高中數(shù)學必修二第一章空間幾何體知識點與常考題(附解析)

第55頁（共55頁）必修二第一章空間幾何體知識點與常考題(附解析)知識點：1、柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征（1）棱柱：定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體。分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標準分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示：用各頂點字母，如五棱柱或用對角線的端點字母，如五棱柱幾何特征：兩底面是對應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對角面都是平行四邊形；側(cè)棱平行且相等；平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。（2）棱錐定義：有一個面是多邊形，其余各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標準分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等表示：用各頂點字母，如五棱錐幾何特征：側(cè)面、對角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點到截面距離與高的比的平方。（3）棱臺：定義：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標準分為三棱態(tài)、四棱臺、五棱臺等表示：用各頂點字母，如五棱臺幾何特征：①上下底面是相似的平行多邊形②側(cè)面是梯形③側(cè)棱交于原棱錐的頂點（4）圓柱：定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn),其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體幾何特征：①底面是全等的圓；②母線與軸平行；③軸與底面圓的半徑垂直；④側(cè)面展開圖是一個矩形。（5）圓錐：定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何體幾何特征：①底面是一個圓；②母線交于圓錐的頂點；③側(cè)面展開圖是一個扇形。（6）圓臺：定義：用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分幾何特征：①上下底面是兩個圓；②側(cè)面母線交于原圓錐的頂點；③側(cè)面展開圖是一個弓形。（7）球體：定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體幾何特征：①球的截面是圓；②球面上任意一點到球心的距離等于半徑。2、空間幾何體的三視圖定義三視圖：正視圖（光線從幾何體的前面向后面正投影）；側(cè)視圖（從左向右）、俯視圖（從上向下）注：正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和長度；俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的長度和寬度；側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和寬度。3、空間幾何體的直觀圖——斜二測畫法斜二測畫法特點：①原來與x軸平行的線段仍然與x平行且長度不變；②原來與y軸平行的線段仍然與y平行，長度為原來的一半。4、柱體、錐體、臺體的表面積與體積（1）幾何體的表面積為幾何體各個面的面積的和。（2）特殊幾何體表面積公式（c為底面周長，h為高，為斜高，l為母線）（3）柱體、錐體、臺體的體積公式（4）球體的表面積和體積公式：V=；S=?？碱}：一．選擇題（共32小題）1．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積是（）A．2+ B．4+ C．2+2 D．52．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為（）A． B． C． D．13．一個正方體被一個平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為（）A． B． C． D．4．已知A，B是球O的球面上兩點，∠AOB=90°，C為該球面上的動點，若三棱錐O﹣ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為（）A．36π B．64π C．144π D．256π5．一個四棱錐的底面為正方形，其三視圖如圖所示，則這個四棱錐的體積是（）A．1 B．2 C．3 D．46．長方體的一個頂點上三條棱長為3、4、5，且它的八個頂點都在一個球面上，這個球的表面積是（）A．20π B．25π C．50π D．200π7．若某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則該幾何體的體積等于（）A．10cm3 B．20cm3 C．30cm3 D．40cm38．一個由半球和四棱錐組成的幾何體，其三視圖如圖所示．則該幾何體的體積為（）A．+π B．+π C．+π D．1+π9．某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積是（）A．8cm3 B．12cm3 C． D．10．如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（）A．20π B．24π C．28π D．32π11．一個幾何體的三視圖如圖所示，已知這個幾何體的體積為，則h=（）A． B． C． D．12．一個四面體的三視圖如圖所示，則該四面體的表面積是（）A．1+ B．2+ C．1+2 D．213．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為（）A．60 B．30 C．20 D．1014．一個棱錐的三視圖如圖（尺寸的長度單位為m），則該棱錐的全面積是（單位：m2）．（）A． B． C． D．15．已知底面邊長為1，側(cè)棱長為的正四棱柱的各頂點均在同一球面上，則該球的體積為（）A． B．4π C．2π D．16．某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積（單位：cm3）是（）A．+1 B．+3 C．+1 D．+317．某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐最長棱的棱長為（）A．1 B． C． D．218．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積等于（）A．8+2 B．11+2 C．14+2 D．1519．某幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積為（）A． B． C．8 D．420．某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的體積為（）A．80 B．40 C． D．21．如圖是某幾何體的三視圖，其中正視圖是腰長為2的等腰三角形，俯視圖是半徑為1的半圓，則該幾何體的體積是（）A． B． C． D．22．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體中，面積最大的側(cè)面的面積為（）A． B． C． D．323．某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長棱的長度為（）A．3 B．2 C．2 D．224．三棱錐P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=1，PA=，則該三棱錐外接球的表面積為（）A．5π B． C．20π D．4π25．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為（）A．90π B．63π C．42π D．36π26．已知正四棱錐S﹣ABCD中，SA=2，那么當該棱錐的體積最大時，它的高為（）A．1 B． C．2 D．327．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．28．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．29．如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）A．1 B． C． D．30．某幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積是，則正視圖中的x的值是（）A．2 B． C． D．331．將邊長為a的正方形ABCD沿對角線AC折起，使得BD=a，則三棱錐D﹣ABC的體積為（）A． B． C． D．32．已知等腰直角三角形的直角邊的長為2，將該三角形繞其斜邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為（）A． B． C．2π D．4π二．填空題（共10小題）33．已知OA為球O的半徑，過OA的中點M且垂直于OA的平面截球面得到圓M．若圓M的面積為3π，則球O的表面積等于．34．設(shè)某幾何體的三視圖如圖（尺寸的長度單位為m）則該幾何體的體積為m3．35．設(shè)甲、乙兩個圓柱的底面積分別為S1，S2，體積分別為V1，V2，若它們的側(cè)面積相等，且=，則的值是．36．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐最長棱的棱長為．37．如圖所示，正方體ABCD﹣A′B′C′D′的棱長為1，E，F(xiàn)分別是棱AA′，CC′的中點，過直線E，F(xiàn)的平面分別與棱BB′、DD′交于M，N，設(shè)BM=x，x∈[0，1]，給出以下五個命題：①當且僅當x=0時，四邊形MENF的周長最大；②當且僅當x=時，四邊形MENF的面積最?。虎鄱嗝骟wABCD﹣MENF的體積為④四棱錐C′﹣MENF的體積V=V（x）為常函數(shù)；⑤直線MN與直線CC′的夾角正弦值的范圍是[，1]以上命題中正確的有（天上所有正確命題的序號）38．如圖，在三棱柱A1B1C1﹣ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，AC，AA1的中點，設(shè)三棱錐F﹣ADE的體積為V1，三棱柱A1B1C1﹣ABC的體積為V2，則V1：V2=．39．如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切，記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則的值是．40．若某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則此幾何體的體積等于cm3．41．一個四棱錐的三視圖如圖所示，其左視圖是等邊三角形，該四棱錐的體積V=．42．我國古代數(shù)學名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題：在下雨時，用一個圓臺形的天池盆接雨水．天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中積水深九寸，則平地降雨量是寸．（注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；②一尺等于十寸）三．解答題（共8小題）43．現(xiàn)需要設(shè)計一個倉庫，它由上下兩部分組成，上部的形狀是正四棱錐P﹣A1B1C1D1，下部的形狀是正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1（如圖所示），并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍．（1）若AB=6m，PO1=2m，則倉庫的容積是多少？（2）若正四棱錐的側(cè)棱長為6m，則當PO1為多少時，倉庫的容積最大？44．（1）給出兩塊相同的正三角形紙片（如圖1，圖2），要求用其中一塊剪拼成一個三棱錐模型，另一塊剪拼成一個正三棱柱模型，使它們的全面積都與原三角形的面積相等，請設(shè)計一種剪拼方法，分別用虛線標示在圖1、圖2中，并作簡要說明；（2）試比較你剪拼的正三棱錐與正三棱柱的體積的大??；（3）如果給出的是一塊任意三角形的紙片（如圖3），要求剪栟成一個直三棱柱，使它的全面積與給出的三角形的面積相等．請設(shè)計一種剪拼方法，用虛線標示在圖3中，并作簡要說明．45．如圖，已知一個圓錐的底面半徑與高均為2，且在這個圓錐中有一個高為x的圓柱．（1）用x表示此圓柱的側(cè)面積表達式；（2）當此圓柱的側(cè)面積最大時，求此圓柱的體積．46．如圖①，有一個長方體形狀的敞口玻璃容器，底面是邊長為20cm的正方形，高為30cm，內(nèi)有20cm深的溶液．現(xiàn)將此容器傾斜一定角度α（圖②），且傾斜時底面的一條棱始終在桌面上（圖①、②均為容器的縱截面）．（1）要使傾斜后容器內(nèi)的溶液不會溢出，角α的最大值是多少；（2）現(xiàn)需要倒出不少于3000cm3的溶液，當α=60°時，能實現(xiàn)要求嗎？請說明理由．47．如圖，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱臺形玻璃容器Ⅱ的高均為32cm，容器Ⅰ的底面對角線AC的長為10cm，容器Ⅱ的兩底面對角線EG，E1G1的長分別為14cm和62cm．分別在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均為12cm．現(xiàn)有一根玻璃棒l，其長度為40cm．（容器厚度、玻璃棒粗細均忽略不計）（1）將l放在容器Ⅰ中，l的一端置于點A處，另一端置于側(cè)棱CC1上，求l沒入水中部分的長度；（2）將l放在容器Ⅱ中，l的一端置于點E處，另一端置于側(cè)棱GG1上，求l沒入水中部分的長度．48．如圖，已知某幾何體的三視圖如下（單位：cm）．（1）畫出這個幾何體的直觀圖（不要求寫畫法）；（2）求這個幾何體的表面積及體積．49．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=，在三角形內(nèi)挖去一個半圓（圓心O在邊BC上，半圓與AC、AB分別相切于點C、M，與BC交于點N），將△ABC繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周得到一個旋轉(zhuǎn)體．（1）求該幾何體中間一個空心球的表面積的大??；（2）求圖中陰影部分繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積．50．已知一個幾何體的三視圖如圖所示．（Ⅰ）求此幾何體的表面積；（Ⅱ）在如圖的正視圖中，如果點A為所在線段中點，點B為頂點，求在幾何體側(cè)面上從點A到點B的最短路徑的長．

必修二第一章空間幾何體知識點與常考題(附解析)參考答案與試題解析一．選擇題（共32小題）1．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積是（）A．2+ B．4+ C．2+2 D．5【解答】解：根據(jù)三視圖可判斷直觀圖為：OA⊥面ABC，AC=AB，E為BC中點，EA=2，EC=EB=1，OA=1，∴可得AE⊥BC，BC⊥OA，由直線與平面垂直的判定定理得：BC⊥面AEO，AC=，OE=∴S△ABC=2×2=2，S△OAC=S△OAB=×1=．S△BCO=2×=．故該三棱錐的表面積是2，故選：C．2．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為（）A． B． C． D．1【解答】解：由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個以俯視圖為底面的三棱錐，棱錐的底面面積S=×1×1=，高為1，故棱錐的體積V==，故選：A．3．一個正方體被一個平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如圖，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為（）A． B． C． D．【解答】解：設(shè)正方體的棱長為1，由三視圖判斷，正方體被切掉的部分為三棱錐，∴正方體切掉部分的體積為×1×1×1=，∴剩余部分體積為1﹣=，∴截去部分體積與剩余部分體積的比值為．故選：D．4．已知A，B是球O的球面上兩點，∠AOB=90°，C為該球面上的動點，若三棱錐O﹣ABC體積的最大值為36，則球O的表面積為（）A．36π B．64π C．144π D．256π【解答】解：如圖所示，當點C位于垂直于面AOB的直徑端點時，三棱錐O﹣ABC的體積最大，設(shè)球O的半徑為R，此時VO﹣ABC=VC﹣AOB===36，故R=6，則球O的表面積為4πR2=144π，故選：C．5．一個四棱錐的底面為正方形，其三視圖如圖所示，則這個四棱錐的體積是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由題設(shè)及圖知，此幾何體為一個四棱錐，其底面為一個對角線長為2的正方形，故其底面積為=2由三視圖知其中一個側(cè)棱為棱錐的高，其相對的側(cè)棱與高及底面正方形的對角線組成一個直角三角形由于此側(cè)棱長為，對角線長為2，故棱錐的高為=3此棱錐的體積為=2故選：B．6．長方體的一個頂點上三條棱長為3、4、5，且它的八個頂點都在一個球面上，這個球的表面積是（）A．20π B．25π C．50π D．200π【解答】解：設(shè)球的半徑為R，由題意，球的直徑即為長方體的體對角線，則（2R）2=32+42+52=50，∴R=．∴S球=4π×R2=50π．故選：C．7．若某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則該幾何體的體積等于（）A．10cm3 B．20cm3 C．30cm3 D．40cm3【解答】解：由三視圖知幾何體為三棱柱削去一個三棱錐如圖：棱柱的高為5；底面為直角三角形，直角三角形的直角邊長分別為3、4，∴幾何體的體積V=×3×4×5﹣××3×4×5=20（cm3）．故選：B．8．一個由半球和四棱錐組成的幾何體，其三視圖如圖所示．則該幾何體的體積為（）A．+π B．+π C．+π D．1+π【解答】解：由已知中的三視圖可得：該幾何體上部是一個半球，下部是一個四棱錐，半球的直徑為棱錐的底面對角線，由棱錐的底底面棱長為1，可得2R=．故R=，故半球的體積為：=π，棱錐的底面面積為：1，高為1，故棱錐的體積V=，故組合體的體積為：+π，故選：C．9．某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積是（）A．8cm3 B．12cm3 C． D．【解答】解：由三視圖可知幾何體是下部為棱長為2的正方體，上部是底面為邊長2的正方形高為2的正四棱錐，所求幾何體的體積為：23+×2×2×2=．故選：C．10．如圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為（）A．20π B．24π C．28π D．32π【解答】解：由三視圖知，空間幾何體是一個組合體，上面是一個圓錐，圓錐的底面直徑是4，圓錐的高是2，∴在軸截面中圓錐的母線長是=4，∴圓錐的側(cè)面積是π×2×4=8π，下面是一個圓柱，圓柱的底面直徑是4，圓柱的高是4，∴圓柱表現(xiàn)出來的表面積是π×22+2π×2×4=20π∴空間組合體的表面積是28π，故選：C．11．一個幾何體的三視圖如圖所示，已知這個幾何體的體積為，則h=（）A． B． C． D．【解答】解：三視圖復(fù)原的幾何體是底面為邊長5，6的矩形，一條側(cè)棱垂直底面高為h，所以四棱錐的體積為：，所以h=．故選：B．12．一個四面體的三視圖如圖所示，則該四面體的表面積是（）A．1+ B．2+ C．1+2 D．2【解答】解：根據(jù)幾何體的三視圖，得；該幾何體是底面為等腰直角三角形的三棱錐，如圖所示；∴該幾何體的表面積為S表面積=S△PAC+2S△PAB+S△ABC=×2×1+2××+×2×1=2+．故選：B．13．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為（）A．60 B．30 C．20 D．10【解答】解：由三視圖可知：該幾何體為三棱錐，該三棱錐的體積==10．故選：D．14．一個棱錐的三視圖如圖（尺寸的長度單位為m），則該棱錐的全面積是（單位：m2）．（）A． B． C． D．【解答】解：由三視圖可以看出，此幾何體是一個側(cè)面與底面垂直且底面與垂直于底面的側(cè)面全等的三棱錐由圖中數(shù)據(jù)知此兩面皆為等腰三角形，高為2，底面邊長為2，故它們的面積皆為=2，由頂點在底面的投影向另兩側(cè)面的底邊作高，由等面積法可以算出，此二高線的長度相等，為，將垂足與頂點連接起來即得此兩側(cè)面的斜高，由勾股定理可以算出，此斜高為2，同理可求出側(cè)面底邊長為，可求得此兩側(cè)面的面積皆為=，故此三棱錐的全面積為2+2++=，故選：A．15．已知底面邊長為1，側(cè)棱長為的正四棱柱的各頂點均在同一球面上，則該球的體積為（）A． B．4π C．2π D．【解答】解：∵正四棱柱的底面邊長為1，側(cè)棱長為，∴正四棱柱體對角線的長為=2又∵正四棱柱的頂點在同一球面上，∴正四棱柱體對角線恰好是球的一條直徑，得球半徑R=1根據(jù)球的體積公式，得此球的體積為V=πR3=π．故選：D．16．某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積（單位：cm3）是（）A．+1 B．+3 C．+1 D．+3【解答】解：由幾何的三視圖可知，該幾何體是圓錐的一半和一個三棱錐組成，圓錐的底面圓的半徑為1，三棱錐的底面是底邊長2的等腰直角三角形，圓錐的高和棱錐的高相等均為3，故該幾何體的體積為××π×12×3+××××3=+1，故選：A．17．某四棱錐的三視圖如圖所示，該四棱錐最長棱的棱長為（）A．1 B． C． D．2【解答】解：由三視圖知：幾何體是四棱錐，且四棱錐的一條側(cè)棱與底面垂直，底面為正方形如圖：其中PB⊥平面ABCD，底面ABCD為正方形∴PB=1，AB=1，AD=1，∴BD=，PD==．PC═該幾何體最長棱的棱長為：故選：C．18．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積等于（）A．8+2 B．11+2 C．14+2 D．15【解答】解：根據(jù)三視圖可判斷該幾何體是底面為直角梯形，高為2的直四棱柱，底面的梯形上底1，下底2，高為1，∴側(cè)面為（4）×2=8，底面為（2+1）×1=，故幾何體的表面積為8=11，故選：B．19．某幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體的體積為（）A． B． C．8 D．4【解答】解：由已知中的三視圖可得該幾何體的直觀圖如下圖所示：該幾何體是一個四棱錐A﹣CDEF和一個三棱錐組F﹣ABC成的組合體，四棱錐A﹣CDEF的底面面積為4，高為4，故體積為：，三棱錐組F﹣ABC的底面面積為2，高為2，故體積為：，故這個幾何體的體積V=+=，故選：A．20．某三棱錐的三視圖如圖所示，該三棱錐的體積為（）A．80 B．40 C． D．【解答】解：由三視圖可知該幾何體是如圖所示的三棱錐：PO⊥平面ABC，PO=4，AO=2，CO=3，BC⊥AC，BC=4．從圖中可知，三棱錐的底是兩直角邊分別為4和5的直角三角形，高為4，體積為V=．故選：D．21．如圖是某幾何體的三視圖，其中正視圖是腰長為2的等腰三角形，俯視圖是半徑為1的半圓，則該幾何體的體積是（）A． B． C． D．【解答】解：由三視圖知幾何體的直觀圖是半個圓錐，又∵正視圖是腰長為2的等腰三角形∴r=1，h=∴故選：D．22．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體中，面積最大的側(cè)面的面積為（）A． B． C． D．3【解答】解：由三視圖可知，幾何體的直觀圖如圖所示，平面AED⊥平面BCDE，四棱錐A﹣BCDE的高為1，四邊形BCDE是邊長為1的正方形，則S△AED==，S△ABC=S△ABE==，S△ACD==，故選：B．23．某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的最長棱的長度為（）A．3 B．2 C．2 D．2【解答】解：由三視圖可得直觀圖，再四棱錐P﹣ABCD中，最長的棱為PA，即PA===2，故選：B．24．三棱錐P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=1，PA=，則該三棱錐外接球的表面積為（）A．5π B． C．20π D．4π【解答】解：PA⊥平面ABC，AC⊥BC，∴BC⊥平面PAC，PB是三棱錐P﹣ABC的外接球直徑；∵Rt△PBA中，AB=，PA=∴PB=，可得外接球半徑R=PB=∴外接球的表面積S=4πR2=5π故選：A．25．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為（）A．90π B．63π C．42π D．36π【解答】解：由三視圖可得，直觀圖為一個完整的圓柱減去一個高為6的圓柱的一半，V=π?32×10﹣?π?32×6=63π，故選：B．26．已知正四棱錐S﹣ABCD中，SA=2，那么當該棱錐的體積最大時，它的高為（）A．1 B． C．2 D．3【解答】解：設(shè)底面邊長為a，則高h==，所以體積V=a2h=，設(shè)y=12a4﹣a6，則y′=48a3﹣3a5，當y取最值時，y′=48a3﹣3a5=0，解得a=0或a=4時，當a=4時，體積最大，此時h==2，故選：C．27．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．【解答】解：由三視圖可知，幾何體是組合體，左側(cè)是三棱錐，底面是等腰三角形，腰長為，高為1，一個側(cè)面與底面垂直，并且垂直底面三角形的斜邊，右側(cè)是半圓柱，底面半徑為1，高為2，所求幾何體的體積為：=．故選：A．28．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．【解答】解：由題意可知幾何體的形狀是放倒的圓柱，底面半徑為1，高為2，左側(cè)與一個底面半徑為1，高為1的半圓錐組成的組合體，幾何體的體積為：=．故選：B．29．如圖是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）A．1 B． C． D．【解答】解：由三視圖知幾何體是一個四棱錐，四棱錐的底面是一個平行四邊形，有兩個等腰直角三角形，直角邊長為1組成的平行四邊形，四棱錐的一條側(cè)棱與底面垂直，且側(cè)棱長為1，∴四棱錐的體積是．故選：B．30．某幾何體的三視圖如圖所示，且該幾何體的體積是，則正視圖中的x的值是（）A．2 B． C． D．3【解答】解：由三視圖可知：原幾何體是一個四棱錐，其中底面是一個上、下、高分別為1、2、2的直角梯形，一條長為x的側(cè)棱垂直于底面．則體積為=，解得x=．故選：C．31．將邊長為a的正方形ABCD沿對角線AC折起，使得BD=a，則三棱錐D﹣ABC的體積為（）A． B． C． D．【解答】解：O是AC中點，連接DO，BO，如圖，△ADC，△ABC都是等腰直角三角形，DO=BO==，BD=a，△BDO也是等腰直角三角形，DO⊥AC，DO⊥BO，DO⊥平面ABC，DO就是三棱錐D﹣ABC的高，S△ABC=a2三棱錐D﹣ABC的體積：，故選：D．32．已知等腰直角三角形的直角邊的長為2，將該三角形繞其斜邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為（）A． B． C．2π D．4π【解答】解：如圖為等腰直角三角形旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體．V=2×S?h=2×πR2?h=2×π×（）2×=．故選：B．二．填空題（共10小題）33．已知OA為球O的半徑，過OA的中點M且垂直于OA的平面截球面得到圓M．若圓M的面積為3π，則球O的表面積等于16π．【解答】解：∵圓M的面積為3π，∴圓M的半徑r=，設(shè)球的半徑為R，由圖可知，R2=R2+3，∴R2=3，∴R2=4．∴S球=4πR2=16π．故答案為：16π34．設(shè)某幾何體的三視圖如圖（尺寸的長度單位為m）則該幾何體的體積為4m3．【解答】解：這是一個三棱錐，高為2，底面三角形一邊為4，這邊上的高為3，體積等于×2×4×3=4故答案為：435．設(shè)甲、乙兩個圓柱的底面積分別為S1，S2，體積分別為V1，V2，若它們的側(cè)面積相等，且=，則的值是．【解答】解：設(shè)兩個圓柱的底面半徑分別為R，r；高分別為H，h；∵=，∴，它們的側(cè)面積相等，∴，∴===．故答案為：．36．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐最長棱的棱長為2．【解答】解：由主視圖知CD⊥平面ABC，設(shè)AC中點為E，則BE⊥AC，且AE=CE=1；由主視圖知CD=2，由左視圖知BE=1，在Rt△BCE中，BC=，在Rt△BCD中，BD=，在Rt△ACD中，AD=2．則三棱錐中最長棱的長為2．故答案為：2．37．如圖所示，正方體ABCD﹣A′B′C′D′的棱長為1，E，F(xiàn)分別是棱AA′，CC′的中點，過直線E，F(xiàn)的平面分別與棱BB′、DD′交于M，N，設(shè)BM=x，x∈[0，1]，給出以下五個命題：①當且僅當x=0時，四邊形MENF的周長最大；②當且僅當x=時，四邊形MENF的面積最??；③多面體ABCD﹣MENF的體積為④四棱錐C′﹣MENF的體積V=V（x）為常函數(shù)；⑤直線MN與直線CC′的夾角正弦值的范圍是[，1]以上命題中正確的有②③④⑤（天上所有正確命題的序號）【解答】解：①因為EF⊥MN，所以四邊形MENF是菱形．當x∈[0，]時，EM的長度由大變?。攛∈[，1]時，EM的長度由小變大．所以當x=0或x=1時周長都為最大值．所以①錯誤．②連結(jié)MN，因為EF⊥平面BDD'B'，所以EF⊥MN，四邊形MENF的對角線EF是固定的，所以要使面積最小，則只需MN的長度最小即可，此時當M為棱的中點時，即x=時，此時MN長度最小，對應(yīng)四邊形MENF的面積最?。寓谡_．③因為E，F(xiàn)是固定的中點，所以當M在運動時，AM=D'N，DN=B'M，所以被截面MENF平分成的兩個多面體是完全相同的，所以它們的體積也是相同的．所以③正確．④連結(jié)C'E，C'M，C'N，則四棱錐則分割為兩個小三棱錐，它們以C'EF為底，以M，N分別為頂點的兩個小棱錐．因為三角形C'EF的面積是個常數(shù)．M，N到平面C'EF的距離是個常數(shù)，所以四棱錐C'﹣MENF的體積V=h（x）為常函數(shù)，所以④正確．⑤當x=0或x=1時，直線MN與直線CC′的夾角最小，正弦值為=，x=時，直線MN與直線CC′的夾角最大，正弦值為1，所以⑤正確．故答案為：②③④⑤．38．如圖，在三棱柱A1B1C1﹣ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，AC，AA1的中點，設(shè)三棱錐F﹣ADE的體積為V1，三棱柱A1B1C1﹣ABC的體積為V2，則V1：V2=1：24．【解答】解：因為D，E，分別是AB，AC的中點，所以S△ADE：S△ABC=1：4，又F是AA1的中點，所以A1到底面的距離H為F到底面距離h的2倍．即三棱柱A1B1C1﹣ABC的高是三棱錐F﹣ADE高的2倍．所以V1：V2==1：24．故答案為1：24．39．如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切，記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則的值是．【解答】解：設(shè)球的半徑為R，則球的體積為：R3，圓柱的體積為：πR2?2R=2πR3．則==．故答案為：．40．若某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則此幾何體的體積等于24cm3．【解答】解：幾何體為三棱柱去掉一個三棱錐后的幾何體，底面是直角三角形，直角邊分別為3，4，側(cè)面的高為5，被截取的棱錐的高為3．如圖：V=V棱柱﹣V棱錐==24（cm3）故答案為：24．41．一個四棱錐的三視圖如圖所示，其左視圖是等邊三角形，該四棱錐的體積V=．【解答】解：由已知中的三視圖可知：該幾何體是以俯視圖為底面的四棱錐，其底面面積S=×（1+2）×2=3，又∵左視圖是等邊三角形，∴高h=，故棱錐的體積V==，故答案為：42．我國古代數(shù)學名著《數(shù)書九章》中有“天池盆測雨”題：在下雨時，用一個圓臺形的天池盆接雨水．天池盆盆口直徑為二尺八寸，盆底直徑為一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中積水深九寸，則平地降雨量是3寸．（注：①平地降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；②一尺等于十寸）【解答】解：如圖，由題意可知，天池盆上底面半徑為14寸，下底面半徑為6寸，高為18寸．因為積水深9寸，所以水面半徑為寸．則盆中水的體積為（立方寸）．所以則平地降雨量等于（寸）．故答案為3．三．解答題（共8小題）43．現(xiàn)需要設(shè)計一個倉庫，它由上下兩部分組成，上部的形狀是正四棱錐P﹣A1B1C1D1，下部的形狀是正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1（如圖所示），并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍．（1）若AB=6m，PO1=2m，則倉庫的容積是多少？（2）若正四棱錐的側(cè)棱長為6m，則當PO1為多少時，倉庫的容積最大？【解答】解：（1）∵PO1=2m，正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍．∴O1O=8m，∴倉庫的容積V=×62×2+62×8=312m3，（2）若正四棱錐的側(cè)棱長為6m，設(shè)PO1=xm，則O1O=4xm，A1O1=m，A1B1=?m，則倉庫的容積V=×（?）2?x+（?）2?4x=x3+312x，（0＜x＜6），∴V′=﹣26x2+312，（0＜x＜6），當0＜x＜2時，V′＞0，V（x）單調(diào)遞增；當2＜x＜6時，V′＜0，V（x）單調(diào)遞減；故當x=2時，V（x）取最大值；即當PO1=2m時，倉庫的容積最大．44．（1）給出兩塊相同的正三角形紙片（如圖1，圖2），要求用其中一塊剪拼成一個三棱錐模型，另一塊剪拼成一個正三棱柱模型，使它們的全面積都與原三角形的面積相等，請設(shè)計一種剪拼方法，分別用虛線標示在圖1、圖2中，并作簡要說明；（2）試比較你剪拼的正三棱錐與正三棱柱的體積的大??；（3）如果給出的是一塊任意三角形的紙片（如圖3），要求剪栟成一個直三棱柱，使它的全面積與給出的三角形的面積相等．請設(shè)計一種剪拼方法，用虛線標示在圖3中，并作簡要說明．【解答】解：（1）如圖1，沿正三角形三邊中點連線折起，可拼得一個正三棱錐．如圖2，正三角形三個角上剪出三個相同的四邊形，其較長的一組鄰邊邊長為三角形邊長的，有一組對角為直角，余下部分按虛線折起，可成一個缺上底的正三棱柱，而剪出的三個相同的四邊形恰好拼成這個正三棱錐的上底．（2）依上面剪拼方法，有V柱＞V錐．推理如下：設(shè)給出正三角形紙片的邊長為2，那么，正三棱錐與正三棱柱的底面都是邊長為1的正三角形，其面積為．現(xiàn)在計算它們的高：，．所以V柱＞V錐．（3）如圖，分別連接三角形的內(nèi)心與各頂點，得三條線段，再以這三條線段的中點為頂點作三角形．以新作的三角形為直棱柱的底面，過新三角形的三個頂點向原三角形三邊作垂線，沿六條垂線剪下三個四邊形，可心拼成直三棱柱的上底，余下部分按虛線折起，成為一個缺上底的直三棱柱，即可得到直三棱柱．45．如圖，已知一個圓錐的底面半徑與高均為2，且在這個圓錐中有一個高為x的圓柱．（1）用x表示此圓柱的側(cè)面積表達式；（2）當此圓柱的側(cè)面積最大時，求此圓柱的體積．【解答】解：（1）設(shè)圓柱的半徑為r，則，∴r=2﹣x，0＜x＜2．∴S圓柱側(cè)=2πrx=2π（2﹣x）x=﹣2πx2+4πx．（0＜x＜2）．（2），∴當x=1時，S圓柱側(cè)取最大值2π，此時，r=1，所以．46．如圖①，有一個長方體形狀的敞口玻璃容器，底面是邊長為20cm的正方形，高為30cm，內(nèi)有20cm深的溶液．現(xiàn)將此容器傾斜一定角度α（圖②），且傾斜時底面的一條棱始終在桌面上（圖①、②均為容器的縱截面）．（1）要使傾斜后容器內(nèi)的溶液不會溢出，角α的最大值是多少；（2）現(xiàn)需要倒出不少于3000cm3的溶液，當α=60°時，能實現(xiàn)要求嗎？請說明理由．【解答】解：（1）根據(jù)題意，畫出圖形，如圖a所示，過C作CF∥BP，交AD所在直線于F，在Rt△CDF中，∠FCD=α，CD=20cm，DF=20tanα，且點F在線段AD上，AF=30﹣20tanα，此時容器內(nèi)能容納的溶液量為：S梯形ABCF?20=?20=（30﹣20tanα+30）?20?10=2000（6﹣2tanα）（cm3）；而容器中原有溶液量為20×20×20=8000（cm3），令2000（6﹣2tanα）≥8000，解得tanα≤1，所以α≤45°，即α的最大角為45°時，溶液不會溢出；（2）如圖b所示，當α=60°時，過C作CF∥BP，交AB所在直線于F，在Rt△CBF中，BC=30cm，∠BCF=30°，BF=10cm，∴點F在線段AB上，故溶液縱截面為Rt△CBF，∵S△ABF=BC?BF=150cm2，容器內(nèi)溶液量為150×20=3000cm3，倒出的溶液量為（8000﹣3000）cm3＜3000cm3，∴不能實現(xiàn)要求．47．如圖，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱臺形玻璃容器Ⅱ的高均為32cm，容器Ⅰ的底