高中數(shù)學蘇教版第二章平面向量向量的概念及表示

第2章平面向量§向量的概念及表示課時目標1．掌握向量的有關(guān)概念及向量的幾何表示.2.掌握平行向量與相等向量的概念．1．向量的概念(1)向量：既有大小又有________的量叫做向量，如速度、位移、力等．(2)數(shù)量：只有大小，沒有方向的量稱為數(shù)量，如面積、體積、質(zhì)量等．注意數(shù)量可以比較大小，而向量無法比較大小．2．向量的幾何表示(1)有向線段：帶有方向的線段叫做有向線段，其方向是由起點指向終點，以A為起點、B為終點的有向線段記作________．有向線段包含三個要素：起點、方向、長度．知道了有向線段的起點、方向、長度，它的終點就惟一確定．(2)向量的有關(guān)概念：向量eq\o(AB,\s\up6(→))的________稱為向量eq\o(AB,\s\up6(→))的長度(或稱為模)，記作|eq\o(AB,\s\up6(→))|.長度為________的向量叫做零向量，記作0.長度等于________個單位長度的向量，叫做單位向量．3．平行向量：方向________或________的非零向量叫做平行向量．向量a與b平行，通常記為a∥b.規(guī)定零向量與任何向量都________，即對于任意向量a，都有0∥a.4．相等向量與共線向量(1)相等向量：________相等且方向相同的向量叫做相等向量．向量a與b相等，通常記為a＝b.任意兩個相等的非零向量，都可用同一條有向線段來表示，并且與有向線段的起點無關(guān)．在平面上，兩個長度相等且指向一致的有向線段表示同一個向量．(2)共線向量：任意一組平行向量都可以移動到同一________上，因此，平行向量也叫共線向量．5．相反向量我們把與向量a長度相等，方向相反的向量叫做a的________________，記作________，a與－a互為________________，并且規(guī)定零向量的相反向量仍是____________．于是，對任一向量a有____________．一、填空題1．下列命題中正確的個數(shù)為______．①向量a與向量b平行，則a、b方向相同或相反；②若向量eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(CD,\s\up6(→))滿足|eq\o(AB,\s\up6(→))|>|eq\o(CD,\s\up6(→))|，且eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))同向，則eq\o(AB,\s\up6(→))>eq\o(CD,\s\up6(→))；③若|a|＝|b|，則a，b的長度相等且方向相同或相反；④由于0方向不確定，故0不能與任何向量平行；⑤若向量a與向量b方向相反，則a與b是相反向量．2．下列結(jié)論中，正確的是________．(填序號)①向量eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))共線與向量eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))同義；②若向量eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))，則向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(DC,\s\up6(→))共線；③若向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，則向量eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))；④只要向量a，b滿足|a|＝|b|，就有a＝b.3．在四邊形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|，則四邊形的形狀為________．4．下列說法正確的有________．(填序號)①方向相同的向量叫相等向量；②零向量的長度為0；③共線向量是在同一條直線上的向量；④零向量是沒有方向的向量；⑤共線向量不一定相等；⑥平行向量方向相同．5．下列四個命題①若|a|＝0，則a＝0；②若|a|＝|b|，則a＝b，或a＝－b；③若a∥b，則|a|＝|b|；④若a＝0，則－a＝0.其中正確命題的個數(shù)是________．6．給出以下5個條件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a與b的方向相反；④|a|＝0或|b|＝0；⑤a與b都是單位向量．其中能使a∥b成立的是________．(填寫序號)7．下列命題正確的是________．(填寫正確命題的序號)①向量的模一定是正數(shù)；②起點不同，但方向相同且模相等的幾個向量是相等向量；③向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→))是共線向量，則A、B、C、D四點必在同一直線上．8．下列命題正確的是________．(填寫正確命題的序號)①a與b共線，b與c共線，則a與c也共線；②任意兩個相等的非零向量的始點與終點是一平行四邊形的四個頂點；③向量a與b不共線，則a與b都是非零向量；④有相同起點的兩個非零向量不平行．9．下列各種情況中，向量的終點在平面內(nèi)各構(gòu)成什么圖形．①把所有單位向量移到同一起點；②把平行于某一直線的所有單位向量移到同一起點；③把平行于某一直線的一切向量移到同一起點．①__________；②____________；③____________.10．如圖所示，E、F分別為△ABC邊AB、AC的中點，則與向量eq\o(EF,\s\up6(→))共線的向量有________________(將圖中符合條件的向量全寫出來)．二、解答題11.在如圖的方格紙上，已知向量a，每個小正方形的邊長為1.(1)試以B為終點畫一個向量b，使b＝a；(2)在圖中畫一個以A為起點的向量c，使|c|＝eq\r(5)，并說出向量c的終點的軌跡是什么？12.如圖所示，△ABC的三邊均不相等，E、F、D分別是AC、AB、BC的中點．(1)寫出與eq\o(EF,\s\up6(→))共線的向量；(2)寫出與eq\o(EF,\s\up6(→))的模大小相等的向量；(3)寫出與eq\o(EF,\s\up6(→))相等的向量．能力提升13.如圖，已知eq\o(AA′,\s\up6(→))＝eq\o(BB′,\s\up6(→))＝eq\o(CC′,\s\up6(→)).求證：(1)△ABC≌△A′B′C′；(2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(A′B′,\s\up6(→))，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(A′C′,\s\up6(→)).14.如圖所示，O是正六邊形ABCDEF的中心，且eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c.(1)與a的模相等的向量有多少個？(2)與a的長度相等，方向相反的向量有哪些？(3)與a共線的向量有哪些？(4)請一一列出與a，b，c相等的向量．1．向量是既有大小又有方向的量，解決向量問題時一定要從大小和方向兩個方面去考慮．2．向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大?。鏰>b沒有意義，而|a|>|b|有意義．3．共線向量與平行向量是同一概念，規(guī)定：零向量與任一向量都平行．第2章平面向量§向量的概念及表示知識梳理1．(1)方向2．(1)eq\o(AB,\s\up6(→))(2)大小013．相同相反平行4．(1)長度(2)直線5．相反向量－a相反向量零向量－(－a)＝a作業(yè)設(shè)計1．02．①②③解析根據(jù)平行向量(或共線向量)定義知①②均正確；根據(jù)向量相等的概念知③正確；④不正確．3．菱形解析∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，∴AB綊DC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，又∵|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|，∴四邊形ABCD是菱形．4．②⑤解析②與⑤正確，其余都是錯誤的．5．2解析②③錯，①④正確．6．①③④解析相等向量一定是共線向量，①能使a∥b；方向相同或相反的向量一定是共線向量，③能使a∥b；零向量與任一向量平行，④成立．7．②解析①錯誤.0的模|0|＝0.②正確．對于一個向量只要不改變其大小和方向，是可以任意移動的．③錯誤．共線向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求兩個向量eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(CD,\s\up6(→))必須在同一直線上．8．③解析若b＝0，則a與c不共線，①不正確；兩個相等的非零向量的始點和終點可能共線，②不正確；若a，b中有一個是零向量，則a與b一定共線，③正確；有相同起點的兩個非零向量，若方向相同或相反，則兩個向量平行，④不正確．9．單位圓相距為2的兩個點一條直線\o(FE,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))解析∵E、F分別為△ABC對應(yīng)邊的中點，∴EF∥BC，∴符合條件的向量為eq\o(FE,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→)).11．解(1)根據(jù)相等向量的定義，所作向量與向量a平行，且長度相等(如圖)．(2)由平面幾何知識可知所有這樣的向量c的終點的軌跡是以A為圓心，半徑為eq\r(5)的圓(如圖)．12．解(1)因為E、F分別是AC、AB的中點，所以EF綊eq\f(1,2)BC.又因為D是BC的中點，所以與eq\o(EF,\s\up6(→))共線的向量有：eq\o(FE,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→)).(2)與eq\o(EF,\s\up6(→))模相等的向量有：eq\o(FE,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(DC,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→)).(3)與eq\o(EF,\s\up6(→))相等的向量有：eq\o(DB,\s\up6(→))與eq\o(CD,\s\up6(→)).13．證明(1)∵eq\o(AA′,\s\up6(→))＝eq\o(BB′,\s\up6(→))，∴|eq\o(AA′,\s\up6(→))|＝|eq\o(BB′,\s\up6(→))|，且eq\o(AA′,\s\up6(→))∥eq\o(BB′,\s\up6(→)).又∵A不在eq\o(BB′,\s\up6(→))上，∴AA′∥BB′.∴四邊形AA′B′B是平行四邊形．∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(A′B′,\s\up6(→))|.同理|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(A′C′,\s\up6(→))|，|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝|eq\o(B′C′,\s\up6(→))|.∴△ABC≌△A′B′C′.(2)∵四邊形AA′B′B是平行四邊形，∴eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(A′B′,\s\up6(→))，且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(A′B′,\s\up6(→))|.∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(A′B′,\s\up6(→)).同理可證eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(A′C′,\s\up6(→)).14．解(1)與a的模相等的向量有23個．(2)與a的長度相等且方向相反的向量有eq\o(OD,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(AO,\s\up6(→))，eq\o(FE,\s\up6(→)).(3)與a共線的向量有eq\o(EF,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(OD,\s\up6(→))，eq\o(FE,\s\up6(→))，eq\o(CB,\s\up6(→))，eq\o(DO,\s\up6(→)