【教案】同角三角函數(shù)的基本關(guān)系教學設計（第3課時）必修第一冊

5.2.2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系教學設計（第3課時）（一）教學內(nèi)容同角三角函數(shù)的基本關(guān)系：平方關(guān)系、商數(shù)關(guān)系（二）教學目標1.通過探究及推導同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，在公式的形成過程中理解同角三角函數(shù)關(guān)系及其聯(lián)系，發(fā)展學生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學運算等素養(yǎng)；2.能夠熟練運用公式解決“由一個三角函數(shù)值求其他三角函數(shù)值的求值問題(知一求二)”，能靈活運用公式證明簡單的三角恒等式，并掌握公式的簡單變換；3.經(jīng)歷同角三角函數(shù)的基本關(guān)系公式的探索，體驗發(fā)現(xiàn)原理和應用原理的過程，積累數(shù)學學習的基本活動經(jīng)驗，在一系列問題解決中感悟數(shù)形結(jié)合、分類討論、方程思想、化歸轉(zhuǎn)化等基本數(shù)學思想方法。（三）教學重點、難點教學重點：引導學生自主探索、發(fā)現(xiàn)、證明同角三角函數(shù)的基本關(guān)系公式，準確、熟練、靈活應用兩個公式解決相關(guān)的求值問題和證明簡單的三角恒等式。教學難點：“知一求二”的求值問題時的分類討論，進行求值和證明中公式的靈活變換。（四）教學過程問題1：已知α=120度，它是第幾象限角？你能求出sinα,cosα,tanα的值嗎？說說你是怎么求的？師生活動：教師給出問題，提醒學生回顧任意角的三角函數(shù)的定義及其在各象限的符號；學生回憶已學的概念進行討論交流，學生代表展示結(jié)果。學生辨析結(jié)果，教師引導學生總結(jié)要點：只要給出了一個角，就可以求出它的所有三角函數(shù)值。追問1：那如果只給出了一個角的某一個三角函數(shù)值，你還能求出它的其他三角函數(shù)嗎？追問2：已知，那的值是多少呢？你是怎么求出的？追問3：對于任意角α，sinα,cosα,tanα之間有什么樣的關(guān)系呢？本節(jié)課就來研究這樣的問題。設計意圖：《高中數(shù)學課程標準》指出：“高中數(shù)學課程應提高學生的思維能力”。教育心理學相關(guān)研究也表明，思維的動力源自學生認知結(jié)構(gòu)與學習內(nèi)容之間的不協(xié)調(diào)，學生思維的活躍度取決于他們解決問題的知識基礎(chǔ)和心理需要。問題是數(shù)學課堂教學的核心。要有效地提高學生的思維能力，在教學設計時就必須根據(jù)學生已有的學習基礎(chǔ)、學習情況等認知起點，認真研究學生數(shù)學認知水平的差異，站在學生的立場去思考，從學生已有的思維出發(fā)提出問題。上節(jié)課學習的三角函數(shù)的概念及其在各象限的符號情況，是本節(jié)課學習公式的起點和基礎(chǔ)。通過問題串復習舊知，讓學生回憶三角函數(shù)的定義及其所在象限符號，并在此基礎(chǔ)上進行同角三角函數(shù)關(guān)系的探索。從數(shù)學知識之間的聯(lián)系提出問題串，構(gòu)建起邏輯連貫的學習過程，既明確了本節(jié)課的學習目標，還能引導學生解決新問題的興趣和欲望，將對學生的數(shù)學核心素養(yǎng)培養(yǎng)落實在課堂。問題2：既然sinα,cosα,tanα都是通過圓上同一點的坐標來定義的，那么你能從圓的幾何性質(zhì)出發(fā)來尋找它們間的關(guān)系嗎？師生活動：(1)教師引導學生回顧圓的幾何性質(zhì)，將圓上點的坐標與三角函數(shù)聯(lián)系起來；(2)學生在教師的引導下，交流討論，展示結(jié)果；(3)師生辨析結(jié)果，得出公式。追問1：結(jié)合定義，從圓的幾何性質(zhì)出發(fā)，如何探究sinα,cosα,tanα之間的關(guān)系呢？追問2：你還能想到其他方法證明嗎？設計意圖：通過圓的幾何性質(zhì)，結(jié)合坐標與三角函數(shù)，找到直角三角形，即可得到平方關(guān)系；或者根據(jù)圓的定義，結(jié)合距離公式，得到平方關(guān)系。利用圓的定義及幾何性質(zhì)進行證明，因為單位圓在三角函數(shù)一章的學習中發(fā)揮重要的作用，包括后續(xù)誘導公式的推導，兩角差的余弦公式推導，所以課堂教學中還是要引導學生使用單位圓進行推導，理解單位圓在學習中的價值，即設角的終邊與單位圓交于點P，則點P坐標為，而單位圓的標準方程是，也可得到.問題3：（1）已知，求的值.判斷下列各式是否成立？①②③④師生活動：(1)教師展示上述問題，學生分組討論；(2)小組展示成果，其他小組評價補充；(3)教師引導學生一起總結(jié)升華。設計意圖：通過層層設問，構(gòu)造認知沖突，學生通過操作感知和小組討論，辨?zhèn)渭m錯。同角三角函數(shù)的基本關(guān)系公式中的“同角”，只需要角度相同即可，至于角的形式無關(guān)緊要，比如等，同時還要注意商數(shù)關(guān)系式和三角恒等式都是對于使它們有意義的角而言的。由特殊到一般，由具體到抽象，通過問題3，剖析公式的條件，進一步明確同角的意義，體會公式字母的可變性和關(guān)系的穩(wěn)定性，幫助學生不但從形式上弄清了“同角”的含義，而且從本質(zhì)上理角同角三角函數(shù)的基本關(guān)系。問題4：(1)已知，求的值；(2)已知，且是第三象限角，求的值；(3)已知，求的值；(4)已知，求的值.師生活動：小組合作求解，并請不同小組成員闡述求解過程、求解思路，師生一起總結(jié)方法，并比較不同方法的特點。設計意圖：通過由特殊到一般再由一般到特殊的課本例題和習題的變式訓練，加深對公式的理解和鞏固。問題4的各小題設置有梯度，循序漸進，適合學生的認知水平差異，夯實數(shù)學基礎(chǔ)知識和基本技能。在準確、熟練運用公式解決螺旋上升的問題串中體悟分類討論和方程思想等基本數(shù)學思想方法。問題5：已知，求下列式子的值：；(3)師生活動：師生一起分析題意，小組合作求解，并請不同小組成員闡述求解過程、求解思路，師生一起總結(jié)方法，并比較不同方法的特點。設計意圖：“數(shù)學是思維的體操”，因此在教學中應該盡可能地為學生創(chuàng)造活動的機會。在課堂上創(chuàng)設條件讓學生主動參與，提出問題一要引導學生觀察、分析，給學生時間去思考，去交流，去展示。這里問題5的(2)和(3)略有難度，讓學生主動思考，積極交流，大膽展示，踴躍點評，這樣不僅可以發(fā)展學生的思維能力，同時還能發(fā)揮學生的主觀能動性，培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。課堂小結(jié)教師提出問題供學生思考：問題6：(1)本節(jié)課學習了同角三角函數(shù)的哪些基本關(guān)系？每個關(guān)系式成立的條件是什么？(2)本節(jié)課的學習主要解決了什么問題？根據(jù)一個三角函數(shù)值求另外兩個三角函數(shù)值時如何進行分類討論？(3)本節(jié)課體現(xiàn)了哪些基本數(shù)學思想方法？你還有什么疑問嗎？師生活動：學生思考、小組討論、推舉代表發(fā)言，其它同學補充。教師引導學生對所學知識、數(shù)學思想進行小結(jié)，并對學生回答情況進行評價和補充。設計意圖：課堂小結(jié)以問題串的方式請學生根據(jù)本節(jié)課的內(nèi)容有針對性地從知識和方法的角度進行歸納總結(jié)，反思知識、方法上的體驗、收獲，進一步強化了學生對基礎(chǔ)知識和基本技能的記憶和掌握，起到加深鞏固的作用。同時積極關(guān)注學生的自主體驗，不僅能讓學生再次回歸知識的生成過程，達成學生對知識的自我發(fā)現(xiàn)、自我生成、自我應用、自我完善，讓學生獲得了成功的自我效能感，還可以讓學生體會數(shù)形結(jié)合、分類討論、方程思想及化歸轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想方法在解決問題的過程中的應用，讓學生核心素養(yǎng)的培養(yǎng)在平時