量子力學：04- 一維問題

1量子力學第四講一維無限深方勢阱中的粒子態(tài)疊加原理方勢壘的反射與透射一維諧振子2第四講目錄一、能量本征方程回顧二、一維無限深方勢阱中的能量本征態(tài)三、態(tài)疊加原理四、方勢壘的反射與透射五、一維諧振子六、再論態(tài)疊加原理3一、能量本征方程回顧(1)薛定諤方程:若不顯含，則有其中，滿足的方程為：能量本征方程，稱為能量本征函數(shù)，稱為能量本征值定態(tài)4一、能量本征方程回顧(2)是我們后面討論大多數(shù)問題的理論基礎。通常將略去中的下標，這樣能量本征方程為5二、一維無限深方勢阱中的能量本征態(tài)(1)1、一維無限深方勢阱的勢函數(shù)：在區(qū)域內(nèi)，能量本征方程寫為：在區(qū)域內(nèi)，勢能為，因此不可能在這些區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)，換句話說，粒子在這些區(qū)域內(nèi)出現(xiàn)的概率為零，即，根據(jù)波函數(shù)三個標準條件中的連續(xù)性，有：邊界條件和6二、一維無限深方勢阱中的能量本征態(tài)(2)將邊界條件帶入通解得到：以及因此能量本征函數(shù)為：由和得到：這說明：一維無限深方勢阱中的粒子的能量是量子化的。

稱為體系的能量本征值，與對應的波函數(shù)稱為能量本征函數(shù)。

7二、一維無限深方勢阱中的能量本征態(tài)(3)波函數(shù)的歸一化根據(jù)波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋,要求波函數(shù)必須歸一化，即：歸一化波函數(shù)為：8二、一維無限深方勢阱中的能量本征態(tài)(4)結(jié)果物理意義的討論：1、最低能量(思考：為什么

不能為零？)

對于經(jīng)典粒子，可以有2、坐標不確定度：根據(jù)不確定度關系即：一維無限深方勢阱中的粒子動量也是不能完全確定的。9二、一維無限深方勢阱中的能量本征態(tài)(5)3、波函數(shù)的節(jié)點，即波函數(shù)為零的點。在內(nèi)，有個節(jié)點，在這些節(jié)點上說明粒子在這些節(jié)點上出現(xiàn)的概率為零。對于經(jīng)典粒子來說，它在內(nèi)任何一點都有可能出現(xiàn)。思考：若，會出現(xiàn)什么情況？10二、一維無限深方勢阱中的能量本征態(tài)(6)4、束縛態(tài)對一維無限深方勢阱：即:這說明粒子被束縛在勢阱內(nèi)部。通常把在無限遠處為零的波函數(shù)所描寫的狀態(tài)稱為束縛態(tài)。一般來說，束縛態(tài)所屬的能級是分立的，例11二、一維無限深方勢阱中的能量本征態(tài)(7)一個問題對一維無限深方勢阱：根據(jù)量子力學假設之一：波函數(shù)完全描述粒子的狀態(tài)。但是在阱內(nèi)有無窮多個波函數(shù)，那么粒子究竟處在哪個狀態(tài)呢？態(tài)疊加原理12三、態(tài)疊加原理(1)一維無限深勢阱中，粒子在中可能的態(tài)和能量為態(tài)疊加原理一般情況下，粒子并不只是完全確定的處于其中的某一狀態(tài)，而是以某種概率處于其中的某一狀態(tài)。換句話說，粒子的狀態(tài)是所有這些分立狀態(tài)的疊加，即13三、態(tài)疊加原理(2)一維無限深勢阱中，粒子的狀態(tài)為表示在中發(fā)現(xiàn)粒子處于態(tài)，具有能量的概率。

經(jīng)典物理：粒子只能處于某一確定的態(tài)，但在量子力學中，粒子是以一定概率處于某個可能的態(tài)，概率為展開式系數(shù)的模方。為波函數(shù)統(tǒng)計詮釋的自然結(jié)論。14

五、動量分布概率（1）設，則表示粒子出現(xiàn)在點附件的概率。設為粒子的動量，那么粒子具有動量的概率如何表示？平面波的波函數(shù)為任意粒子的波函數(shù)可以按此平面波做傅立葉展開15

五、動量分布概率（2）其中，可見，代表中含有平面波的成分，因此，應該代表粒子具有動量的概率。態(tài)疊加原理：量子態(tài)可按任意一組正交、歸一、完備態(tài)分解16三、態(tài)疊加原理(3)4、將體系的狀態(tài)波函數(shù)用算符的本征函數(shù)展開，其中：則在體系態(tài)中測量力學量得到結(jié)果為的概率為，得到結(jié)果范圍內(nèi)的概率是。量子力學基本假設之四廣義的結(jié)論：任何一個量子態(tài)都可按任意一組正交、歸一、完備態(tài)分解。17四、方勢壘的反射與透射(1)經(jīng)典粒子量子粒子越過勢壘絕對不可能越過勢壘，換句話說：越過勢壘的概率為零！求解能量本征方程：18三、方勢壘的反射與透射(2)其解為粒子流密度反射系數(shù)

，透射系數(shù)19三、方勢壘的反射與透射(3)解20三、方勢壘的反射與透射(4)解代數(shù)方程，得到勢壘貫穿隧穿效應入射波反射波透射波21三、方勢壘的反射與透射(5)電子的勢壘貫穿12510當勢壘寬度為原子限度時，透射相當可觀22隧道二極管隧道效應是1958年日本江崎玲於奈在研究重摻雜鍺PN結(jié)時發(fā)現(xiàn)的。這一發(fā)現(xiàn)揭示了固體中電子隧道效應的物理原理，江崎為此而獲得諾貝爾獎金物理學獎。隧道二極管，是以隧道效應電流為主要電流分量的晶體二極管。23掃描隧道顯微鏡是根據(jù)量子力學中的隧道效應原理，通過探測固體表面原子中電子的隧道電流來分辨固體表面形貌的新型顯微裝置.根據(jù)量子力學原理，由于電子的隧道效應，金屬中的電子并不完全局限于金屬表面之內(nèi)，電子云密度并不是在表面邊界處突變?yōu)榱?。在金屬表面以外，電子云密度呈指?shù)衰減，衰減長度約為1nm。用一個極細的、只有原子線度的金屬針尖作為探針，將它與被研究物質(zhì)(稱為樣品)的表面作為兩個電極，當樣品表面與針尖非?？拷?距離＜1nm)時，兩者的電子云略有重疊，如圖1所示。若在兩極間加上電壓U，在電場作用下，電子就會穿過兩個電極之間的勢壘，通過電子云的狹窄通道流動，從一極流向另一極，形成隧道電流I。隧道電流

I的大小與針尖和樣品間的距離s以及樣品表面平均勢壘的高度有關，掃描隧道顯微鏡24掃描隧道顯微鏡觀察和定位單個原子

25五、一維諧振子(1)

簡諧運動：體系在平衡位置附近的微小振動一維諧振子：粒子一維情況下的簡諧運動，同時粒子的勢能可以表示為例：雙原子分子中兩原子之間的勢能一維諧振子的能量本征方程26五、一維諧振子(2)漸進解：當時，有其解因為簡諧運動是體系在平衡位置附近的微小振動，所以無窮遠處波函數(shù)為零(束縛態(tài))，即：。方程(1)的解可表示為：帶入方程(1)27五、一維諧振子(3)得到關于的方程：利用常微分方程的冪級數(shù)解法，有：當時，要求，可以證明，只有當時，才有可能，此時(2)式的解為厄密多項式，即：方程(1)的解為：28五、一維諧振子(4)能量本征值：根據(jù)和有：討論：1)能級是量子化的，且均勻分布；

2)相鄰能級差相同：

3)基態(tài)能量；稱為零點能；4)諧振子吸收能量后，有可能從下能級躍遷到上能級。相反，放出能量后，有可能從上能級躍遷到下能級。29五、一維諧振子(5)能量本征態(tài)：根據(jù)歸一化條件，可得常數(shù)即：能量本征態(tài)：正交歸一化：30五、一維諧振子(6)應用：固體物理中的晶格振動。31六、再論態(tài)疊加原理（1）

態(tài)疊加原理說，任何一個量子態(tài)都可按任意一組正交、歸一、完備的態(tài)來分解，即:例:一維諧振子其中32六、再論態(tài)疊加原理（2）事實上，一維無限深方勢阱中的粒子的波函數(shù)也是正交歸一的，即：對于任意波函數(shù)，有：完備性33

討論（經(jīng)典波函數(shù)與量子波函數(shù)比較）

①

②

③若，經(jīng)典認為是一個新的振動態(tài)，即以來描述物理量在空間的波動，不能說物理量可能作波動，或者可能作波動。但對量子力學來，34說粒子可能處于態(tài)，也可能處于態(tài)。但不會處于

態(tài)

（）。因測量力學量所得的測量值是不會為的。有時在處理物理問題時，常將函數(shù)展開對經(jīng)典物理學來說，這僅是一個數(shù)學處理，如富里葉分解。而量子力學中的態(tài)疊加

。

35原理則賦于這一展開以新的物理含意：測量力學量，可能測得值僅為的值，其幾率，即系數(shù)不僅僅是展開系數(shù)，而是正比于取值的幾率振幅。

④它反映了一個非常重要的性質(zhì)。而這在經(jīng)典物理學中是很難被接受的。我們知道一個動量為的自由粒子是以一個平面波

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