高中數學人教A版第三章函數的應用函數模型及其應用（全國一等獎）

16．函數模型及其應用學習目標1．從實例出發(fā)，體驗用函數描述實際問題的價值，體會函數是描述客觀世界變化規(guī)律的基體模型．2．掌握函數建模的基本方法和步驟．3．熟悉幾種主要的函數模型：一次函數、二次函數、分段函數及較簡單的指數函數和對數函數．4．初步樹立利用函數模型研究變量取值范圍和最值的意識，初步理解生活中的優(yōu)化問題一般都應通過建立函數模型來分析與研究這種數學思考方式．一、夯實基礎基礎梳理1．三種函數模型的性質在圖象的變化隨的增大逐漸與軸平行隨的增大逐漸與軸平行隨值不同而不同2．三種函數增長速度（1）在區(qū)間上，函數，和都是__________．但__________不同，且不在同一個“檔次”上．（2）隨著的增大，的增長速度越來越快，會超過并遠遠大于的增長速度，而的增長速度__________．（3）存在一個，當時，有__________．3．常見函數數模型名稱解析式條件一次函數模型反比例函數模型二次函數模型頂點式：指數函數模型且對數函數模型且冪函數模型4．題型分析（1）圖象信息遷移問題； （2）指數函數、對數函數與冪函數模型的比較（3）利用已知函數模型解決問題 （4）自建函數模型應用題基礎達標 1．一個水池每小時注入水量是全池的，水池還沒有注水部分與總量的比隨時間（小量）變化的關系式為__________．2．如圖，用長度為24的材料圍一個矩形場地，中間且有兩道隔墻，要使矩形的面積最大，則隔墻的長度為（）．A．3 B．4 C．6 D．12米的長方體無蓋水池，如池底和池壁的造價分別為和80元/米，則總造價與一底連長的函數關系式為（）．A． B．C． D．4．似定從甲地到乙地通話分鐘的電話費由（其中，是大于或等于的最小整數），則從甲地到乙地通話時間為分鐘的話費為__________．5．周長為的鐵絲彎成下部為矩形，上部為半圓形的框架（如圖），若矩形底邊長為，此框架圍成的面積為，則關于的函數關系式是_____________________________二、學習指引自主探究1．不同函數模型能夠刻畫現實世界不同的變化規(guī)律，如一次函數、指數函數、對數函數就是常用的描述現實世界中不同增長規(guī)律的函數模型，那么建立函數模型的含義是什么呢？2．如圖所示，在矩形中，已知，（1）每天幾點時蓄水池中的存水量最少？（2）若池中存水量不多于80噸時，就會出現供水緊張現象，則每天會有幾個小時出現這種現象？【解析】（1）設點時（即從零點起小時后）池中的存水量為噸，則，當時，即，取得最小值40．即每天6點時蓄水池中的存水量最少．（2）由，解得，即，時，池中存水量將不多于80噸，由知，每天將有8個小時出現供水緊張現象．答：（1）每天6點時蓄水池中的存水量最少；（2）每天將有8個小時出現供水緊張現象．4．某醫(yī)藥研究所開發(fā)了一種新藥，據監(jiān)測，如果成人按規(guī)定的劑量服用該藥，服藥后每毫升血液中的含藥量與服藥后的時間之間近似滿足如圖所示的曲線．其中是線段，部分是函數（是常數）的圖象，此部分圖象經過、點（如圖所示）．（1）寫出服藥后每豪升血液中含藥量關于時間的函數關系式；（2）據測定：每豪升血液中含藥量不少于時治療有效，假若某病人第一次服藥為早上60：00，當藥效沒有時應立即服第二次藥，第二次服藥最遲是當天幾點鐘？（3）若按（2）中的最遲時間服用第二次藥，則第二次服藥后再過，該病人每豪升血液中含藥量為多少？【解析】（1）當時，設，代入，解得．當時將，代入，得所以服藥后每豪升血液中含藥量關于時間的函數關系式為：（2）由圖可知，只需考慮服藥1小時后，什么時候沒有藥效即可．由知道，第一次服藥5小時后沒有藥效，因此當天上午11點鐘應再次服藥．（3）11點鐘再次服藥后三小時，體內的藥物量由兩部分組成，一是第一次服藥形成的藥物剩余量，二是第二次服藥形成的藥物剩余量，其中，，就是說第二次服藥后再過，該病人每豪升血液中含藥量為．5．某平原鎮(zhèn)有、、、四間工廠坐落在邊長為的正方形頂點上，為了交通暢順，繁榮經濟，鎮(zhèn)政府決定修建一個如圖所示的使得任何兩間工廠都有通道的道路網（為正方形中心，）．（1）是否存在一個道路網，滿足題設要求且使它的總長不超過；（2）當為多少時，道路網的總長度最短．【解析】設道路網的總長為，則，（*）（1）依題要求有，即，解得，由此可知，當公共道路長，有無數種方案滿足要求．（2）為了求函數的最小值．把（*）化為的方程．上述關于方程有解，解得，把代入（*），解得．故當公共道路長為時，道路網總長最短，為．三、能力提升能力闖關1．某大樓共有20層，有19人在第一層上了電梯，他們分別要去第二至第二十層，每層1人，而電梯只允計停一次，只可使1人滿意，其余18人都要步行上樓或下樓，假定乘客每向下走1層的不滿意度為1，每向上走1層的不滿意度為2，所有人的不滿意度為，為使最小，電梯應當停在__________層．2．某公司制定年度獎勵條例，對在工作中取得優(yōu)異成績的營銷經理實行獎勵，其中有一個獎勵項目是針對產品營銷成績的高低對營銷經理進行獎勵的．獎勵公式為：，（其中是營銷經理一年的月平均營銷成績與該公司所有營銷經理一年的月平均營銷成績之差，的單位為元），而現有甲、乙兩們營銷經理，甲營銷經理一年的月平均營銷成績比該公司所有營銷經理一年的月平均營銷成績高出18個單位，乙營銷經理一年的月平均營銷成績比刻公司所有營銷經理一年的月平均營銷成績高出21個單位，則乙所得獎勵比甲所得獎勵多（）．A．6000元 B．9000元 C．16000元 D．17000元3．某租賃公司傭有汽車100輛．當每輛四的月租金為3000元時，可全部租出．當每輛四的月租金增加50元時，未租出的車將會增加一輛．租出的車每輛每月需要維護費150元，未租出的車每輛每月需要維護費50元．（1）當每輛車的月租金定為3600元時，能租出多少輛車？（2）當每輛四的月租金定為多少元時，該租賃公司，的月收益最大？最大月收益是多少？拓展遷移1．興修水利開渠，其橫斷面為等腰梯形，如圖，腰與水平線夾角為，要求浸水周長（即斷面與水接觸的邊界長）為定值，當渠深__________時，可使水渠流水量最大．2．某工廠有一段舊墻長14米，現準備利用這段舊墻為一面建造平面圖形為矩形，面積為的廠房，工程條件是：①建1米新墻的費用為元；②修1米舊墻的費用為元；③拆去1米的舊墻，用可得的建材建1米的新建的費用為元，經討論有兩種方案：方案一：利用舊墻一段米為矩形一邊；方案二：矩形廠房利用舊墻的一面邊長，問如何利用舊墻建墻費用最??？試比較兩種方案哪個更好．挑戰(zhàn)極限1．地產汽油，地需要汽油，如果用汽車直接從地往地運油，往返所需油耗恰好等于其滿載汽油的噸數，所以無法直接從地將汽油運到地，今在其途中地設一個中轉汽油庫，先由往返于，之間的汽車將汽油運到地，然后再由往返于，之間的汽車將汽油運到地．（1）設，怎樣組織運輸才能以最經濟的方法將地的汽油運往地（即地收到的汽油最多），此時運油率等于多少？（2）等于多少時，運油率取得最大值？此時又將怎樣組織運輸？課程小結1．解決函數應用問題應用問題應著重注意以下幾點：（1）閱讀理解、整理數據：通過分析、畫圖、列表、歸類等方法，快速弄清數據之間的關系，數據的單位等等．理解題意的過程包括對題意的整體理解和局部理解，以及分析關系、領悟實質．“整體理解”就是弄清題目所述的事件和研究對象；“局部理解”是指抓住題目中的關鍵字句，正確把握其含義；“分析關系”就是根據題意，弄清題中各有關量的數量關系；“領悟實質”是指抓住題目中的主要部題、正確的識別其類型．（2）建立函數模型：關鍵是正確選反自變量將問題的目瞟表示為這個變量的函數，建立函數模型的過程主要是抓住某些量之間的相等關系列出函數式，不要忘記考察函數的定義域．（3）求解函數模型：主要是計算函數的特殊值，研究函數的單調性，求函數的值域、最大（小）值等，注意發(fā)揮函數圖象的作用.（4）還原評價：應用問題不是單純的數學問題，既要符合數學學科又要符合實際背景，對于解出的結果要代入原問題進行檢驗、評判最后作出的結論，并作出回答.2．數學建模中的分析方法有：（1）關系分析法，即通過尋找關鍵詞和關鍵量之間的數量關系的方法來建立問題的數學模型的方法.（2）列表分析法，即通過列表的方式探索問題的數學模型的方法.（3）圖像分析法，即通過對圖像中的數量關系時行分析來建立問題數學模型的方法.《導學手冊》問題記錄表大家在儾使用時如有發(fā)現有問題，請寫在下面，交數學組，謝謝！頁碼章節(jié)部分問題描述示例：P41挑戰(zhàn)極限11題原題中應為“”

16．函數模型及其應用基礎梳理1．增函數，增函數，增函數．2．增函數，增長速度，越來越慢，．基礎達標1．，且．2．．【解析】設隔墻長為，則矩形場地長寬分別為，矩形的面積，，顯然當隔墻長時，矩形的面積最大．3．．4．．．5．．【解析】半圓弧長為，矩形寬為，于是框架圍成的面積為，要使問題有意義，應有．自主探究1．【解析】分別用變量表示有因果關系的兩個量，如果我們能將變量表示為的函數，則稱此函數為問題的一個函數模型．我們生活中的絕大多數變化現象，很難根據已知理論直接建立函數模型，一般是通過采集變化過程中的變量的數據，描出相應的散點圖建立大致反映變化規(guī)律的函數模型．2．【解析】（1）容易證明四邊形是平行四邊形，我們有三種方法求四邊形的面積，其一，直接求面積，用底底上的高求；其二，用；其三，間接求面積，用矩形面積減去四個角上的直角三角形的面積，對于本題，用方法三解，最佳．設四邊形面積為，則，∴．（2）的取值要保證圖形中的線段長滿足下列關系，所以應有，故所求函數的定義域為．（3），∴，若，即時，則當時，有最大值；若，即時，在上是增函數，此時當時，有最大值為，綜上可知，當時，時，四邊形面積，當時，時，四邊形面積．3．【解析】建立函數模型解決實際問題，一般有下列幾個重要步驟：第一步：設置因果變量；第二步：利用已知條件，建立關于的函數解析式；第三步：研究函數的定義域；第四步：利用函數研究目標，如果函數解析式中有字母系數，則需通過分類討論研究目標；第五步：回答問題．4．【解析】（1）由于銷售量和各種支出均以月為單位計量，所以，先考慮月利潤，設該店的月利潤為元，有職工名．則．又由圖可知：（2）將代入有：由已知，當時，，即，解得．即此時該店有名職工．（3）若該店只安排名職工，則月利潤當時，求得時，取最大值元．當時，求得時，取最大值元．綜上，當時，月利潤有最大值元．需要還清的總債務是：萬元+20萬元=（元），設該店最早可在年后還清債務，依題意，有，解得．所以，該店最早可在年后還清債務，此時消費品的單價定為元．想一想1．如圖所示，的增長速度遠遠快于的增長速度．2．生活實際問題中，自變量考慮生活實際意義，不能只注重函數解析式自身的限制要求．能力闖關1．14．【解析】設電梯停在層的不滿意度為，則，將再定成：，兩式相加得：，∴．此二次函數開口向上，是最靠近對稱軸的整數，故時，最?。?．．【解析】甲所得獎勵為（元），乙所得獎勵為（元），所以乙所得獎勵比甲所得獎勵多（元）．3．【解析】（1）當每輛車的月租金定為元時，未租出的車輛數為，所以這時租出了輛車．（2）設每輛車的月租金定為元，則租憑公司的月收益為，整理，得，所以，當時，最大，其最大值為，即當每輛車的月租金定為元時，租憑公司的月收益最大，最大月收益為元．答：（1）當每輛車的月租金定為元時，能租出輛車；（2）當每輛車的月租金定為元時，租憑公司的月收益最大，最大月收益為元．拓展遷移1．．【解析】設渠底長為，則腰長，∴，橫斷面面積，要使問題有意義，應有，顯然當，時，橫斷面面積最大，從而水渠流水量也最大．2．【解析】如果選擇方案一：修舊墻費用為元，拆舊墻造新墻費用為，其余新墻費用：，∴總費用，∴，當時，，如果選擇方案二：利用舊墻費用為（元），建新墻費用為（元）