通濾波器由表6-3可知，由低通模擬原型到模擬高通的變換關(guān)系為（6-62）式中，Ωc為模擬低通濾波器的截止頻率，Ωc′為實(shí)際高通濾波器的截止頻率。根據(jù)雙線性變換原理，模擬高通與數(shù)字高通之間的S平面與Z平面的關(guān)系仍為（6-63）把變換式（6-62）和變換式（6-63）結(jié)合起來，可得到直接從模擬低通原型變換成數(shù)字高通濾波器的表達(dá)式，也就是直接聯(lián)系s與z之間的變換公式（6-64）式中， 。由此得到數(shù)字高通系統(tǒng)函數(shù)為式中，Ha(s)為模擬低通濾波器傳遞函數(shù)?？梢钥闯觯瑪?shù)字高通濾波器和模擬低通濾波器的極點(diǎn)數(shù)目（或階次）是相同的。根據(jù)雙線性變換，模擬高通頻率與數(shù)字高通頻率之間的關(guān)系仍為則又因故（6-66）下面討論模擬低通濾波器與數(shù)字高通濾波器頻率之間的關(guān)系。令s=jΩ，z=ejω，代入式（6-64），可得或（6-66）其變換關(guān)系曲線如圖6-19所示。由圖可看出，Ω=0映射到ω=π,即z=-1上;Ω=∞映射到ω=0,即z=1上。通過這樣的頻率變換后就可以直接將模擬低通變換為數(shù)字高通，如圖6-20所示。圖6-19從模擬低通變換到數(shù)字高通時頻率間關(guān)系的曲線還應(yīng)當(dāng)明確一點(diǎn)，所謂高通數(shù)字濾波器，并不是ω高到∞都通過，由于數(shù)字域存在折疊頻率ω=π，對于實(shí)數(shù)響應(yīng)的數(shù)字濾波器，ω由π到2π的部分只是ω由π到0的鏡像部分。因此，有效數(shù)字域僅只是從ω=0到ω=π，高通也僅指這一端的高端，即到ω=π為止的部分。圖6-20模擬低通變換到數(shù)字高通

例6-7設(shè)計一個巴特沃思高通數(shù)字濾波器，其通帶截止頻率（-3dB點(diǎn)處）為fc=3kHz，阻帶上限截止頻率fst=2kHz，通帶衰減不大于3dB，阻帶衰減不小于14dB，采樣頻率fs=10kHz。

解（1）求對應(yīng)的各數(shù)字域頻率:（2）求常數(shù)C。采用歸一化（Ωc=1）原型低通濾波器作為變換的低通原型，則低通到高通的變換中所需的C為（見表6-4）（3）求低通原型Ωst。設(shè)Ωst為滿足數(shù)字高通濾波器的歸一化原型模擬低通濾波器的阻帶上限截止頻率，可按Ω=C·cot(ω/2)的預(yù)畸變換關(guān)系來求，得（4）求階次N。按阻帶衰減求原型歸一化模擬低通濾波器的階次N，由巴特沃思低通濾波器頻率響應(yīng)的公式|Ha(jΩst)|取對數(shù)，即式中Ωc=1。解得取N=3。（5）求歸一化巴特沃思低通原型的Ha(s)。取N=3，查表6-2可得Ha(s)為（6）求數(shù)字高通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)，有將C代入，可求得6.6.3模擬低通濾波器變換成數(shù)字帶通濾波器由表6-3可知，由低通模擬原型到模擬高通的變換關(guān)系為（6-67）式中，Ωc為模擬低通濾波器的截止頻率，Ωh、Ωl分別為實(shí)際帶通濾波器的通帶上、下截止頻率。根據(jù)雙線性變換，模擬帶通與數(shù)字帶通之間的S平面與Z平面的關(guān)系仍為（6-68）把變換式（6-67）和變換式（6-68）結(jié)合起來，可得到直接從模擬低通原型變換成數(shù)字帶通濾波器的表達(dá)式，也就是直接聯(lián)系s與z之間的變換公式經(jīng)推導(dǎo)后得式中（6-60）（6-61）根據(jù)雙線性變換，模擬帶通頻率與數(shù)字帶通頻率之間的關(guān)系仍為（6-62）定義:式中，Ω0為帶通濾波器通帶的中心頻率，B為帶通濾波器的通帶寬度。設(shè)數(shù)字帶通的中心頻率為ω0，數(shù)字帶通濾波器的上、下邊帶的截止頻率分別為ω2和ω1，則將式（6-62）代入式（6-63）、式（6-64），可得:（6-66）（6-66）考慮到模擬帶通到數(shù)字帶通是通帶中心頻率相對應(yīng)的映射關(guān)系，則有（6-67）將式（6-66）、式（6-66）和式6-67）代入式（6-60）及式（6-61），并應(yīng)用一些標(biāo)準(zhǔn)三角恒等式可得:（6-68）（6-69）所以，在設(shè)計時，要給定中心頻率和帶寬或者是中心頻率和邊帶頻率，利用式（6-68）和式（6-69）來確定D和E兩常數(shù)；然后，利用式（6-69