【教案】三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)單元教學(xué)設(shè)計(jì)必修第一冊

三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)教學(xué)內(nèi)容及其解析（一）教學(xué)內(nèi)容正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象及其主要性質(zhì)（包括周期性、奇偶性、單調(diào)性、最值或值域）．余弦函數(shù)圖像正弦函數(shù)圖像正、與弦函數(shù)性質(zhì)余弦函數(shù)圖像正弦函數(shù)圖像正、與弦函數(shù)性質(zhì)單位圓問位嗯嗯嗯圓單位圓問位嗯嗯嗯圓應(yīng)用應(yīng)用正切函數(shù)的性質(zhì)與圖像三角函數(shù)定義正切函數(shù)的性質(zhì)與圖像三角函數(shù)定義（二）內(nèi)容解析1.內(nèi)容本質(zhì)：根據(jù)研究函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，得到函數(shù)的定義之后，接著要研究函數(shù)的圖象與性質(zhì)。正弦、余弦函數(shù)圖像是正弦函數(shù)定義的幾何意義和誘導(dǎo)公式的應(yīng)用。正切函數(shù)的性質(zhì)和圖像是對前面已學(xué)函數(shù)以及三角函數(shù)知識的深化應(yīng)用，是數(shù)形結(jié)合思想方法的具體體現(xiàn)，拓展了對函數(shù)性質(zhì)的研究思路。對于圖象與性質(zhì)的研究，一般有兩種思路：一是根據(jù)定義畫出函數(shù)的圖象，利用圖象直觀研究函數(shù)的性質(zhì)；二是從定義為出發(fā)，先研究函數(shù)的部分性質(zhì)，再結(jié)合定義和這些性質(zhì)研究函數(shù)的圖象，然后借助圖象進(jìn)一步獲得函數(shù)的其他性質(zhì)．其中正弦函數(shù)采用了第一種研究思路，正切函數(shù)采用了第二種研究思路，對于余弦函數(shù)，則是根據(jù)正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的關(guān)系，由正弦函數(shù)的圖象通過平移就得到了余弦函數(shù)的圖象，然后再研究其性質(zhì)．了解這些思路可以更有效地研究函數(shù)的圖象與性質(zhì)，全面深入地理解數(shù)形結(jié)合的思想．三角函數(shù)不以“代數(shù)運(yùn)算”為媒介，是幾何量（角與有向線段）之間的直接對應(yīng)，并且通過研究可以發(fā)現(xiàn)：在正弦函數(shù)的圖象上，除了原點(diǎn)之外，很少再能找到橫、縱坐標(biāo)均為有理數(shù)的點(diǎn)，因此，要想精確作出正弦函數(shù)的圖象，就必須回歸正弦函數(shù)定義．利用單位圓作正弦函數(shù)圖象時，關(guān)鍵是理解如何作出圖象上任意一點(diǎn)．明確作圖的原理，理解函數(shù)圖象整體的構(gòu)成原理．掌握了任意一點(diǎn)的作法原理后，通過選擇具體的、足夠多的點(diǎn)進(jìn)行描點(diǎn)，是從感性認(rèn)識的累積飛躍到理性認(rèn)識不可缺少的步驟．對于正切函數(shù)的圖象，仍然延用正弦曲線的作圖方法，但由于一個角的正切值是這個角的終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)比值，難以直接利用正切值來作圖，不過可以通過三角形相似，將這種坐標(biāo)比值轉(zhuǎn)化為一條線段，這樣又可以類比正弦曲線得到正切曲線了，因此，這里運(yùn)用了轉(zhuǎn)化思想．學(xué)生對函數(shù)性質(zhì)的研究已有比較豐富的經(jīng)驗(yàn)，借助對圖象特征的觀察獲取函數(shù)的性質(zhì)是一個基本方法．在三角函數(shù)的性質(zhì)中，周期性是最特別和重要的，只要認(rèn)識一個周期上函數(shù)的性質(zhì)，那么整個定義域上函數(shù)的性質(zhì)就完全清楚了，因此，將周期性的研究應(yīng)該放在首位．奇偶性也可起到簡化研究函數(shù)性質(zhì)的作用，同時周期性和奇偶性的綜合可以加深對正弦曲線和余弦曲線的對稱性的認(rèn)識，因此可以首先研究這兩個性質(zhì)．單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)，利用三角函數(shù)的周期性，可以先從一個周期入手研究它的單調(diào)性．函數(shù)的最值是利用單調(diào)性推出的一個自然結(jié)果．當(dāng)然，上述所有性質(zhì)也可以借助單位圓進(jìn)行直觀想象而得到，這種多角度的聯(lián)系有助于對知識的理解和掌握．2.蘊(yùn)含的思想方法：數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸、從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想。函數(shù)的圖象與性質(zhì)的研究中體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想，例如單調(diào)性是通過圖象得來的，而奇偶性，周期性是通過誘導(dǎo)公式得來的，在繪制三角函數(shù)的圖象時借助了函數(shù)的奇偶性，周期性；研究三角函數(shù)的圖象時通常是先研究其在一個周期內(nèi)的圖象與性質(zhì)，再拓展到整個定義域，體現(xiàn)特殊到一般的思想；余弦函數(shù)的圖象通過誘導(dǎo)公式將其轉(zhuǎn)化為由正弦函數(shù)圖象平移得到，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化與化歸的思想。3.知識的上下位關(guān)系：函數(shù)是三角函數(shù)的上位知識，三角函數(shù)的研究基本遵從函數(shù)圖像與性質(zhì)的研究思路，類比指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)展開研究，同時為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。4.育人價值：探究三角函數(shù)圖象與性質(zhì)的過程，既需要函數(shù)周期性和奇偶性的代數(shù)推理，也需要對圖形的直觀想象，其中蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合的思想，有利于學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)和直觀想象素養(yǎng)的發(fā)展，可以幫助學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光來觀察、數(shù)學(xué)的思維來思考，是提升學(xué)生的直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng)很好的載體。5.教學(xué)重點(diǎn)：正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象及其主要性質(zhì)（包括周期性、奇偶性、單調(diào)性、最值或值域）；研究函數(shù)圖象與性質(zhì)的一般思路和方法．二、目標(biāo)及其解析單元目標(biāo)1.借助單位圓能畫出三角函數(shù)的圖象，了解三角函數(shù)的周期性、奇偶性、最大（小）值；2.借助圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在上、正切函數(shù)在上的性質(zhì)．（二）目標(biāo)解析達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志是：（1）可以根據(jù)正弦的定義，借助于單位圓，在直角坐標(biāo)系中作出圖象上任意一點(diǎn)，并且能利用這一點(diǎn)的作圖原理畫出整個圖象；能利用正弦函數(shù)與余弦函數(shù)解析式的關(guān)系，得出其圖象之間的關(guān)系，通過平移正弦曲線得到余弦曲線；能通過幾何作圖與代數(shù)運(yùn)算兩個角度得出三角函數(shù)的周期性與奇偶性；能根據(jù)圖象得到正、余弦函數(shù)的最值；會畫一些簡單三角函數(shù)的圖象并會求其簡單的性質(zhì)。對于正切函數(shù)，能轉(zhuǎn)換研究思路，先從代數(shù)的角度研究其周期性、奇偶性，縮小畫圖的范圍。然后類比正弦函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)的畫法，畫出正切函數(shù)的圖象，并繼續(xù)研究其他性質(zhì)。（2）觀察正弦、余弦、正切曲線的圖象，可以說出它們在相應(yīng)一個周期上的單調(diào)性、最大最小值、對稱性、零點(diǎn)等性質(zhì)，并能利用這些性質(zhì)解決相關(guān)的問題。三、教學(xué)問題診斷分析問題1對于正弦函數(shù)，如何根據(jù)其定義準(zhǔn)確地繪制出函數(shù)圖象上任意一個點(diǎn)？破解辦法：給定任意一個橫坐標(biāo)x0，如何找到對應(yīng)的縱坐標(biāo)sinx0？結(jié)合圖1，弧AB＝x0·1＝x0．找到了橫坐標(biāo)與弧長的關(guān)系，接下來就是如何操作了．可以利用學(xué)生之前在測量中的經(jīng)驗(yàn)，即找一根沒有彈性的細(xì)線，先將其端點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，并將細(xì)線與x軸貼合，量出到x0的長度，標(biāo)記上終點(diǎn)．然后再將細(xì)線的起點(diǎn)與點(diǎn)A重合，通過逆時針繞讓細(xì)線與單位圓貼合，其終點(diǎn)的位置就是點(diǎn)B．點(diǎn)B的縱坐標(biāo)就是函數(shù)圖象上點(diǎn)T（x0，sinx0）的縱坐標(biāo)，再將之平移至x0處，就得到了點(diǎn)T（x0，sinx0）．問題2周期性這個概念學(xué)生之前從來都沒有碰到過，在這一單元，不僅要求學(xué)生結(jié)合三角函數(shù)了解周期性，還要抽象出定義并利用新定義解決新函數(shù)的問題。破解的方法：利用數(shù)形結(jié)合的思想方法突破．在一開始學(xué)習(xí)任意角時研究了角的關(guān)系，得到同角三角函數(shù)關(guān)系，后來又利用定義得到誘導(dǎo)公式一，已經(jīng)直觀地感受到了周期性，目前的困難是怎樣將之符號化．為此類比函數(shù)單調(diào)性、奇偶性的研究進(jìn)行引導(dǎo)．先將直觀想象微觀化，即“周而復(fù)始”這是宏觀的規(guī)律，具體到函數(shù)圖像上就是橫坐標(biāo)每增加2π，函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)．再將之符號化即可．在應(yīng)用它求函數(shù)y=Asin（ωx+φ）周期時，要利用換元的方法將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為基本問題求解，但對于它的周期的具體意義的理解需要到下一單元學(xué)習(xí)了函數(shù)y=Asin（ωx+φ）之后才能達(dá)成。教學(xué)難點(diǎn)：正弦函數(shù)的作圖；