2021版新高考數(shù)學(xué)：相等關(guān)系與不等關(guān)系含答案

/25a,b,lai、ablaiablai麗+麗+~b三麗兀萬(wàn)=麗+1，當(dāng)且僅當(dāng)麗=萬(wàn)時(shí)等號(hào)成立.立.又a+b=2,b>0,?°?當(dāng)b=—2a,a=~2時(shí)，2^+罟取得最小值.]（20xx?xx市xx區(qū)模擬）已知a>1,b>0,a+b=2,則±+務(wù)的最小值為（）3_A.23_A.2+"』2C.3+2盪B.3J24+2D.A[已知a>1,b>0,a+b=2,可得(a—1)+b=1,又a—1>0,則士+2b=[(a—1)+b]G—7+謝…1ia—1|b、3,宀fa—1b3’匚=1+2+IT+a—7_2+22Txa^=2+^'2-aib當(dāng)且僅當(dāng)=,a+b=2時(shí)取等號(hào).2ba—1113—?jiǎng)ta—y+矛的最小值為2+72.故選a.]消元法求最值對(duì)于含有多個(gè)變量的條件最值問題，若直接運(yùn)用基本不等式無(wú)法求最值時(shí)，可嘗試減少變量的個(gè)數(shù)，即根據(jù)題設(shè)條件建立兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系，然后代入代數(shù)式轉(zhuǎn)化為只含有一個(gè)變量的函數(shù)的最值問題，即減元（三元化二元，二元化一元）.

(20xx?嘉興期末)已知a>0,b>0,且2a+b=ab—1,則a+2b的最小值為()A.5+2\:'6B.8遼C.5D.9A[°?°a>0,b>0,且2a+b=ab—1,??a=b+lb_??a=b+lb_2>0,：?b>2.??a+2b=b+lb_2卜2b=2(b—2)+3

b—2三5+2-\；：2(b—2).^——2=5+2、拓.當(dāng)且僅當(dāng)2(b—2)=慶—2即方=2+￥時(shí)取等號(hào)??a+2b的最小值為5+2'j6.故選A.]求解本題的關(guān)鍵是將等式“2a+b=ab~b=ab~1”變形為“b+1a=b^2,然后借助配湊法求最值.（20xx?新余模擬）已知正實(shí)數(shù)a,b,c滿足a2—2ab+9b2—c=0,貝V當(dāng)字取得最大值時(shí)，寸+￡一鄉(xiāng)的最大值為CzL4-UCzB.A.B.C.1D.0、ababC［由正實(shí)數(shù)a,b,c滿足a2—2ab+9b2=c,得=a22ab丨9b2=a2_2【b+9b2=T^^嗎當(dāng)且僅當(dāng)》=乎,即a=3b時(shí)，乎取最大值￡+2abba

又因?yàn)閍2—2ab+9b2—c=0.所以此時(shí)c=12b2.所以』+a1212b所以』+a1212b故最大值為1.]利用兩次基本不等式求最值當(dāng)運(yùn)用一次基本不等式無(wú)法求得代數(shù)式的最值時(shí)，常采用第二次基本不等式；需注意連續(xù)多次使用基本不等式時(shí)，一定要注意每次是否能保證等號(hào)成立，并且注意取等號(hào)的條件的一致性.已知a>b>0,那么a2+bJ-b)的最小值為4［由題意a>b>0,則a-b>0,(b+a—b)2a2所以b(a—b)W2J=~4,14/4所以a2+b(a—b)三°2+02三2\;；°2忌=4'當(dāng)且僅當(dāng)b=a—b且a2=a2，即a=\/2,b=￥時(shí)取等號(hào)'所以a2+)的最小值為4」由于b+(a—b)為定值'故可求出b(a-b)的最大值’然后再由基本不等式求出題中所給代數(shù)式的最小值.若a,b^R,ab>0,則a4+4b4+1

a4+4b4+1

ab的最小值為_.“a4十4b4十12、f44b4十14a2b2+114［因?yàn)閍b>°，所以ab三ab=ab=4ab+abababab三2\“ab￡=4三2\“ab￡=4,當(dāng)且僅當(dāng)＜_1時(shí)取等號(hào),ab=2故a4+ab4+1的最小值是4.]考點(diǎn)3利用基本不等式解決實(shí)際問題利用基本不等式解決實(shí)際問題的3個(gè)注意點(diǎn)(1)設(shè)變量時(shí)一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù).(2)根據(jù)實(shí)際問題抽象出函數(shù)的解析式后，只需利用基本不等式求得函數(shù)的最值.在求函數(shù)的最值時(shí)，一定要在定義域(使實(shí)際問題有意義的自變量的取值范圍)內(nèi)求解.經(jīng)測(cè)算，某型號(hào)汽車在勻速行駛過(guò)程中每小時(shí)耗油量y(L)與速度x(km/h)(50WxW120)的關(guān)系可近似表示為y=廠75(x2~130x+4900),xE[50,80),<12-60,xE[80,120].該型號(hào)汽車的速度為多少時(shí)，可使得每小時(shí)耗油量最少？已知A,B兩地相距120km,假定該型號(hào)汽車勻速?gòu)腁地駛向B地，則汽車速度為多少時(shí)總耗油量最少？[解](1)當(dāng)xE[50,80)時(shí)，y=75(x2—130x+4900)二召?—65)2+675],所以當(dāng)x=65時(shí)，y取得最小值，最小值為75x675=9.x當(dāng)xE[80,120]時(shí)，函數(shù)y=12—60單調(diào)遞減，120故當(dāng)x=120時(shí)，y取得最小值，最小值為12—而=10.因?yàn)?<10,所以當(dāng)x=65,即該型號(hào)汽車的速度為65km/h時(shí)，可使得每小時(shí)耗油量最少.

⑵設(shè)總耗油量為lL由題意可知l=y?12⑵設(shè)總耗油量為lL由題意可知l=y?12'°,x16,①當(dāng)x$[50,80)時(shí),1208(,4900/=y==5lx+=130卜5卜警一130=當(dāng)且僅當(dāng)x=490°,x即x=70時(shí)，l取得最小值，最小值為16.1201440②當(dāng)x^[80,120]時(shí)，l=y?一=——一2為減函數(shù),xx所以當(dāng)x=120時(shí)，l取得最小值，最小值為10.因?yàn)?0<16,所以當(dāng)速度為120km/h時(shí)，總耗油量最少.當(dāng)運(yùn)用基本不等式求最值時(shí)，若等號(hào)成立的自變量不在定義域內(nèi)時(shí)，就不能使用基本不等式求解，此時(shí)可根據(jù)變量的范圍用對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性求解.(20xx?上海模擬)經(jīng)濟(jì)訂貨批量模型，是目前大多數(shù)工廠、企業(yè)等最常采用的訂貨方式，即某種物資在單位時(shí)間的需求量為某常數(shù)，經(jīng)過(guò)某段時(shí)間后，存儲(chǔ)量消耗下降到零，此時(shí)開始訂貨并隨即到貨，然后開始下一個(gè)存儲(chǔ)周期，該模型適用于整批間隔進(jìn)貨、不允許缺貨的存儲(chǔ)問題，具體如下：年存儲(chǔ)成本費(fèi)T(元)關(guān)于每次訂貨x(單位)的函數(shù)關(guān)系T(x)=RxACBx+AC，其中a為年需求量，r為每單位物資的年存儲(chǔ)費(fèi)，c為每次訂貨費(fèi).某化工廠需用甲醇作為原料，年需求量為6000噸，每噸存儲(chǔ)費(fèi)為120元/年，每次訂貨費(fèi)為2500元.(1)若該化工廠每次訂購(gòu)300噸甲醇，求年存儲(chǔ)成本費(fèi);(2)每次需訂購(gòu)多少噸甲醇，可使該化工廠年存儲(chǔ)成本費(fèi)最少？最少費(fèi)用為多少？Bx［解］(1)因?yàn)槟甏鎯?chǔ)成本費(fèi)T(元)關(guān)于每次訂貨x(單位)的函數(shù)關(guān)系T(x)=^AC+亠，其中A為年需求量，B為每單位物資的年存儲(chǔ)費(fèi)，C為每次訂貨費(fèi).X由題意可得：A=6000，B=120,C=2500，所以年存儲(chǔ)成本費(fèi)T(x)=60x+15000000,若該化工廠每次訂購(gòu)300噸甲醇,所以年存儲(chǔ)成本費(fèi)為T(300)=60X300+150000°00=68000.(2)因?yàn)槟?/p>